Árvores, Árvores Binárias e Árvores Binárias de Pesquisa. Rui Jorge Tramontin Jr.

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1 Árvores, Árvores Binárias e Árvores Binárias de Pesquisa Rui Jorge Tramontin Jr.

2 Tópicos Abordados Introdução Definição de Árvore Árvores Binárias Árvores Binárias de Pesquisa (ABP) UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 2

3 Introdução Necessidade de se representar estruturas de dados hierárquicas. Estrutura de diretórios Taxonomias Organogramas Sintaxe de expressões Tais estruturas são representadas por Árvores. UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 3

4 Introdução Exemplos: expressão, taxonomia a + (b * c) / d Animal + / d Mamífero Ave Réptil a * Primata Cetáceo b c Homem Gorila Baleia UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 4

5 Introdução Exemplo: sistema de arquivos UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 5

6 Tópicos Abordados Introdução Definição de Árvore Árvores Binárias Árvores Binárias de Pesquisa (ABP) UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 6

7 Definição de Árvore Definição recursiva: Conjunto de nós. Existe um nó r denominado raiz, com zero ou mais subárvores, cujas raízes são ligadas diretamente a r. Os nós raízes das sub árvores são ditos filhos de r. nó raiz... sub-árvores UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 7

8 Conceitos Básicos Grau de saída: número de filhos (sub-árvores) de um nó. Nó folha: grau de saída = 0. Nó interno: grau de saída > 0. Caminho: sequência de nós que tenham relação pai-filho. Nível de um nó: número de nós no caminho até r. Altura de árvore: maior nível dentre seus nós. UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 8

9 Conceitos Básicos Grau = 3 Nós internos A B C D Nível = 2 Altura = 3 E F G H I J K Nós folhas UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 9

10 Tópicos Abordados Introdução Definição de Árvore Árvores Binárias Árvores Binárias de Pesquisa (ABP) UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 10

11 Árvores Binárias Definição: é a árvore onde todos os seus nós têm grau <= 2. Portanto, cada nó pode ter um filho (sub-árvore) à esquerda e um filho à direira. UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 11

12 Tipos de Árvores Binárias Estritamente Binária: todo nó interno tem exatamente 2 filhos. Cheia: estritamente binária, e todas as folhas estão no mesmo nível. Balanceada: para todo nó, a diferença de altura das sub-árvores é de no máximo 1. Degenerada: todos os nós têm no máximo 1 filho (lista encadeada). UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 12

13 Implementação (1/4) Nós de uma árvore podem ser representados: Estaticamente. Dinamicamente. Estaticamente, usa-se vetores: Para cada nó i, seu filho à esquerda está em 2i + 1 e seu filho à direita está em 2i + 2. UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 13

14 Implementação (2/4) Representação Dinâmica: Nós são implementados como registros (alocados dinamicamente) ou classes. Cada nó tem campos que armazenam a informação propriamente dita e referências a seus nós filhos. Exemplo em C: struct node { char info; struct node *left; struct node *right; }; UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 14

15 Implementação (3/4) Representação dos nós. A A B C B C D E F D E F G G UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 15

16 Implementação (4/4) Funções típicas em uma Árvore Binária: Inicializar árvore vazia; Incluir nó; Pesquisar nó (informação); Excluir nó; Remover sub-árvore; Calcular altura da árvore; Percorrer a árvore (pré-, em-, pós-ordem). UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 16

17 Travessia em Árvores Binárias Há várias maneiras de percorrer os nós de uma árvore binária: Pré-ordem: lê nó, percorre sub-árvore esquerda, percorre sub-árvore direita (/ + a * b c d). Em-ordem: percorre sub-árvore esquerda, lê nó, percorre sub-árvore direita (a + b * c / d). Pós-ordem: percorre sub-árvore esquerda, percorre sub-árvore direita, lê nó (a b c * + d /). / + d a * b c UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 17

18 Travessia em Árvores Binárias void pre_ordem(node *n) { if (n!= null) { processa_info(n->info); pre_ordem(n->left); pre_ordem(n->right); } } void em_ordem(node *n) { if (n!= null) { em_ordem(n->left); processa_info(n->info); em_ordem(n->right); } } void pos_ordem(node *n) { if (n!= null) { pos_ordem(n->left); pos_ordem(n->right); processa_info(n->info); } } UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 18

19 Aplicações Árvores Binárias Representação de expressões. Algoritmos de Ordenação (HeapSort). Busca (Árvores Binárias de Pesquisa). UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 19

20 Tópicos Abordados Introdução Definição de Árvore Árvores Binárias Árvores Binárias de Pesquisa (ABP) UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 20

21 Árvores Binárias de Pesquisa Definição: árvore binária de pesquisa (ABP) é uma árvore binária na qual para cada nó n: A sua sub-árvore à esquerda contém somente nós com valores menores que o valor em n. A sua sub-árvore à direita contém somente nós com valores maiores que o valor em n. Ambas as sub-árvores também sejam ABP. Os nós de uma ABP contêm valores distintos. UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 21

22 ABP: exemplo UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 22

23 Árvores Binárias de Pesquisa ABPs são comumente utilizadas para: Busca; Implementação de estruturas mais abstratas, tais como conjuntos. Operações típicas em um ABP: Busca Inserção Exclusão UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 23

24 Busca numa ABP Em média, tem desempenho na ordem de O(log n). node* busca(node *n, char chave) { if (n == null) return null; if (chave < n->info) return busca(n->left, chave); if (chave > n->info) return busca(n->right, chave); } return n; UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 24

25 Inserção numa ABP Deve obedecer as condições de uma ABP. Percorre a árvore até encontrar o nó no qual o novo nó deve ser inserido como filho. Exemplo: inserção do valor UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 25

26 Exclusão numa ABP Deve obedecer as condições de uma ABP. Três casos de exclusão: Nó folha Nó tem um filho Nó tem dois filhos Por cópia Por fusão UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 26

27 Exclusão de um nó folha Exclue-se o nó e seu pai aponta para nulo. Exemplo: exclusão do nó UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 27

28 Exclusão de um nó com um filho Exclue-se o nó e seu pai aponta para o nó filho. Exemplo: exclusão do nó UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 28

29 Exclusão de um nó com dois filhos Por fusão: Tornar o maior nó na sub-arvore esquerda a raiz da sub-árvore direita. Excluir o nó e seu pai deve apontar para a raiz da sub-árvore esquerda. Exemplo: exclusão do nó UDESC / Rui J. Tramontin Jr. 29