Aula 19: Percursos em árvores binárias. Percurso em pré-ordem, ordem simétrica e pós-ordem. Algoritmo para cálculo de altura uma árvore binária

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1 19.1 ula 19: Percursos em árvores binárias Percurso em pré-ordem, ordem simétrica e pós-ordem lgoritmo para cálculo de altura uma árvore binária omplexidade dos métodos

2 19.2 ula 19: Percursos em árvores binárias Percurso em árvores: visita sistemática a seus nós Árvores são estruturas não lineares omo percorrer uma árvore? Objetivo: elaborar algoritmos para percorrer árvores binárias omposição dos algoritmos de percurso visita a nós visita às subárvores esquerda e direita dos nós

3 19.3 Operações básicas Operações básicas visita a um nó v visita à subárvore esquerda de v visita à subárvore direita de v Ordem das operações básicas Resta definir: em que ordem as operações básicas devem ser realizadas? Suposição: as ordens das operações são idênticas, para todos os nós Para definir o algoritmo, basta escolher uma ordem para as três operações básicas. Serão analisadas três ordens possíveis para as operações.

4 19.4 Exemplo: Percurso pré-ordem Pré-ordem: 1) visitar raiz; 2) percorrer sua subárvore esquerda, em pré-ordem; 3) percorrer sua subárvore direita, em pré-ordem. E G H I F Percurso pré-ordem: G E H I F

5 19.5 lgoritmo pré-ordem lgoritmo: percurso em pré-ordem procedimento pre( pt ) visita( pt ) se pt.esq λ então pre( pt.esq ) se pt.dir λ então pre( pt.dir ) se ptraiz λ então pre( ptraiz ) ptraiz = ponteiro para a raiz da árvore pt.esq = ponteiro para o filho esquerdo do nó apontado por pt pt.dir = ponteiro para o filho direito do nó apontado por pt visita( pt ) = operação da visita ao nó apontado por pt (depende da aplicação)

6 19.6 Exercício Escrever o percurso pré-ordem, para cada uma das árvores abaixo: E F G E F G Tempo: 4 minutos.

7 19.7 Solução E F G F G E 4. E F G E F G

8 19.8 Percurso em ordem simétrica Ordem simétrica: 1) percorrer sua subárvore esquerda, em ordem simétrica; 2) visitar raiz; 3) percorrer sua subárvore direita, em ordem simétrica. Exemplo: E F G H I Percurso ordem simétrica: G H E I F

9 19.9 lgoritmo ordem simétrica lgoritmo: percurso em ordem simétrica procedimento simet( pt ) se pt.esq λ então simet( pt.esq ) visita( pt ) se pt.dir λ então simet( pt.dir ) se ptraiz λ então simet( ptraiz ) ptraiz = ponteiro para a raiz da árvore pt.esq = ponteiro para o filho esquerdo do nó apontado por pt pt.dir = ponteiro para o filho direito do nó apontado por pt visita( pt ) = operação da visita ao nó apontado por pt (depende da aplicação)

10 19.10 Exercício Escrever o percurso ordem simétrica, para cada uma das árvores abaixo: E F G E F G Tempo: 4 minutos.

11 19.11 Solução E F G F G E E F G E F G

12 19.12 Exercício Escrever um algoritmo para desenhar uma árvore binária, supondo que o número de nós não exceda o limite máximo de caracteres que pode ser impresso em uma linha, por uma impressora. ada nó corresponderá à impressão de um caracter. saída do algoritmo deverá ser o conjunto de coordenadas (abcissa e ordenada) dos nós da árvore. Sugestão: utilizar como abscissa do nó v a sua posição no percurso ordem simétrica da árvore, e como ordenada, o nível de v. Tempo: 14 minutos

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14 19.14 Percurso pós-ordem Pós ordem: 1) percorrer sua subárvore esquerda, em pós-ordem; 2) percorrer sua subárvore direita, em pós-ordem; 3) visitar raiz. Exemplo: E G H I F Percurso pós ordem: G H I E F

15 19.15 lgoritmo pós-ordem lgoritmo: percurso em pós-ordem procedimento pos( pt ) se pt.esq λ então pos( pt.esq ) se pt.dir λ então pos( pt.dir ) visita( pt ) se ptraiz λ então pos( ptraiz ) ptraiz = ponteiro para a raiz da árvore pt.esq = ponteiro para o filho esquerdo do nó apontado por pt pt.dir = ponteiro para o filho direito do nó apontado por pt visita( pt ) = operação da visita ao nó apontado por pt (depende da aplicação)

16 19.16 omplexidade do algoritmo de percurso Há exatamente uma chamada do procedimento, para cada nó da árvore. Em cada chamada, as operações envolvidas podem ser realizadas em tempo constate. onseqüência: o algoritmo executa exatamente n passos, onde n é o número de nós da árvore. omplexidade: Θ( n )

17 19.17 plicação plicação: determinar a altura de cada nó de uma árvore binária T Para determinar a altura de um nó v, é necessário conhecer o comprimento do maior caminho de v, até um de seus descendentes. altura de v somente pode ser calculada após a visita a todos os descendentes de v. O percurso pós ordem é o indicado. álculo da altura: h = 1 + max { h1, h2 } h1 h2

18 19.18 plicação lgoritmo: cálculo da altura de um dado nó v de T procedimento altura( pt ) se pt.esq λ então h1 := altura ( pt.esq ) senão h1 := 0 se pt.dir λ então h2 := altura ( pt.dir ) senão h2 := 0 retornar 1 + max{ h1, h2 } pt = ponteiro para o nó v de T função altura( pt ) computa o valor da altura do nó apontado por v. omplexidade: O( n )

19 19.19 Exercício Modificar o algoritmo anterior, de modo a calcular a altura de todos os nós da árvore T. eterminar o pior e o melhor caso do algoritmo de cálculo da altura v. Tempo: 5 minutos.

20 19.20 Solução função altura( pt ) do algoritmo de cálculo da altura do nó v, apontado por pt, determina a altura de todos os nós, quando v for a raiz de T. hamada externa: altura( ptraiz ) onde ptraiz é o ponteiro para a raiz de T. Melhor caso: v folha => 1 chamada de altura Pior caso: v raiz => n chamadas de altura

21 19.21 onversão de uma floresta omo representar uma árvore (não binária) T? Idéia básica: onverter a árvore dada T em uma árvore binária (T). Usar a representação conhecida para (T). eterminação de (T): (T) possui um nó (v) para cada nó v de T. O filho esquerdo de (v) em (T) corresponde ao primeiro filho de v em T, se existir. Se v for folha, (v) não possui filho esquerdo. O filho direito de (v) corresponde ao irmão de v em T, localizado imediatamente a sua direita, caso exista. Se não existir, (v) não possui filho direito.

22 19.22 Exemplo Exemplo F E E F F E

23 19.23 Generalização para florestas onversão de uma floresta: considerar as raízes das árvores das florestas, como nós irmãos, e aplicar o método de conversão de uma árvore.

24 19.24 Exemplo Exemplo: E F I H J G K L M G H I K E F J M L

25 19.25 Exercícios finais: Exercícios finais Escrever um algoritmo para determinar o pai de um nó v de uma árvore binária T. O percurso em nível de uma árvore binária T é aquele em que os nós são dispostos em ordem não decrescente de seus níveis. Escrever um algoritmo para efetuar o percurso em nível da árvore T. Sugestão: utilizar uma fila. Escrever um algoritmo não recursivo para o percurso em pré-ordem de uma árvore binária. Sugestão: utilizar uma pilha. Utilizando a representação de uma expressão aritmética através de uma árvore binária, escrever um algoritmo simples para determinar a notação polonesa da expressão aritmética.