ALGORITMOS AVANÇADOS. UNIDADE V Estruturas de dados dos tipos Árvore Binária e Árvore AVL. Luiz Leão

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1 UNIDADE V Estruturas de dados dos tipos Árvore Binária e Árvore AVL Luiz Leão luizleao@gmail.com

2 Conteúdo Programático Árvores, Árvores Binárias e Árvores Binárias de Busca Percorrendo uma Árvore Binária de Busca Implementando as Árvores Binária Percurso em Árvore Inserção Remoção Balanceando uma Árvore O Algoritmo DSW Árvores AVL

3 Árvore Binária É uma estrutura de dados formada por um conjunto finito de elementos ou nós. Uma árvore pode estar vazia ou pode ser formada por um nó chamado raiz e dois sub-conjuntos de elementos chamados sub-árvore esquerda e sub-árvore direita. As sub-árvores esquerda e direita são também árvores binárias e podem estar vazias.

4 Árvore Binária

5 Árvore Binária O nó raiz A tem duas sub-árvores B e C; O nó B tem duas sub-árvores D e E; O nó C tem apenas a sub-árvore da direita F; O nó E tem apenas a sub-árvore da esquerda G; O nó F tem duas sub-árvores H e I; Os nós D, G, H e I não tem sub-árvores, portanto, são chamados folhas.

6 Árvore Binária O nó raiz A tem duas sub-árvores B e C; O nó B tem duas sub-árvores D e E; O nó C tem apenas a sub-árvore da direita F; O nó E tem apenas a sub-árvore da esquerda G; O nó F tem duas sub-árvores H e I; Os nós D, G, H e I não tem sub-árvores, portanto, são chamados folhas. Se A tem duas sub-árvores B e C, diz-se que: A é pai de B e C; B é filho esquerdo de A; C é filho direito de A. B é irmão de C.

7 Tipos de Árvores Estritamente Binária Completa Quase Completa

8 Árvore Estritamente Binária Cada nó (vértice) possui 0 ou 2 sub-árvores Nenhum nó tem Filho Único Nós internos (não folha) sempre têm 2 filhos

9 Árvore Estritamente Binária

10 Árvore Completa É uma Árvore Estritamente Binária Todos os seus nós-folha estão no mesmo nível O número de nós de uma Árvore Binária Completa é: 2 h - 1 Sendo h a altura da árvore

11 Árvore Completa

12 Árvore Quase Completa A diferença de altura entre as sub-árvores de qualquer nó é no máximo 1 Se a altura da árvore for D, cada nó folha está no nível D ou D-1

13 Árvore Quase Completa

14 Exemplo de aplicação das árvores binárias As árvores binárias são uma estrutura de dados útil quando precisam ser tomadas decisões bi-direcionais em cada ponto do processo. Por exemplo, suponha que queiramos encontrar repetições em uma lista de números. Uma maneira de fazer isto é comparar cada número com todos os que o precedem. Entretanto, isto pode envolver muitas comparações. Outra maneira é utilizar uma árvore binária.

15 Exemplo de aplicação das árvores binárias Suponha que temos a seguinte lista de números para verificar repetições: 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 4, 20, 17, 9, 14, 5

16 Exemplo de aplicação das árvores binárias Neste caso, iniciamos a árvore com o primeiro número da lista como sendo o nó raiz. Na sequência, comparamos o próximo número com o número da raiz, se for igual é uma repetição. Se for menor, comparamos com a sub-árvore da esquerda. Se for maior, comparamos com a sub-árvore da direita. Se a sub-árvore estiver vazia, incluímos o número como filho desta sub-árvore, a esquerda ou direita, caso seja menor ou maior que o conteúdo do nó, respectivamente.

17 Exemplo de aplicação das árvores binárias

18 Percorrendo uma Árvore Binária de Busca Uma operação importante em uma árvore binária é percorrer todos os seus nós. Diferentemente de uma lista, na qual os nós são percorridos de maneira linear, numa árvore, existem diferentes ordens para poder percorrê-la. Todos os métodos para percorrer uma árvore são definidos recursivamente, de modo que percorrer uma árvore envolve visitar a raiz e depois a sub-árvore direita e a esquerda. O que difere cada método é a ordem em que estas operações são realizadas.

19 Percorrendo uma Árvore Binária de Busca Três métodos são conhecidos para percorrer uma árvore binária: Em ordem, ou esquerda-raiz-direita; Pré-ordem ou percurso em profundidade ou raiz-esquerdadireita; Pós-ordem ou esquerda-direita-raiz.

20 Em Ordem Percorre-se primeiro a sub-árvore esquerda, na ordem esquerda-raiz-direita, depois a raiz e depois a sub-árvore direita, também na ordem esquerda-raiz-direita.

21 Em Ordem Percorre-se primeiro a sub-árvore esquerda, na ordem esquerda-raiz-direita, depois a raiz e depois a sub-árvore direita, também na ordem esquerda-raiz-direita.

22 Pré-Ordem Percorre-se primeiro a raiz. Depois a sub-árvore esquerda, na ordem raiz-esquerda-direita. E depois a sub-árvore direita, também na ordem raiz-esquerda-direita:

23 Pré-Ordem Percorre-se primeiro a raiz. Depois a sub-árvore esquerda, na ordem raiz-esquerda-direita. E depois a sub-árvore direita, também na ordem raiz-esquerda-direita:

24 Pós-Ordem Percorre-se primeiro a sub-árvore esquerda, na ordem esquerda-direita-raiz. Depois a sub-árvore direita, também na ordem esquerda-direita-raiz. E depois a raiz.

25 Pós-Ordem Percorre-se primeiro a sub-árvore esquerda, na ordem esquerda-direita-raiz. Depois a sub-árvore direita, também na ordem esquerda-direita-raiz. E depois a raiz.

26 Inserção de Elementos em Árvores Binárias Vários algoritmos que trabalham com árvores trabalham em duas fases. Primeiro inserem elementos na árvore e depois percorrem a árvore. Veja um exemplo de classificação de números em ordem ascendente. A medida que os números forem sendo lidos os mesmos vão sendo inseridos na árvore.

27 Inserção de Elementos em Árvores Binárias Entretanto, ao contrário do algoritmo usado para achar repetições, aqui os números repetidos também são inseridos na árvore. Quando um novo número é comparado com a raiz da árvore, a sub-árvore esquerda é utilizada para inserir se o número for menor que o conteúdo do nó e a sub-árvore direita é usada se o número for maior ou igual ao conteúdo do nó.

28 Inserção de Elementos em Árvores Binárias Para a lista de números: 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 4, 20, 17, 9, 14, 5 A árvore resultante será:

29 Inserção de Elementos em Árvores Binárias

30 Remoção de nós de uma árvore Numa árvore binária todos os elementos à esquerda do nó raiz são menores que os elementos à direita, valendo o mesmo para cada sub-árvore. Assim, se um nó for removido, esta característica da árvore binária deve ser respeitada. Algumas regras para remover nós de uma árvore binária:

31 Remoção de nós de uma árvore

32 Regras de Remoção de nós de uma árvore Se o nó é uma folha, isto é, não tem sub-árvores, o mesmo pode ser removido sem problemas. Em seguida deve-se fazer o ponteiro de seu pai apontar para NULL.

33 Regras de Remoção de nós de uma árvore Se o nó é uma folha, isto é, não tem sub-árvores, o mesmo pode ser removido sem problemas. Em seguida deve-se fazer o ponteiro de seu pai apontar para NULL. Caso do nó G

34 Regras de Remoção de nós de uma árvore Se o nó tem somente uma sub-árvore (direita ou esquerda), podemos eliminar o nó "puxar" o nó filho para seu lugar.

35 Regras de Remoção de nós de uma árvore Se o nó tem somente uma sub-árvore (direita ou esquerda), podemos eliminar o nó "puxar" o nó filho para seu lugar. Caso do nó D

36 Regras de Remoção de nós de uma árvore Se o nó tem as duas sub-árvores há duas possibilidades: podemos "puxar" para seu lugar o maior elemento da subárvore esquerda ou o menor elemento da sub-árvore direita.

37 Regras de Remoção de nós de uma árvore Caso do nó A da figura, podemos substitui-lo pelo maior elemento da sub-árvore esquerda, no caso o nó E, ou pelo menor elemento da sub-árvore direita, no caso o nó F.

38 Exercício Criar algoritmo de indexação de dados, utilizando árvore binária, onde o No armazena a além do índice para comparação, um atributo de valor. Baseado nisso, desenvolva: a) Criar estrutura de alimentação através da lista de índices 5,1,3,8,10 e de valores A, B, C, D e E. b) Implemente as funções Pre-Ordem e Pos-Ordem de leitura

39 Árvore AVL

40 Equilíbrio Criada pelos soviéticos Adelson Velsky e Landis em 1962, na publicação "Algoritmos para organização da informação" de Uma árvore é considerada AVL se, e somente se, para cada um de seus nós, as alturas das sub-árvores à direita e à esquerda forem iguais, ou difiram em apenas uma unidade.

41 Uma Árvore AVL if ((Hd He) < 2) { É AVL }

42 Uma Árvore Não AVL if ((Hd He) >= 2) { NÃO É AVL }

43 Por que usar esta Estrutura? Foi a primeira estrutura de dados a oferecer operações de inserção, remoção e busca em tempo logaritmo, ou seja, é um algoritmo muito rápido. Em uma árvore desbalanceada de nós, são necessárias comparações para efetuar uma busca, já numa árvore AVL, com o mesmo número de nós, essa média baixa para 14 comparações. Devemos sempre tentar manter o custo de acesso o menor possível, e o algoritmo da árvore AVL busca exatamente isso, deixando a árvore sempre com a menor altura possível.

44 Fator de Balanceamento Para cada nó, defini-se um fator de balanceamento (FatBal), que deve ser -1, 0 ou 1. Ele é o responsável por avisar que a árvore está desbalanceada. FatBal = altura (sub-árvore direita) altura (sub-árvore esquerda) FatBal = -1, quando a sub-árvore da esquerda é um nível mais alto que a direita. FatBal = 0, quando as duas sub-árvores tem a mesma altura. FatBal = 1, quando a sub-árvore da direita é um nível mais alto que a esquerda.! Toda folha tem FB = 0

45 Quando é usado o FatBal? Quando inserimos um novo registro na árvore, ou removemos um registro já existente. Esta inserção/remoção pode ou não alterar as propriedades de balanceamento. Caso a inserção/remoção desse novo registro não viole nenhuma propriedade de balanceamento, podemos continuar inserindo/removendo registros. Se a inserção/remoção afetar as propriedades de balanceamento, devemos restaurar o balanço da árvore. Esta restauração é efetuada através de Rotações na árvore.

46 Rotações Rotação simples à esquerda

47 Rotações Rotação simples à direita

48 Rotações Rotação dupla à esquerda (rotação simples à direita + rotação simples à esquerda)

49 Rotações Rotação dupla à direita (rotação simples à esquerda + rotação simples à direita)

50 Rotações Dicas a) Para identificar quando uma rotação é simples ou dupla deve-se observar os sinais do FB: - Se o sinal for igual, a rotação é simples - Se o sinal for diferente, a rotação é dupla b) Se FB for positivo (+), a rotação é para à esquerda c) Se FB for negativo (-), a rotação é para à direita

51 Rotação Simples Suponha que inserimos os números 50, 40 e 30 em uma árvore. Obteremos então:! A inserção produziu um desbalanceamento.! Neste caso, como os sinais dos FB são os mesmos, significa que precisamos fazer apenas uma ROTAÇÃO SIMPLES à direita no nó com FB -2.! No caso simétrico (nó com FB 2) faríamos uma rotação simples à esquerda.

52 Rotação Simples Após a rotação simples teremos: Agora a árvore está balanceada.

53 Considere a árvore abaixo: Como podemos observar, a árvore está balanceada pelos FB de cada nó. São dois os possíveis casos de desbalanceamento.

54 Rotação Dupla Ao inserir o número 5 na árvore, teremos a seguinte árvore:! O nó 8 fica com o FB -2 e tem um filho com FB +1. Neste caso para manter o balanceamento devemos aplicar duas rotações, também denominada ROTAÇÃO DUPLA.! Primeiro rotaciona-se o nó com FB 1 para a esquerda.

55 Rotação Dupla! Logo rotaciona-se o nó que possuía FB -2 na direção oposta, nesse caso a direita.

56 Rotação Dupla! Os FB dos nós voltaram a ficar dentro do esperado das árvores AVL.! O caso simétrico ao explicado acima acontece com os sinais de FB trocados, ou seja, um nó com FB +2 com um filho com FB -1. Também utilizaríamos uma rotação dupla, mas nos sentidos contrários, ou seja, o nó com FB -1 seria rotacionado para a direita e o nó com FB +2 seria rotacionado para a esquerda.