ÁRVORE BINÁRIA DE BUSCA TDA-ABB

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1 ÁRVORE BINÁRIA DE BUSCA TDA-ABB

2 Conceitos Gerais sobre Árvores Uma árvore é uma estrutura hierárquica dividida em níveis, que ou está vazia, ou contém elementos chamados nós; Diferentemente da árvore natural, o nó-raiz de um TDA-árvore encontra-se acima dos demais nós. O nó-raiz é o ascendente comum de todos os nós da árvore. Os nós-folhas são as extremidades finais da árvore, portanto, nósfolhas não possuem descendentes. Diferentemente das pilhas, filas e listas, árvores se estendem em duas dimensões: na largura e na profundidade.

3 Conceitos Gerais sobre Árvores Nó pai, nó filho, nós irmãos: o nó raiz (m) é pai de s, p e a (raízes de subárvores). y, q e x são irmãos, pois estão no mesmo nível e filhas do mesmo nó-pai. Grau de um nó: quantidade de filhos que um determinado nó possui. As folhas têm grau zero. G m = G s = 3, G t = 1, G a = 2. Grau de uma árvore: quantidade máxima de filhos que um nó desta árvore pode apresentar.

4 Conceitos Gerais sobre Árvores Comprimento de um caminho: Contagem das arestas (há autores que contam os nós) atravessadas durante o percurso do caminho. Sendo assim, o caminho entre m e u será conjunto C = {m,a,u} e o comprimento deste caminho L = 2. Nível de profundidade de um nó: corresponde ao comprimento de um caminho que começa obrigatoriamente na raiz e vai até o nó considerado. A profundidade de u é, portanto, igual a dois. Altura de uma árvore: é o maior caminho entre a raiz e uma folha, em outras palavras, corresponde ao nível máximo de uma árvore. A altura da árvore (na figura) é igual a três, pois este é o maior comprimento de caminho que se apresenta na mesma.

5 Conceitos Gerais sobre Árvores Um árvore é dita completa quando todos os seus nós (exceto as folhas) apresentam o grau máximo d Nesse caso teremos: O total de nós de uma árvore (h corresponde à altura da árvore): h i =0 d h =d 0 d 1... d h k =S PG k S PG =a 1 q k 1 0 q 1 =d d h 1 1 d 1 /matematica /soma uma pg finita.htm A quantidade de nós folha será: N= d h A altura será h=log d N soma dos k elementosde uma pg = d h 1 1 d 1

6 Árvores Binárias de Busca ABB São árvores de segundo grau projetadas para otimizar operações de busca. Tal otimização decorre da relação de ordem estabelecida entre os nós desta árvore, ou seja, considerando N como um nó qualquer (não folha!) da ABB, também considerando N esq e N dir, respectivamente, como o conjunto dos nós da subárvore esquerda e direita de N: x N esq e y N dir chave(x) < chave(n) < chave(y) chave( ) retorna o valor de um campo chave de ordenação do registro que representa um nó da ABB.

7 Árvores Binárias de Busca ABB Aqui se considera a chave como do tipo primária, no entanto, a inserção na ABB pode ser adaptada para lidar com uma chave do tipo secundária (identifica uma classe de instâncias de registros), nesse caso, cada nó da ABB poderia referenciar uma lista cujos itens possuiriam o mesmo valor para o campo de chave secundária.

8 Árv. Bin. de Busca Versus a Busca Binária V é um vetor com os dados. Inicio: indexa o início de V Fim: indexa a última posição ocupada em V BUSCA-BINÁRIA (V[], início, fim, chavedebusca) i = (fim+inicio)/2 // índice do meio entre início e fim se (v[i] = chavedebusca) entao devolva o índice i // elemento e encontrado senão (inicio = fim) entao não encontrou o elemento procurado senão se (V[i] vem antes de chavedebusca) então faça a BUSCA-BINÁRIA(V, i+1, fim, chavedebusca) senão faça a BUSCA-BINÁRIA(V, inicio, i-1, chavedebusca) fimse fimse

9 Árv. Bin. de Busca Versus a Busca Binária Veremos o código da busca na ABB mais adiante!!!

10 ABB implementada dinamicamente

11 Utilização de Funções como Argumento - Callback As ABB s devem dispor de algum recurso para comparar os valores dos campos chave dos registros para determinar a posição de um nó durante uma inserção ou a identificação de um nó em uma busca ou remoção. No entanto, no modelo de abstração de dados, não é permitido ao TDA o acesso direto a campos do registro de informação, já que os dados são tratados como pacotes fechados. Para a ABB será proposta a mesma solução utilizada na Fila de Prioridade, sempre que for conveniente o módulo de aplicação deverá prover funções auxiliares para as operações do TDA_ABB que as solicitarem.

12 Percursos em Árvores Árvores podem ser percorridas de maneira que todos os seus nós sejam visitados e processados (por funções de callback) convenientemente. Os percursos podem ser em profundidade: movimentos verticais OU... Podem ser em largura: movimentos horizontais Inicialmente veremos os percursos em profundidade...

13 1) Profundidade: percurso em ordem em_ordem(r, processa) se (r!= Null) em_ordem(r->esq, processa); processa(r); em_ordem(r->dir, processa); senão return; Exemplo considerando que a função PROCESSA( ) exibe a chave do elemento armazenado, teremos a seqüência: 100,200,430,840,860,910,1000

14 2) Profundidade: pós-ordem pos_ordem(r, processa) se (r!= Null) pos_ordem(r->esq, processa); pos_ordem(r->dir, processa); processa(r); senão return; 100,200,860,1000,910,840,430

15 3) Profundidade: pré-ordem pre_ordem(r, processa) se (r!= Null) processa(r); pre_ordem(r->esq, processa); pre_ordem(r->dir, processa); senão return; 430,200,100,840,910,860,1000

16 Percurso em largura Diferentemente dos percursos em profundidade, agora a visitação segue os níveis da árvore. PercursoEmLargura(arvore, processa) fila = Criafila(...); SE (arvore não está vazia E fila foi criada com sucesso) enfileira(raiz); ENQUANTO(fila não vazia) Desenfileira(noh); processa(noh); enfileira(filhoesq(noh)); enfileira(filhodir(noh)) destroifila(...);

17 Percurso em largura 430,200,840,100,910,860,1000

18 Percursos Qual dos percursos é interessante para a operação de destruição da árvore?

19 Implementação do TDA-ABB

20 Arquivo TDA_ABB_PRIV.H #include TDA_ABB.H typedef struct noabb { void *dados; struct noabb *esq; struct noabb *dir; } NoABB, *pnoabb; typedef struct ABB { pnoabb raiz; int taminfo; }ABB; Arquivo TDA_ABB.H /*funções auxiliares àquelas disponíveis na interface do TDA*/... void percorreemordem(pnoabb p, void (* processa)(void *p)); void percorreemposordem(pnoabb p, void (* processa)(void *p)); void percorreempreordem(pnoabb pa, void (* processa)(void *p)); void apaganoabb(pnoabb p);...

21 Arquivo APLICA.C Fragmento: funções de callback As funções de callback recebem seus protótipos em APLICA.H. /*dados os endereços de duas instâncias de registros de informação, há a comparação dos respectivos campos chaves e o retorno da relação entre eles: >, < ou = */ unsigned short comparacamposchaves1(void *pinfo1, void *pinfo2) { tipochave a1 = ((info *)pinfo1)->campochave, a2 = ((info *)pinfo2)->campochave; if (a1 > a2) return '>'; else if (a1 < a2) return '<'; else return '='; }

22 Arquivo TDA_ABB.C A Busca Ao introduzir a ABB utilizou-se a operação de busca para descrever o comportamento deste TDA, nesse momento cabe apenas exibir a codificação dessa operação. int buscaabb(pabb pa, void *destino, void *chave, unsigned short(* cmp)(void *p1, void *p2)) { pnoabb aux; unsigned int ret= FRACASSO; aux = pa->raiz; while( aux!= NULL && (*cmp)(chave,aux->dados)!= '=') aux = (*cmp)(chave,aux->dados)== '<'? aux->esq : aux->dir; if (aux!= NULL) { memcpy(destino, aux->dados, pa->taminfo); ret = SUCESSO; } return ret; }

23 A inserção A inserção bem sucedida em uma ABB (ordenada por chave primária) consiste basicamente em uma busca que fracassa, seguida da ligação de um novo nó folha. Cada nova inserção deve manter a relação de ordem entre os elementos: Para qualquer nó N não folha! Considerando N esq e N dir, respectivamente, como o conjunto dos nós da subárvore esquerda e direita de N, x N esq e y N dir, chave(x) < chave(n) < chave(y).

24 A remoção A remoção também deve manter a relação de ordem que caracteriza a ABB. Uma operação de remoção bem sucedida, consiste de duas etapas: i) inicialmente tem-se uma busca bem sucedida pelo nó alvo da operação, seguida de ii) a remoção propriamente dita do nó alvo. A fase ii do processo de remoção, não é uma operação tão simples. Nessa etapa, o algoritmo de remoção deve tratar três casos possíveis: a) Remoção de um nó folha; b) Remoção de um nó que possui apenas um filho e; c) Remoção de um nó que possui seus dois filhos.

25 A remoção: a remoção de nó folha é trivial.

26 A remoção: a remoção de nó com um único filho também é trivial.

27 A remoção Dos três casos acima citados, os itens a e b são triviais. O mais trabalhoso é o terceiro caso, pois exige a localização de um nó que substitua o nó removido, mantendo a mesma relação de ordem entre os elementos restantes na ABB. Para localizar este substituto deve-se buscar um nó cuja posição corresponda ao sucessor do nó alvo em um percurso em ordem A maioria dos algoritmos opta pelo nó sucessor, no entanto, pode-se utilizar o antecessor em ordem.

28 A remoção A localização do nó sucessor em ordem (substituto do nó alvo) é realizada na subárvore direita do nó alvo. Nesta subárvore deve-se localizar o elemento mais à esquerda e que não possua filho esquerdo. Localizado o substituto, a operação de remoção propriamente dita consistirá na substituição do nó alvo pelo seu substituto. A substituição é realizada por intermédio de manipulação dos campos de ligação entre os nós. O algoritmo de remoção também trata dos casos onde o nó alvo é a própria raiz da árvore.

29 Através substituindo sucessor pelo em Sucessor ordem em ordem

30 Remoção do nó 840 utilizando o seu antecessor

31 int removedaabb(pabb pa, void *chave, unsigned short (* cmp)(void *p1, void *p2), void *copia) { alvo = pa->raiz; while (alvo!= NULL && (*cmp)(chave,alvo->dados)!= '=') { paialvo = alvo; alvo = (*cmp)(chave,alvo->dados)== '<'? alvo->esq : alvo->dir; } if (alvo==null) /*alvo não encontrado */ return FRACASSO; if (alvo->esq == NULL) subst = alvo->dir; /*alvo possui um filho à dir*/ else if(alvo->dir == NULL) subst = alvo->esq;/*alvo possui um filho à esq*/ else /*alvo possui os dois filhos */ { paisubst = alvo; subst = alvo->dir; } avante = subst->esq; while( avante!= NULL) { paisubst = subst; subst = avante; avante = subst->esq; } if(paisubst!= alvo) { paisubst->esq = subst->dir; subst->dir = alvo->dir; } subst->esq = alvo->esq; } Remoção de um nó com os dois filhos utilizando o sucessor em ordem if(paialvo == NULL) pa->raiz = subst; /*alvo era a raiz*/ else alvo == paialvo->esq? (paialvo->esq = subst) : (paialvo->dir = subst); memcpy(copia,alvo->dados,pa->taminfo); free(alvo->dados); free(alvo); return SUCESSO;

32 Construa um TDA-ABB básico: Criação Remoção Inserção Busca Destruição Reinicialização Percursos (privativos) Contagem de folhas Contagem de semi-folhas Contagem de nós completos Determinação da altura da árvore Exibição estrutural (gráfica) da árvore etc...

33 TDA-ABB implementada de maneira estática

34 TDA-ABB implementada de maneira estática Para uma árvore binária completa, o tamanho do vetor pode ser calculado a partir do seu número de folhas: h total de nós= i=0 N h=log 2 N =número de folhas 2 i =2 h 1 1

35 TDA-ABB implementada de maneira estática Construa um TDA-ABB estaticamente alocado: 1)Criação; 2)Remoção; 3)Inserção; 4)Busca; 5)Destruição; 6)Reinicialização; 7)Percursos (privativos) 8)Altura; 9)Número de nós em determinado nível; etc...

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