Estruturas de Dados e Algoritmos (C/C++) Aula 05 (Prof. Fábio) pag. 1. Aula 05 - Conteúdo

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1 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. ula 05 - onteúdo ) Árvores e suas representações ) Árvore inária e suas representações ) Percursos em Árvores inárias ) mplementações dos algoritmos sobre árvores binárias 5) Representação de árvores por meio de árvores binárias 6) xercícios Árvores Terminologia ásica Árvore é um conjunto finito de um ou mais nós de tal natureza que: (i) existe um nó especialmente designado denominado raiz. (ii) os nós restantes estão desdobrados em n conjuntos (n 0) separados T, T... T n em que cada um dos referidos conjuntos se constitui numa árvore. Os conjuntos T, T... T n se denominam as subárvores da raiz. Obs.: T, T... T n são conjuntos individuais, ou seja, subárvores não podem ser interligadas (não deve haver procriação entre elementos). efinições: grau de um nó: número de subárvores de um nó grau da árvore: grau máximo entre os nós da árvore folhas: nós com grau 0 (também chamados nós terminais) filhos: raízes das subárvores de um nó pai de um nó: raiz da subárvore que contem este nó irmãos: nós que são filhos do mesmo pai nível: define- se inicialmente que a raiz está no nível. partir deste ponto temos que os filhos da raiz estão no nível, os filhos dos filhos da raiz estão no nível e assim sucessivamente. altura ou profundidade: nível máximo entre os nós de uma árvore antepassados de um nó: seqüência de nós ao longo da raiz até este nó floresta: conjunto de n árvores separadas (n 0 ). noção de floresta se aproxima muito da noção de árvore pois se retirarmos a raiz obtemos uma floresta xemplo : Nível J K L M

2 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. Podemos afirmar sobre a árvore acima: a árvore tem nós a raiz é o nó o grau da árvore é o grau do nó é, o grau do nó é e o grau do nó é 0 as folhas da árvore são K, L,,, M,, J os demais nós são chamados de nós não terminais os filhos do nó são os nós, e J o pai do nó é o nó os nós, e J são irmãos. os antepassados do nó M são os nós, e. nível do nó é, do nó é e do nó M é a altura da árvore é Representação de Árvores a) estrutura em forma de lista árvore do exemplo pode ser representada pela seguinte lista de nós: ((((K,L),),(),((M),,J))) b) estrutura utilizando apontadores ados pont. pont.... pont. n xemplos de representação com apontadores a) utilizando vetor de apontadores M L 0 J 9 -- K Raiz = 5 Livre = b) utilizando apontador e alocação dinâmica - lista de apontadores J K L M

3 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. Árvores inárias efinição: é um conjunto finito de nós, que se apresenta vazio ou que consiste de uma raiz e de duas árvores binárias separadas, denominadas a subárvore esquerda e a subárvore direita. obs.: numa árvore binária não existe nó com grau superior a dois. obs.: uma árvore binária completa de profundidade k é uma árvore binária com k- nós. Não existe árvore vazia (nós com grau zero), ao passo que existe um árvore binária vazia. Se considerarmos as duas árvores abaixo como sendo árvores binárias podemos afirmar que elas são diferentes pois a primeira tem subárvore direita vazia e a segunda tem subárvore esquerda vazia. Se as considerarmos como árvores elas seriam idênticas, apenas desenhadas de maneira diferente. onsidere as árvores binárias abaixo: Nível (a) (b) J K L M N O 5 Lema: i) o número máximo de nós do nível k de uma árvore binária é k-, k. ii) o número máximo de nós numa árvore binária de profundidade n é n -, n. Prova lema (i): ndução em k ase da ndução: a raiz é o único nó no nível k = logo o número máximo de nós no níve k = é k- = 0 =. ipótese para ndução: provar que no nível k temos k- nós. No nível k- temos k- nós. omo a árvore tem grau máximo, no nível k temos. k- nós, ou seja, k- nós.

4 k i= struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. Prova lema (ii) O número máximo de nós numa árvore binária de profundidade k é de ( nº má ximo denós do nível i) k i ( ) k = i=. Representação de Árvores inárias studaremos dois modos de representar árvores binárias: a representação seqüencial e a representação ligada. Na representação ligada veremos como implementar uma árvore binária utilizando um vetor de apontadores e utilizando alocação dinâmica. a) Representação seqüencial Nesta representação os nós são numerados por nível e da esquerda para a direita, pois dessa maneira, os nós podem ser armazenados num vetor, sendo que o nó de número k será armazenado na posição k do vetor. Nível J K L M N O Seja uma árvore binária completa com n nós representados seqüencialmente. Para qualquer nó com índice k, k n temos: a) Pai(k) está em int(k/) sendo k. Se k = 0, k é a raiz b) ilhosq(k) está em k, se k n. Se k > n então k não tem filho esquerdo. c) ilhoir(k) está em k +, se k + n. Se k + > n então k não tem filho direito. Para árvores binárias completas, a representação é ideal pois não há perda de espaço. Para árvores assimétricas ocorrerá perda, sendo que, no pior caso, uma árvore assimétrica de profundidade k exigirá k- posições e só ocupará k posições (lista linear).

5 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag (a) : 6 : : : 8 (b) J K L M N O J K L M N O Vantagens e desvantagens da representação seqüencial Vantagens: estrutura e algoritmos simples, rapidez no acesso ao pai e aos filhos de um nó. esvantagens: perda de espaço para árvores assimétricas (exemplo a), inserções e deleções de nós no meio da árvore exigem uma reorganização do vetor. b) Representação Ligada sta representação pode ser implementada, dentre outras maneiras, através de um vetor ou através de alocação dinâmica, ambos modos utilizando apontadores (por isso chamada de representação ligada).

6 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. 6 b.) Utilizando um vetor J K L M N O b.) Utilizando alocação dinâmica Raiz = nfo sq ir J M L K O N squema da estrutura de dados ilho squerdo nformação ilho ireiro Raiz J K L M N O s estruturas acima apresentadas dificultam a determinação do pai de um nó. Se for essencial este tipo de acesso pode-se adicionar mais um campo de modo a armazenar uma referência ao pai do nó. Operações em Árvores inárias Para construirmos uma árvore binária devemos definir as seguintes operações: riarv(x): cria uma árvore binária de um único nó com informação x e devolve um apontador para esta árvore.

7 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. 7 nssq(p,x): cria um novo nó, contendo a informação x, a esquerda do nó apontado por p. Se p Null ocorrerá um erro. nsir(p,x): cria um novo nó, contendo a informação x, a direita do nó apontado por p. Se p Null ocorrerá um erro. nfo(p): retorna a informação contida no nó apontado por p. ilhosq(p): retorna o apontador para o filho esquerdo de p. ilhoir(p): retorna o apontador para o filho direito de p. rmão(p): retorna o apontador para o irmão de p. Pai(p): retorna o apontador para o pai de p. O Programa abaixo implementa as operações descritas e cria a seguinte árvore binária (arquivo x50.cpp): #include <iostream.h> struct No int nfo; struct No *ir, *sq, *Pai; ; struct No *Raiz; struct No *riarv(int x) struct No *p; p = new struct No; p->nfo = x; p->sq = p->ir = p->pai = NULL; return(p); void nssq(struct No *p, int x) if ( p == NULL)cout << "rro: Árvore Vazia"; else if (p->sq!= NULL ) cout << "rro: inserção incorreta"; else p->sq = riarv(x); void nsir(struct No *p, int x) if ( p == NULL)cout << "rro: Árvore Vazia"; else if (p->sq!= NULL ) cout << "rro: inserção incorreta"; else p->ir = riarv(x); int nfo(struct No *p)

8 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. 8 if (p!= NULL ) return(p->nfo); return(-); struct No* ilhosq(struct No *p) if (p!= NULL ) return(p->sq); return(null); struct No* ilhoir(struct No *p) if (p!= NULL ) return(p->ir); return(null); struct No* Pai(struct No *p) if (p!= NULL ) return(p->pai); return(null); struct No* rmao(struct No *p) struct No *q; if (p!= NULL ) q = p->pai; if (q == NULL ) return NULL; //p é a raiz if ( q->sq == p ) return(q->ir); else return(q->sq); return(null); void main() struct No *pe,*pd; Raiz = riarv(5); nssq(raiz,); nsir(raiz,7); pe = ilhosq(raiz); pd = ilhoir(raiz); nssq(pe,); nsir(pe,); nssq(pd,6); nsir(pd,8);

9 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. 9 Percursos em Árvores inárias Para acessarmos os elementos de uma árvore binária devemos percorrer os seus nós através das referências que temos para os seus filhos esquerdo e direito. Para que este acesso não seja desordenado e aleatório e para que possamos desenvolver os algoritmos que exploram esta estrutura devemos estabelecer algumas regras para percorrer as árvores binárias. Tomaremos a seguinte convenção: representa percorrer a subárvore esquerda de um nó P representa o acesso a um nó (impressão, consulta, alteração, etc.) representa percorrer a subárvore direita de um nó Podemos formar seis combinações possíveis: P, P, P, P, P, P. dotando a norma de percorrer primeiro a árvore esquerda, temos três combinações: P - em ordem (in order) P - pós ordem (pos order) P - pré ordem (pre order) xemplos (a) P(in order): P(pre order): P(pos order): (b) in order P: pre order P: pos order P:

10 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. 0 (c) X in order P: K W R Y X M P K P pre order P: X K R W Y P M R pos order P: W Y R K M P X W Y M (d) / ^ + * in order P: / ^ * + pre order P: + * / ^ pos order P: ^ / * + obs: repare que existe uma correspondência entre percorrer as árvores em ordem, pós-ordem e pré-ordem com a notação infixa, pós fixa e pré fixa. baixo temos os algoritmos in order, pré order e pós order para percurso em árvores binárias: lgoritmo norder(t) Se T NULL então norder(t->sq) screva(t->nfo) norder(t->ir) fimse lgoritmo PreOrder(T) Se T NULL então screva(t->nfo) PreOder(T->sq) PreOrder(T->ir) fimse lgoritmo PosOrder(T) Se T NULL então PosOrder(T->sq) PosOrder(T->ir) screva(t->nfo) fimse

11 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. implementação destes algoritmos depende da estrutura de dados adotada. baixo mostraremos três formas de implementação: ) lgoritmos para percurso em árvores binárias utilizando representação ligada com alocação dinâmica e apontadores (arquivo x50.cpp). squema de estrutura ligada com alocação dinâmica T X sq nfo ir K M #include <iostream.h> #include <string.h> struct No char nfo[0]; struct No *ir, *sq; ; struct No *Raiz; continua a árvore... void norder(struct No *T) if ( T!= NULL ) norder(t->sq); cout << T->nfo << " "; norder(t->ir); void PreOrder(struct No *T) if ( T!= NULL ) cout << T->nfo << " "; PreOrder(T->sq); PreOrder(T->ir); void PosOrder(struct No *T) if ( T!= NULL ) PosOrder(T->sq); PosOrder(T->ir); cout << T->nfo << " "; void monta_arv_exemplo() struct No *p,*pe,*pd; Raiz = p = (struct No*) new struct No; strcpy(raiz->nfo,""); Raiz->sq=NULL; Raiz->ir=NULL; pe = (struct No*) new struct No; strcpy(pe->nfo,""); pe->sq=null; pe->ir=null;

12 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. pd = (struct No*) new struct No; strcpy(pd->nfo,""); pd->sq=null; pd->ir=null; p->sq = pe; p->ir = pd; p = Raiz->sq; //p aponta p/ o elemento da arvore pe = (struct No*) new struct No; strcpy(pe->nfo,""); pe->sq=null; pe->ir=null; pd = (struct No*) new struct No; strcpy(pd->nfo,""); pd->sq=null; pd->ir=null; p->sq = pe; p->ir = pd; p = pd; //p aponta p/ o elemento da arvore pe = (struct No*) new struct No; strcpy(pe->nfo,""); pe->sq=null; pe->ir=null; pd = (struct No*) new struct No; strcpy(pd->nfo,""); pd->sq=null; pd->ir=null; p->sq = pe; p->ir = pd; p = Raiz->ir; //p aponta p/ o elemento da arvore pd = (struct No*) new struct No; strcpy(pd->nfo,""); pd->sq=null; pd->ir=null; p->ir = pd; p = pd; //p aponta p/ o elemento da arvore pe = (struct No*) new struct No; strcpy(pe->nfo,""); pe->sq=null; pe->ir=null; p->sq = pe; void main() Raiz = NULL; monta_arv_exemplo(); norder(raiz); cout << endl; PreOrder(Raiz); cout << endl; PosOrder(Raiz); cout << endl; Os algoritmos de percurso em árvore foram implementados utilizando recursividade, entretanto podemos escrevê-los de forma não recursiva como mostrado abaixo para o caso do percurso n Order (arquivo x50.cpp). void nordernr(struct No *T) struct Pilha s; struct No *p; nicpilha(s); p = T; do while ( p!= NULL ) mpilha(s,p); p = p->sq; if (!PilhaVazia(s) ) esempilha(s,p); cout << p->nfo << " "; p = p->ir; while (!PilhaVazia(s) p!= NULL );

13 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. ) lgoritmos para percurso em árvores binárias utilizando representação ligada com vetor e apontadores (arquivo x50.cpp). #include <iostream.h> #include <string.h> #define MX_NO struct No char nfo[0]; int ir,sq; ; struct No rv[mx_no]; int Raiz, Livre; void norder(int T) if ( T!= - ) norder(rv[t].sq); cout << rv[t].nfo << " "; norder(rv[t].ir); void PreOrder(int T) if ( T!= - ) cout << rv[t].nfo << " "; PreOrder(rv[T].sq); PreOrder(rv[T].ir); void PosOrder(int T) if ( T!= - ) PosOrder(rv[T].sq); PosOrder(rv[T].ir); cout << rv[t].nfo << " "; void monta_arv_exemplo() Raiz = ; Livre = 7; strcpy(rv[0].nfo,""); rv[0].sq=-; rv[0].ir=-; strcpy(rv[].nfo,""); rv[].sq=-; rv[].ir=0; strcpy(rv[].nfo,""); rv[].sq=-; rv[].ir=-; strcpy(rv[].nfo,""); rv[].sq=9; rv[].ir=0; strcpy(rv[].nfo,""); rv[].sq=8; rv[].ir= ; strcpy(rv[5].nfo,""); rv[5].sq=-; rv[5].ir=-; strcpy(rv[6].nfo,"--"); rv[6].sq=; rv[6].ir=-; strcpy(rv[7].nfo,"--"); rv[7].sq=6; rv[7].ir=-; strcpy(rv[8].nfo,""); rv[8].sq=5; rv[8].ir=; strcpy(rv[9].nfo,""); rv[9].sq=-; rv[9].ir=-; strcpy(rv[0].nfo,""); rv[0].sq=; rv[0].ir=-; strcpy(rv[].nfo,"--");rv[].sq=-;rv[].ir=-; void main() Raiz = NULL; monta_arv_exemplo(); norder(raiz); cout << endl; PreOrder(Raiz); cout << endl; PosOrder(Raiz); cout << endl;

14 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. ) lgoritmos para percurso em árvores binárias utilizando representação seqüencial (arquivo x505.cpp). Relembrando. Para uma árvore binária representada seqüencialmente temos: a) Pai(k) está em int(k/) b) ilhosq(k) está em k c) ilhoir(k) está em k+ omo na linguagem os vetores iniciam na posição 0 devemos adaptar estas regras para esta particularidade da linguagem. ssim sendo temos: a) Pai(k) está em int((k-)/) b) ilhosq(k) está em k+ c) ilhoir(k) está em k+ #include <iostream.h> #include <string.h> #define MX_NO 0 struct No char nfo[0]; int xisteno; //indica se o nó existe ; struct No rv[mx_no]; void norder(int T) if ( rv[t].xisteno!= 0 ) norder(*t + ); cout << rv[t].nfo << " "; norder(*t + ); void PreOrder(int T) if ( rv[t].xisteno!= 0 ) cout << rv[t].nfo << " "; PreOrder(*T + ); PreOrder(*T + ); void PosOrder(int T) if ( rv[t].xisteno!= 0 ) PosOrder(*T + ); PosOrder(*T + ); cout << rv[t].nfo << " "; void monta_arv_exemplo() strcpy(rv[ 0].nfo,""); rv[ 0].xisteNo = ; strcpy(rv[ ].nfo,""); rv[ ].xisteno = ; strcpy(rv[ ].nfo,""); rv[ ].xisteno = ; strcpy(rv[ ].nfo,""); rv[ ].xisteno = ; strcpy(rv[ ].nfo,""); rv[ ].xisteno = ; strcpy(rv[ 5].nfo,"-"); rv[ 5].xisteNo = 0; strcpy(rv[ 6].nfo,""); rv[ 6].xisteNo = ; strcpy(rv[ 7].nfo,"-"); rv[ 7].xisteNo = 0;

15 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. 5 strcpy(rv[ 8].nfo,"-"); rv[ 8].xisteNo = 0; strcpy(rv[ 9].nfo,""); rv[ 9].xisteNo = ; strcpy(rv[0].nfo,""); rv[0].xisteno = ; strcpy(rv[].nfo,"-"); rv[].xisteno = 0; strcpy(rv[].nfo,"-"); rv[].xisteno = 0; strcpy(rv[].nfo,""); rv[].xisteno = ; strcpy(rv[].nfo,"-"); rv[].xisteno = 0; for(int k=5; k < 0; k++) rv[k].xisteno = 0; void main() monta_arv_exemplo(); //o índice 0 indica a raiz da árvore norder(0); cout << endl; //binária na representação seqüencial PreOrder(0); cout << endl; PosOrder(0); cout << endl; Representação de Árvores por Árvores inárias Podemos representar qualquer árvore sob a forma de árvore binária. sto é importante pois os métodos utilizados para representação de árvores normalmente têm algumas características indesejáveis, como por exemplo nós de tamanho variável. o chegar á representação de árvore binária para árvore vamos implicitamente nos servir do fato de que não tem importância a seqüência dos filhos de um nó. Originalmente a estrutura de árvore binária foi definida do seguinte dado: squema de estrutura ligada com alocação dinâmica T X sq nfo ir K M continua a árvore... Para representar uma árvore como árvore binária, mudamos apenas a relação entre os nós da forma abaixo (note que a estrutura não foi alterada). Repare também que, com esta mudança, o filho direito da raiz da árvore binária estará sempre vazio pois, neste caso, a raiz não possui irmãos. ilho nfo rmão xemplos Árvore Árvore inária ou

16 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. 6 Árvore Árvore inária J J Por outro lado, uma floresta pode ser transformada numa única árvore binária utilizando para isto o campo filho direito (no caso irmão) da raiz da árvore binária. xemplo: loresta com três árvore Árvore binária representando a floresta

17 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. 7 xercícios Resolva os exercícios 5.0, 5.0 e 5.0 utilizando as árvores binárias abaixo: (a) (b) X (c) / \ / \ / \ Y Z X Y / \ / \ \ \ / \ / \ K W K Z W R P \ \ / / \ / \ / \ J R S T U / / / \ M N (d) (e) / \ / \ K W K / \ / \ / \ \ M Y Z / \ \ \ / \ / \ J N R S T U / \ \ M N 5.0) Represente as árvores binárias acima utilizando a representação seqüencial. 5.0) Represente as árvores binárias acima utilizando a representação ligada com vetor (distribua os dados da árvore da maneira que você desejar dentro do vetor). 5.0) Qual a seqüência de nós visitados se percorrermos as árvores binárias acima segundo os algoritmos in order, pre order e pos order? 5.0) ltere o programa x50.cpp (árvore binária com alocação dinâmica representação ligada) para armazenar um cadastro de pessoas contendo Nome (string 0), idade (inteiro) e sexo (caracter). 5.05) ltere o programa x50.cpp (árvore binária com vetor representação ligada) para armazenar um cadastro de s contendo Titulo do (string 0), número de músicas (inteiro) e preço (real). 5.06) ltere o programa x505.cpp (árvore binária representação seqüencial) para armazenar um cadastro de Livros contendo Titulo do livro (string 0), número de páginas (inteiro) e preço (real). 5.07) laborar função para contar o número de nós de uma árvore binária. 5.08) laborar função para contar o número de folhas de uma árvore binária. Utilize a representação ligada com alocação dinâmica. 5.09) laborar uma função para determinar a altura de uma árvore binária. 5.0) laborar uma função para imprimir apenas os nós de um determinado nível de uma árvore binária. 5.) laborar uma função para encontrar o pai de um nó (considerar que esta estrutura não possui um apontador para o nó pai). 5.) laborar uma função para encontrar o irmão de um nó (considerar que esta estrutura não possui um apontador para o nó pai).

18 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. 8 5.) Represente as árvores abaixo por meio de árvores binárias (a) (b) X / \ / \ Y W Z / \ // \\ / \ R M N K M \ \ \ // \\ / \ J RS T UV / \ Respostas 5.0) representação seqüencial árvore (a) K J - 5.0) representação ligada com vetor árvore (a) nfo -- J K sq ir Raiz = Livre = 6 5.0) percorrer as árvores binárias segundo os algortimos n, Pre e Pos Order árvore (a) n Order(P): J K Pre Order(P): K J Pos Order(P): J K 5.0) ste é por sua conta. ivirta-se! penas uma dica. estrutura para este exercício pode ser como a mostrada abaixo: struct No char Nome[0]; int dade; char Sexo; struct No *ir, *sq; ; struct No *Raiz; 5.05) ste é por sua conta. 5.06) ste é por sua conta. 5.07) contar o número de nós de uma árvore binária int ontanos(struct No *T) if ( T == NULL ) return(0);

19 struturas de ados e lgoritmos (/++) ula 05 (Prof. ábio) pag. 9 else return( + ontanos(t->sq) + ontanos(t->ir)); 5.08) contar o número de nós de uma árvore binária int ontaolhas(struct No *T) if ( T == NULL ) return(0); else if (T->sq == NULL && T->ir == NULL ) return(); else return( ontaolhas(t->sq) + ontaolhas(t->ir)); 5.09) ste é por sua conta. ivirta-se! 5.0) ste também. 5.) ste também. 5.) ste também. 5.) ste também.