Algoritmos e Estrutura de Dados II. Árvore. Prof a Karina Oliveira.

Transcrição

1 Algoritmos e Estrutura de Dados II Árvore Prof a Karina Oliveira kkco@dei.unicap.br

2 Introdução Estruturas de dados lineares (pilha, fila) são estruturas que guardam coleções de elementos que são acessados sequencialmente. Efetivamente são chamadas lineares porque cada elemento tem um único sucessor. Em muitas aplicações a organização dos elementos apresenta-se não linear, dado que qualquer membro pode apresentar múltiplos sucessores. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 2

3 Árvores Uma das mais importantes classes de estruturas de dados em computação Aproveitando-se de sua organização hierárquica, muitas aplicações são realizadas usando-se algoritmos relativamente simples, recursivos e de eficiência bastante razoável. Veremos os conceitos básicos desta estrutura de dados e estudaremos as árvores binárias de busca, usadas em aplicações de busca em memória principal. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 3

4 Árvores - Definição Árvore é uma estrutura de dados bidimensional, não linear. Possui um conjunto finito de elementos (N 0), denominados nós ou vértices Se N = 0, dizemos que a árvore é nula; Se N > 0, então: Há um nó especial denominado raiz da árvore; Os demais nós formam conjuntos disjuntos T 1,..., T m, onde cada um destes conjuntos é também uma árvore; As árvores T i são denominadas subárvores. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 4

5 Representação Gráfica de uma Árvore Raiz T 1... T 2 T 3 T 4 T m Árvore Generalizada Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 5

6 Representação Gráfica de uma Exemplo: Árvore A Raiz T 1 B C D E F G H I J K L M Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 6

7 Árvores - Terminologia A Raiz A raiz da árvore é pai da raiz de cada subárvore e a raiz de cada subárvore é filha da raiz da árvore. Na árvore ao lado: T 1 B C D A raiz é o nó A; O nó A é pai dos nós B, C e D; E F G H I J Os nós B, C e D são raízes de cada uma das subárvores; K L M O nó B tem 3 filhos: E, F e G; Os nós E, F e G são irmãos; Nós sem filhos são chamados de folhas: E, K, G, L, M, I e J; Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 7

8 Árvores - Terminologia O caminho de um nó n 1 para um nó n k é definido como a seqüência de nós n 1,n 2,..,n k, tal que n i é o pai de n i+1 para 1 i < k. Observe que em uma árvore só existe um caminho da raiz até qualquer nó. O comprimento deste caminho é o número de arcos no caminho, ou seja, k-1. A B C D E Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 8 F

9 Árvores - Terminologia Para qualquer nó n i, a profundidade ou nível de n i é o comprimento do único caminho da raiz para n i.. A raiz tem nível zero. A altura de n i é o maior caminho de n i para uma folha Assim, todas as folhas tem altura zero. Altura da árvore é igual a altura da raiz. D B A E C F Exemplo: Profundidade de B é 1; Altura de B é 2; Altura da árvore é 3; 9

10 Árvores - Terminologia O grau de n i é o número de nós descendentes do nó n i, ou seja, o número de subárvores de um nó. As folhas têm grau zero. O grau da árvore é o máximo dos graus de todos os seus nós. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 10

11 Árvores - Terminologia D B E I F J K A G C Exemplo: H Nó A, nó raiz, tem grau dois, pois possui dois filhos, os nós B e C; Nó B, grau três, e é pai dos nós D, E e F; Nós D, E, I, K, G e H são nós folhas, e portanto possuem grau zero; Caminho até o nó J: caminho por A, B, F e J. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 11

12 Árvores - Terminologia B A C Exemplo: A árvore possui grau três, pois este é o número máximo de nós descendentes de um único pai (Grau de B); D E F G H A árvore tem altura igual a 4; I J Nó B tem altura igual a 3; Nó C tem altura igual a 1; Nó K tem altura igual a 0; K O nível do nó G é três. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 12

13 Árvores - Aplicação Utilizada em casos onde os dados a serem representados possuem relações hierárquicas entre si. Exemplos: Organograma de uma empresa; divisão de um livro em capítulos, seções, tópicos, etc.; árvore genealógica de uma pessoa; universidade e seus centros. Exemplo: Uma universidade é composta de vários centros; Cada centro é composto por vários cursos; Cada curso oferece um conjunto de disciplinas; Cada disciplina possui alunos matriculados; Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 13

14 Árvores - Aplicação CATÓLICA CCT CTCH CCS Ciência da Computação AEDII Aluno 1 Aluno 2... Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 14

15 Algoritmos e Estrutura de Dados II Árvores Binárias Prof a Karina Oliveira kkco@dei.unicap.br

16 Árvores Binárias - Definição Possui um conjunto finito de elementos (N 0) denominados nós ou vértices Se N = 0, dizemos que a árvore é nula; Se N > 0, então: Há um nó especial denominado raiz da árvore; Os demais nós formam dois conjuntos disjuntos T 1 e T 2, onde cada um destes conjuntos também é uma árvore binária; As árvores T i são denominadas subárvores binárias. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 16

17 Árvores Binárias - Definição Uma árvore binária é uma árvore de no máximo grau dois, ou seja, nenhum nó pode ter mais que dois filhos A A B C B C D E D E F Árvore Binária Árvore Não Binária Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 17

18 Tipos Especiais de Árvores Binárias Árvore Estritamente Binária É quando todos os nós não terminais da árvore binária possuem subárvores esquerda e direita não vazias. Exemplo: A B C D E F G Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 18

19 Tipos Especiais de Árvores Binárias Árvore Binária Completa É aquela com a propriedade: Se n é um nó com alguma das subárvores vazias, então n se localiza no último (maior) ou penúltimo nível da árvore. Exemplo: A B C D E F G H Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 19 I

20 Tipos Especiais de Árvores Binárias Árvore Binária Cheia É aquela em que, se n é um nó com alguma das suas subárvores vazias, então n se localiza no último nível. É uma árvore que tem todos os nós internos com 2 filhos e onde todas as folhas estão na mesma profundidade. Exemplo: A B C D E F G Toda árvore binária cheia é completa e estritamente binária. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 20

21 Árvores Binárias Implementação Encadeada: struct no { no *dir; int info; no *esq; }; no *arvbin; arvbin E representação: B J A D G L Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 21

22 Percurso em Árvores Binárias Um percurso é uma visita sistemática a cada um dos nós da árvore. Visitar um nó significa operar, de alguma forma, com a informação nele contida. Tipos: Em-ordem Pré-ordem Pós-ordem Em nível Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 22

23 Percurso em Árvores Binárias Em-Ordem 1.Percorrer a subárvore à esquerda 2.Visitar a raiz 3.Percorrer a subárvore à direita D A B C E A B C D E Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 23

24 Percurso em Árvores Binárias Em-Ordem void emordem (no *raiz) { } if (raiz!= NULL) { } emordem(raiz->esq); printf( %i \n, raiz->info); emordem(raiz->dir); Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 24

25 Percurso em Árvores Binárias Pré-Ordem 1.Visitar a raiz 2.Percorrer a subárvore à esquerda 3.Percorrer a subárvore à direita D A B C E D B A C E Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 25

26 Percurso em Árvores Binárias Pré-Ordem void preordem (no *raiz) { if (raiz!= NULL) { printf( %i \n, raiz->info); preordem(raiz->esq); preordem(raiz->dir); } } Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 26

27 Percurso em Árvores Binárias Pós-Ordem 1.Percorrer a subárvore à esquerda 2.Percorrer a subárvore à direita 3.Visitar a raiz D B E A C B E D A C Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 27

28 Percurso em Árvores Binárias Pós-Ordem void posordem (no *raiz) { if (raiz!= NULL) { posordem(raiz->esq); posordem(raiz->dir); printf( %i \n, raiz->info); } } Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 28

29 Percurso em Árvores Binárias Por Nível Nível 0 D Nível 1 B E Nível 2 A C D B E A C Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 29

30 Por Nível void pornivel (no *raiz) { fila *ini; no *aux; if (raiz!= NULL) { criarfila(ini); insfila(ini, raiz); while (isempty(fila) == false) { aux = remfila(ini); if (aux->esq!= NULL) insfila(ini, aux->esq); if (aux->dir!= NULL) insfila(ini, aux->dir); printf("%d \n", aux->info); } } } Percurso em Árvores Binárias Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 30

31 Árvores Binárias - Aplicação Exemplo: Representação de expressões aritméticas Prioridade das operações fica implícita: Operador de menor prioridade fica na raiz da árvore; Subexpressão que forma o operando da esquerda deste operador dá origem a subárvore esquerda da raiz; Subexpressão que forma o operando da direita deste operador dá origem a subárvore direita da raiz; Operandos ficam sempre nas folhas; Se a expressão possuir parênteses estes são desprezados. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 31

32 Árvores Binárias - Aplicação Exemplo 1: Exemplo 2: A + B * 2 + (A + B) * 2 * A * + 2 B 2 A B Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 32

33 Árvores Binárias - Aplicação De acordo com o caminhamento escolhido pode-se gerar a expressão nas seguintes notações: Pós-ordem: A B 2 * + Em-ordem: A + B * 2 Pré-ordem: + A * B 2 Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 33

34 Algoritmos e Estrutura de Dados II Árvores Binárias de Busca Prof a Karina Oliveira kkco@dei.unicap.br

35 Árvores Binárias de Busca - Definição Seja T uma ABB, então possui as seguintes características: T possui n nós. Cada nó u corresponde a uma chave distinta s j e S e possui como rótulo o valor r(u) = s j ; Seja um nó u de T. Seja também u 1, pertencente à subárvore esquerda de u. Então, r(u 1 ) < r(u). Analogamente, se u 2 pertence a subárvore direita de u, então, r(u2) > r(u). Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 35

36 Árvores Binárias de Busca As subárvores de uma ABB são denominadas subárvore esquerda e subárvore direita e também são ABBs. Árvore Binária de Busca (Niklaus Wirth) Uma árvore que se encontra organizada de tal forma que, para cada nó T i, todas as chaves da subárvore à esquerda de T i são menores que T i e à direita são maiores que T i. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 36

37 Árvores Binárias de Busca Diferenciação Árvore Binária de Busca Árvore Binária Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 37

38 Árvores Binárias de Busca Em uma ABB é possível encontrar qualquer chave existente caminhando na árvore: Sempre à esquerda toda vez que a chave procurada for menor do que a chave do nó visitado, e; Sempre à direita toda vez que for maior. A escolha da direção de busca só depende da chave que se procura e da chave que o nó atual possui. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 38

39 Árvores Binárias de Busca Uma propriedade importante de uma árvore binária de busca é que o valor médio de sua profundidade é log 2 n, onde n é a quantidade de nós na árvore n = 8 log 2 8 = Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 39

40 Árvores Binárias de Busca Infelizmente, a profundidade pode chegar a (n 1) n = 5 profundidade = Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 40

41 Estrutura de uma ABB Estrutura do nó de uma ABB que armazena um valor inteiro em C: struct no { no *dir; int info; no *esq; }; no *raiz; raiz Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 41

42 Operações em uma ABB Dado que a definição de árvores é recursiva, geralmente suas operações também são definidas recursivamente Operações: Iniciar Árvore Pesquisar Inserir Remover Caminhar (Percorrer) Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 42

43 Operações em uma ABB Iniciar Árvore void iniciar(no *&raiz){ } raiz = NULL; Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 43

44 Operações em uma ABB Pesquisar Elemento: Considere uma ABB T e um elemento X Se T é uma árvore nula: busca impossível; Se a raiz de T armazena o elemento X: solução trivial; Se o valor de X é menor que o valor armazenado na raiz de T: prosseguir com a busca na subárvore esquerda de T; Se o valor de X é maior que o valor armazenado na raiz de T: prosseguir com a busca na subárvore direita de T; Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 44

45 Operações em uma ABB Pesquisar - Procurar por um nó na árvore cuja chave seja igual a elem. Retorna um apontador para o nó que contém a chave elem, ou NULL se elem não está na árvore. no * pesquisar(no *raiz, int elem) { } if (raiz == NULL){ return NULL; }else if (elem == raiz->info){ return raiz; }else if (elem < raiz->info){ return pesquisar(raiz->esq, elem); }else return pesquisar(raiz->dir, elem); Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 45

46 Operações em uma ABB Pesquisar Mínimo - Procurar pelo menor elemento presente na árvore. no * pesquisarminimo(no *raiz) { if (raiz == NULL){ return NULL; }else if (raiz->esq == NULL){ return raiz; }else return pesquisarminimo(raiz->esq); } Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 46

47 Exercícios: Operações em uma ABB Pesquisar Versão iterativa para a função pesquisar. Pesquisar Máximo - Procurar pelo maior elemento presente na árvore. Versões recursiva e iterativa. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 47

48 Inserir Operações em uma ABB Inserção em uma lista encadeada não há movimentação de dados como em vetores, apenas ajustes de ponteiros para colocar o elemento na posição correta Início, meio ou fim Em uma ABB, os elementos inseridos entram sempre na condição de folha. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 48

49 Operações em uma ABB Inserir Elemento: Considere uma ABB T e um elemento X Se T é uma árvore vazia: solução trivial; Se T não é vazia e o valor de X é menor que a raiz de T: insere X na subárvore esquerda de T; Se T não é vazia e o valor de X é maior que a raiz de T: insere X na subárvore direita de T. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 49

50 Operações em uma ABB Inserir Exemplo: Inserção de um elemento com chave 14 chave = > Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 50

51 Operações em uma ABB Inserir Exemplo: Inserção de um elemento com chave 14 chave = > < Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 51

52 Operações em uma ABB Inserir Exemplo: Inserção de um elemento com chave 14 chave = > 8 14 > < Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 52

53 Operações em uma ABB Inserir Exemplo: Inserção de um elemento com chave 14 chave = > 8 14 > < > Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 53

54 Operações em uma ABB Inserir Exemplo: Inserção de um elemento com chave 14 chave = > 8 14 > < > Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 54 14

55 Inserir Operações em uma ABB Duplicatas: 1) Manter um campo extra no nó para indicar quantidade de ocorrência adiciona espaço extra na árvore toda; 2) Duplicar o nó Aumenta a profundidade da árvore. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 55

56 Operações em uma ABB Inserir void inserir(no *&raiz, int elem) { if (raiz == NULL) { raiz = new no; raiz->info = elem; raiz->esq = NULL; raiz->dir = NULL; }else if (elem < raiz->info){ inserir(raiz->esq,elem); }else if (elem > raiz->info){{ inserir(raiz->dir,elem); } } Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 56

57 Exercício: Operações em uma ABB Inserir Versão iterativa para a função inserir. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 57

58 Operações em uma ABB Remover Três Possíveis Casos: Primeiro, procura-se na árvore o nó que contém o elemento X. Caso 1: Se o nó é uma folha, ele pode ser removido imediatamente; Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 58

59 Operações em uma ABB Remover Caso 1 - Exemplo: Eliminação de elemento com chave 15 - Nó folha 8 ANTES Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 59 13

60 Operações em uma ABB Remover Caso 1 - Exemplo: Eliminação de elemento com chave 15 - Nó folha 8 DEPOIS Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 60 13

61 Operações em uma ABB Remover Três Casos: Primeiro, procura-se na árvore o nó que contém o elemento X Caso 2: Se o nó tem apenas um filho, o nó pode ser removido após seu pai ser ajustado o ponteiro do pai passa a apontar para o filho do nó a ser removido; Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 61

62 Operações em uma ABB Remover Caso 2 - Exemplo: Eliminação de elemento com chave 5 - Nó com um filho 8 ANTES Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 62 13

63 Operações em uma ABB Remover Caso 2 - Exemplo: Eliminação de elemento com chave 5 - Nó com um filho 8 DEPOIS Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 63 13

64 Operações em uma ABB Remover Três Casos: Primeiro, procura-se na árvore o nó que contém o elemento X Caso 3: Se o nó tem dois filhos, não é possível que os dois filhos ocupem o lugar do pai. O conteúdo do nó a ser removido X é então substituído pelo conteúdo do nó que tem a menor chave na subárvore direita de X, e em seguida, este último nó é removido. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 64

65 Operações em uma ABB Remover Caso 3 - Exemplo: Eliminação de elemento com chave 11 - Nó com dois filhos 8 ANTES Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 65 13

66 Operações em uma ABB Remover Caso 3 - Exemplo: Eliminação de elemento com chave 11 - Nó com dois filhos 8 DEPOIS Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 66

67 Operações em uma ABB Remover - Resumo Considere uma ABB T e um elemento X a ser removido que se encontra na raiz de T: Se a raiz não possui filhos: remover a raiz e anular T; Se a raiz possui um único filho: remover a raiz e substituí-la por seu filho; Se a raiz possui dois filhos: escolher o nó que armazena o menor elemento na subárvore direita e substituir a raiz por ele. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 67

68 Remover void remover(no *&raiz, int elem) { } Operações em uma ABB if (raiz == NULL) printf( Elemento não encontrado.\n ); else if (elem == raiz->info) remover_no(raiz); else if (elem < raiz->info) remover(raiz->esq,elem); else remover(raiz->dir,elem); Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 68

69 Operações em uma ABB - Remover void remover_no( no *&raiz) { no *pos; pos = raiz; if (raiz->esq == NULL && raiz->dir == NULL) // Não tem ambos os filhos raiz = NULL; else if (raiz->esq == NULL) // Não tem filho a esquerda raiz = raiz->dir; else if (raiz->dir == NULL) // Não tem filho a direita raiz = raiz->esq; else{ // Tem ambos os filhos pos = menor(raiz->dir); raiz->info = pos->info; } delete pos; } Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 69

70 Remover no * menor(no *&raiz) { } Operações em uma ABB no *aux = raiz; if (aux->esq == NULL) { raiz = raiz->dir; return aux; }else return menor(raiz->esq); Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 70

71 Exercício: Operações em uma ABB Remover Versão iterativa para a função remover. Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 71

72 Operações em uma ABB Caminhar O caminhamento em uma ABB é idêntico ao de uma árvore binária: Em-ordem Pré-ordem Pós-ordem Em nível Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 72

73 Bibliografia Recomendada VELOSO, Paulo. Estruturas de Dados. 1. ed. Rio de janeiro: Campus, SZWARCFITER, Jayme Luiz; MARKENZON, Lilian. Estruturas de Dados e seus Algoritmos. 2. ed. rev. Rio de Janeiro: LTC, PEREIRA, Silvio Do Lago. Estruturas de Dados Fundamentais: Conceitos e Aplicações. 4. ed. São Paulo: Érica, Algoritmos e Estrutura de Dados II - Karina Oliveira 73