Bruno Hott Algoritmos e Estruturas de Dados I DECSI UFOP. Aula 08: Árvores

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1 Bruno Hott Algoritmos e Estruturas de Dados I DECSI UFOP Aula 08: Árvores

2 Conceitos básicos Organiza um conjunto de acordo com uma estrutura hierárquica. Contém elementos que são chamados de nós O pai de todos é a raiz (1º. da hierarquia) O nó que não tem filhos é denominado de folha Os demais nós são os nós internos

3 Conceitos sobre árvores Um caminho de n i a n k, onde n i é antecedente a n k, é a sequência de nós para se chegar de n i a n k O comprimento do caminho é o número de nós do caminho -1 O nível de um nó é o comprimento da raiz até o nó +1 A altura de um nó na árvore é o caminho de maior comprimento que se pode fazer deste nó a uma folha. A altura da árvore é a altura de sua raiz.

4 Definição (Aho, Hopcroft e Ullman ) Um único nó é uma árvore. Este nó é raiz da árvore. Suponha que n é um nó e T1, T 2,, T k sejam árvores com raízes n 1, n 2,, n k, respectivamente. Podemos construir uma nova árvore tornando n a raiz e T 1, T 2,, T k sejam subárvores da raiz. Nós n 1, n 2,, n k são chamados filhos do nó n.

5 Caminhamento A ordem dos filhos dos nós em uma árvore pode ser ou não significativa. Exemplos, no heap, a ordem dos filhos não tem significado Outros casos, pode se ter um significado (como veremos em pesquisa em árvores binárias) Considera-se que se a e b são nós irmãos, e a está à esquerda de b, então todos os descendentes de a estão à esquerda de b e de todos os descendentes de b.

6 Caminhamento Diversas formas de percorrer ou caminhar em uma árvore listando seus nós, as principais: Pré-ordem (Pré-fixa) Central (Infixa) Pós-ordem (Pós-fixa) Para todas elas: Se T é uma árvore nula, então a lista é nula. Se T é uma árvore de um único nó então a lista contém apenas este nó. O tratamento é diferenciado para os filhos O que muda é a ordem de apresentação da raiz.

7 Pré-Ordem Pré-ordem: lista o nó raiz, seguido de suas subárvores (da esquerda para a direita), cada uma em pré-ordem. Procedimento PREORDEM (n: TipoNo): Início Lista(n); Para cada filho f de n, da esquerda para direita faça PREORDEM(f); Fim

8 Central Central: lista os nós da 1ª. subárvore à esquerda usando o caminhamento central, lista o nó raiz n, lista as demais subárvores (a partir da 2ª.) em caminhamento central (da esquerda para a direita) Procedimento CENTRAL (n: TipoNo); Início Se Folha(n) então Lista(n); Senão CENTRAL (FilhoMaisEsquerda(n)); Lista (n); Para cada filho f de n, exceto o mais à esquerda, da esquerda para a direita faça CENTRAL (f); Fim;

9 Pós-Ordem Pós-ordem: Lista os nós das subárvores (da esquerda para a direita) cada uma em pós-ordem, lista o nó raiz. Procedimento POSORDEM Início Para cada filho f de n, da esquerda para direita faça POSORDEM(f); Lista(n); Fim;

10 Exercício Crie um TAD TArvoreBin em C cuja informação seja um inteiro e possua ponteiros para duas sub-árvores: esquerda e direita; Escreva funções que recebam um ponteiro para a raiz da árvore e façam: o caminhamento pré-ordem o caminhamento pós-ordem o caminhamento central

11 TAD TArvoreBin typedef int TItem; typedef struct TArvoreBin{ TItem item; TArvoreBin* pesq; TArvoreBin* pdir; TArvore;

12 Caminhamento: PreOrder void PreOrderRec(TArvoreBin* praiz){ if(praiz == NULL) return; printf( %d,praiz->item); PreOrderRec(pRaiz->pEsq); PreOrderRec(pRaiz->pDir);

13 Caminhamento: InOrder void InOrderRec(TArvoreBin* praiz){ if(praiz == NULL) return; InOrderRec(pRaiz->pEsq); printf( %d,praiz->item); InOrderRec(pRaiz->pDir);

14 Caminhamento: PostOrder void PosOrderRec(TArvoreBin* praiz){ if(praiz == NULL) return; PosOrderRec(pRaiz->pEsq); PosOrderRec(pRaiz->pDir); printf( %d, praiz->item);

15 Caminhamento: PreOrder (não recursivo) void PreOrderIt(TArvoreBin* praiz){ TArvoreBin* paux; TPilha P; FPVazia(&P); Pempilha(&P,&pRaiz); while(!pehvazia(&p)){ Pdesempilha(&P,&pAux); if(paux == NULL) continue; printf( %d\t,paux item); PEmpilha(&P,pAux->pEsq); PEmpilha(&P,pAux->pDir);

16 Caminhamento: InOrder (não recursivo) void InOrderIt(TArvoreBin* praiz){ TArvoreBin* paux; TPilha P; FPVazia(&P); Pempilha(&P,pRaiz); Aux = praiz->pesq; while(!pehvazia(&p) paux!= NULL){ if(paux == NULL){ Pdesempilha(&P,&pAux); printf("%d\t",paux->item); paux = paux->pesq; else{ Pempilha(&P,pAux); paux = paux->pdir;

17 Caminhamento: PostOrder (não recursivo) void PostOrderIt(TArvoreBin* praiz){ TArvoreBin *paux; TPilha P1,P2; FPVazia(&P1); FPVazia(&P2); PEmpilha(&P2,pRaiz); paux = praiz; while(!pehvazia(&p2)){ PDesempilha(&P2,&pAux); PEmpilha(&P1,pAux); if(paux->pesq!= NULL) PEmpilha(&P2,pAux->pEsq); if(paux->pdir!= NULL) PEmpilha(&P2,pAux->pDir); while(!pehvazia(&p1) ){ PDesempilha(&P1,&pAux); printf("%d\t",paux->item);

18 Classificação de Árvores Árvore Estritamente Binária Se cada nó não-folha em uma árvore binária não tem subárvores esquerda e direita vazias

19 Classificação de Árvores Árvore Binária Completa Uma árvore binária completa de nível n é a árvore estritamente binária, onde todos os nós folhas estão no nível n.

20 Classificação de Árvores Árvore Binária Quase Completa Uma árvore binária de nível n é uma árvore binária quase completa se: Cada nó folha na árvore esta no nível n ou no nível n-1 Para cada nó n d na árvore com um descendente direito no nível n, todos os descendentes esquerdos de n d que são folhas estão também no nível n