Princípios de Desenvolvimento de Algoritmos MAC122 Prof. Dr. Paulo Miranda IME-USP

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1 Princípios de Desenvolvimento de Algoritmos MAC122 Prof. Dr. Paulo Miranda IME-USP Árvores Binárias

2 Árvores Árvores representam estruturas de dados caracterizadas por uma relação hierárquica da informação: árvore genealógica, organização hierárquica de uma empresa, classificação biológica de espécies. Em particular, uma árvore binária T é caracterizada por: Ou T não tem elemento algum (árvore vazia). Ou T consiste de um elemento distinto, denominado raiz, e de duas árvores binárias disjuntas, denominadas subárvore esquerda e sub-árvore direita de T.

3 Convenções e terminologia: Grau de um nó: número de sub-árvores não vazias deste nó. Nós internos (grau maior que zero, 1 ou 2). Nós terminais ou folhas (grau igual a zero). Relações de parentesco: Pai, filhos, irmãos, tio, antepassado e descendente. A nível 1 B C nível 2 h D E F nível 3 G H nível 4

4 Definição típica da estrutura utilizada. typedef struct _RegArvBin{ TipoInfo info; struct _RegArvBin *esq; struct _RegArvBin *dir; RegArvBin; typedef RegArvBin* ArvBin; RegArvBin *AlocaRegArvBin(){ RegArvBin* q; q = (RegArvBin*)calloc(1, sizeof(regarvbin)); if(q==null) exit(-1); return q;

5 Procedimento de inserção: O novo nó é inserido à esquerda do nó indicado por p. A sub-árvore esquerda de p torna-se a sub-árvore esquerda do novo nó. void InsereArvBinEsq(ArvBin p, TipoInfo x){ RegArvBin *q; q = AlocaRegArvBin(); q->info = x; q->esq = p->esq; q->dir = NULL; p->esq = q;

6 Percursos (travessia) em profundidade. p void PreOrdem(ArvBin p){ if(p!=null){ ImprimeInfo(p->info); PreOrdem(p->esq); PreOrdem(p->dir); A B D E F C Saída: A,B,D,E,G,C,F,H G H

7 Percursos (travessia) em profundidade. p void PosOrdem(ArvBin p){ if(p!=null){ PosOrdem(p->esq); PosOrdem(p->dir); ImprimeInfo(p->info); A B D E F C Saída: D,G,E,B,H,F,C,A G H

8 Percursos (travessia) em profundidade. p void InOrdem(ArvBin p){ if(p!=null){ InOrdem(p->esq); ImprimeInfo(p->info); InOrdem(p->dir); A B D E F C Saída: D,B,G,E,A,F,H,C G H

9 Percurso em largura. void Largura(ArvBin p){ RegArvBin *q; Fila f = CriaFila(); InsereFila(&f, p); do{ q = RemoveFila(&f); if(q!=null){ ImprimeInfo(q->info); InsereFila(&f, q->esq); InsereFila(&f, q->dir); while(!filavazia(f)); LiberaFila(f); p A B D E F G C H Saída: A,B,C,D,E,F,G,H

10 Descrição parentética. p void DescricaoParentetica(ArvBin p){ printf("("); if(p!=null){ DescricaoParentetica(p->esq); ImprimeInfo(p->info); DescricaoParentetica(p->dir); printf(")"); A B D E F G C H Saída: (((()D())B((()G())E()))A((()F(()H()))C()))

11 Descrição parentética (leitura). ArvBin LerDescrParentetica(char *descr){ ArvBin p; int i=0; p = LerDescrParenteticaAux(descr, &i); return p; int main(){ char descr[]="(((()d())b((()g())e()))a((()f(()h()))c()))"; ArvBin p; p = LerDescrParentetica(descr);... return 0;

12 ArvBin LerDescrParenteticaAux(char *descr, int *i){ ArvBin e,d; RegArvBin *q; char c; if(descr[*i]!='(') Erro(); (*i)++; if(descr[*i]==')'){ (*i)++; q = NULL; else{ e = LerDescrParenteticaAux(descr, i); c = descr[*i]; if(c<'a' c>'z') Erro(); (*i)++; d = LerDescrParenteticaAux(descr, i); if(descr[*i]!=')') Erro(); (*i)++; q = AlocaRegArvBin(); q->info = c; q->esq = e; q->dir = d; return q;

13 Percursos em profundidade com pilha explícita. Definição da estrutura de pilha utilizada. typedef enum chamadas {chamada1,chamada2 chamada; typedef struct _elempilha{ chamada ch; RegArvBin *q; ElemPilha; typedef enum Acoes {entrada,retorno,saida Acao;

14 Pilha explícita void PreOrdem_PilhaExpl(ArvBin p){ Pilha s; ElemPilha ep; Acao acao; s = CriaPilha(); acao = entrada; do{ switch(acao){ case entrada: if(p==null) acao = retorno; else{ ImprimeInfo(p->info); ep.q = p; ep.ch = chamada1; Empilha(s, ep); p = p->esq; case retorno: if(pilhavazia(s)) acao = saida; else{ ep = Desempilha(s); p = ep.q; switch(ep.ch){ case chamada1: ep.q = p; ep.ch = chamada2; Empilha(s, ep); p = p->dir; acao = entrada; case chamada2: case saida: while(acao!=saida); LiberaPilha(s);

15 Pilha explícita void PosOrdem_PilhaExpl(ArvBin p){ Pilha s; ElemPilha ep; Acao acao; s = CriaPilha(); acao = entrada; do{ switch(acao){ case entrada: if(p==null) acao = retorno; else{ ep.q = p; ep.ch = chamada1; Empilha(s, ep); p = p->esq; case retorno: if(pilhavazia(s)) acao = saida; else{ ep = Desempilha(s); p = ep.q; switch(ep.ch){ case chamada1: ep.q = p; ep.ch = chamada2; Empilha(s, ep); p = p->dir; acao = entrada; case chamada2: ImprimeInfo(p->info); case saida: while(acao!=saida); LiberaPilha(s);

16 Pilha explícita void InOrdem_PilhaExpl(ArvBin p){ Pilha s; ElemPilha ep; Acao acao; s = CriaPilha(); acao = entrada; do{ switch(acao){ case entrada: if(p==null) acao = retorno; else{ ep.q = p; ep.ch = chamada1; Empilha(s, ep); p = p->esq; case retorno: if(pilhavazia(s)) acao = saida; else{ ep = Desempilha(s); p = ep.q; switch(ep.ch){ case chamada1: ImprimeInfo(p->info); ep.q = p; ep.ch = chamada2; Empilha(s, ep); p = p->dir; acao = entrada; case chamada2: case saida: while(acao!=saida); LiberaPilha(s);

17 Percurso em Pré-ordem com pilha explícita (otimizado). void PreOrdemPilha(ArvBin p){ RegArvBin *q; Pilha s; s = CriaPilha(); Empilha(s, p); do{ q = Desempilha(s); if(q!=null){ ImprimeInfo(q->info); Empilha(s, q->dir); Empilha(s, q->esq); while(!pilhavazia(s)); LiberaPilha(s);

18 Percurso em Pós-ordem com pilha explícita (otimizado). void PosOrdemPilha(ArvBin p){ RegArvBin *ultimo; RegArvBin *q = p; Pilha s = CriaPilha(); bool sobe; else{ ImprimeInfo(q->info); ultimo = q; do{ while(q!=null){ Empilha(s, q); q = q->esq; sobe = true; ultimo = NULL; while(sobe &&!PilhaVazia(s)){ q = Desempilha(s); if(q->dir!=ultimo){ Empilha(s, q); q = q->dir; sobe = false; while(!pilhavazia(s)); LiberaPilha(s);

19 Árvore binária de busca Uma árvore binária de busca é uma árvore onde para cada nó são válidas as propriedades: o seu valor segue o valor de todos os nós da subárvore esquerda, e precede todos os valores dos nós da sub-árvore direita.

20 Árvore binária de busca Procedimento de busca & inserção: void BuscaInsere(ArvBin *p, TipoInfo x, bool *pertence){ ArvBin q = *p; if(q==null){ *pertence = false; *p = AlocaRegArvBin(); (*p)->esq = NULL; (*p)->dir = NULL; (*p)->info = x; else{ if(x==q->info) *pertence = true; else if(x<q->info) BuscaInsere(&q->esq, x, pertence); else BuscaInsere(&q->dir, x, pertence);

21 Árvore binária de busca Procedimento de busca & inserção: Número de operações executadas é proporcional, no pior caso, à profundidade da árvore. Ou seja, entre log2(n+1) e n, para árvores com n nós. Em MAC323 sao vistas formas de manter sempre as árvores de busca balanceadas.

22 Árvore binária completa Dizemos que uma árvore binária de altura h é completa se ela contiver o número máximo de nós (2 h 1). A 2 3 B C D E F G H I J K L M N O A B C D E F G H I J K L M N O Pai(i) = i/2, FilhoEsq(i) = 2i, FilhoDir(i) = 2i + 1