Árvores. A Profundidade da Árvore B C D E. Árvores Implementação Genérica

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1 Árvores Estrutura composta por nós e arcos direcionados Um dos nós é a raiz da árvore. Todo nó (exceto a raiz), possui um nó pai. Existe um único caminho da raíz até um nó. Uma árvore cujos nós possuem no máximo 2 nós filhos é uma árvore binária. A 0 Profundidade da Árvore B C D E 1 F G H I J K 2 Altura da árvore = maior profundidade + 1 Árvores Implementação Genérica Cada nó precisa possuir uma referência para cada um dos seus nós filhos. Os filhos de um nó podem ser armazenados em uma lista ligada dentro do nó. Uma implementação deste tipo é recursiva (cada nó é um nó raiz de uma sub-árvore). Uma consequência da recursividade desta estrutura de dados é que as funções que a manipulam também são recursivas. 1

2 Árvores Aplicações Sistema de Arquivos e Diretórios (Unix, Linux, Windows) Suponha que queiramos imprimir o nome de arquivos a partir de um diretório: Imprimir(): Imprimir o nome do arquivo/diretório corrente Para cada arquivo/diretório x dentro do diretório corrente x.imprimir() Árvores Função Recursiva A B C D E F G H I J K A B F G C D H E I J K F G B C H D I K J E A Note que esta é uma função recursiva. Neste caso, a visita aos nós ocorre em uma ordem chamada anterior. Poderíamos ter delegado a impressão aos nós filhos, antes da impressão dos nós pai, neste caso a visita obedeceria a uma ordem posterior. 2

3 Árvores Função Recursiva Exercícios: Implementar uma função recursiva para calcular a altura de uma árvore. Implementar uma função recursiva para calcular o número de nós de uma árvore. Árvores Binárias - Implementação Árvores cujos nós possuem no máximo 2 nós filhos. public class NoBinario { Object dado; NoBinario esquerdo, direito; NoBinario(Object x) { dado = x; esquerdo = null; direito = null; NoBinario (Object x, NoBinario e, NoBinario d) { dado = x; esquerdo = e; direito = d;

4 Árvores Binárias - Implementação public int tamanho(){ int tamanhoesquerdo = 0; int tamanhodireito = 0; if (esquerdo!=null) tamanhoesquerdo = esquerdo.tamanho(); if (direito!=null) tamanhodireito = direito.tamanho(); return (1 + tamanhoesquerdo + tamanhodireito); Árvores Binárias - Exemplo Exemplo: Árvore de expressões + a * - d b c Folhas são variáveis demais nós são operações A partir da raiz imprima: nó esquerdo o próprio nó nó direito (a + ((b-c)*d)) Ordem interior 4

5 Procedimentos de iteração Muitas aplicações exigem que todos os nós de uma árvore sejam visitados. Para simplificar, vamos considerar apenas árvores binárias Ordem anterior Prefixado 2 4 Ordem posterior Posfixado 4 6 Ordem interior Interfixado Procedimentos de iteração - Implementação execute: execute Atividade; if (left!=null) left.execute(); if (rigth!=null) rigth.execute(); 5 Ordem anterior Prefixado 5

6 Procedimentos de iteração - Implementação execute: if (left!=null) left.execute(); if (rigth!=null) rigth.execute(); execute Atividade; 2 4 Ordem posterior Posfixado Procedimentos de iteração - Implementação execute: if (left!=null) left.execute(); execute Atividade; if (rigth!=null) rigth.execute(); 4 6 Ordem interior Interfixado 6

7 Importante Implementações recursivas são simples (abordagem muito voltada a a resolução de problemas) mas do ponto de vista de utilização de recursos computacionais são soluções pouco eficientes pois todas operações fazem uso intensivo do Stack (pilha) do interpretador. Procedimento de iteração adicional Iteração por nível: quando um nó é visitado, seus filhos são adicionados à uma fila. B C D E F G H I J A K 11 NO A: B C D E NO B: C D E F G NO C: D E F G NO D: E F G H NO E: F G H I J NO F: G H I J NO G: H I J NO H: I J NO I: J NO J: K NO K: Busca em Largura

8 Árvores Binárias de Busca Para realizar uma busca de forma genérica, consideramos que cada objeto possui um identificador (ou chave, key ). Em uma árvore de busca binária: cada nó na sub-árvore esquerda de um nó x tem um identificador menor que x cada nó na sub-árvore direita de x tem identificador maior que x. Árvores Binárias de Busca Em uma árvore de busca binária uma ordem interior passa pelos identificadores em ordem crescente. 2 9 Ordem interior:

9 Árvores Binárias de Busca - Operações Find () inicie na raiz e mova para direita ou esquerda até encontrar o elemento. Minimo() sempre a esquerda Maximo() sempre a direita Remove() encontra o nó que será removido: se o nó não tem filhos, remova se o nó tem um filho, substitua o nó pelo filho se o nó tem dois filhos, substitua: pelo menor item na árvore direita e o remova pelo maior item na árvore esquerda e o remova Árvores Binárias de Busca - Operações Remoção apresenta dificuldade no caso em que o nó removido possui dois filhos: R X Note que X é maior que A e B: AeB não podem ser filhos de X X poderia ainda ter um outro filho direito A B 9

10 Árvores Binárias de Busca - Operações Se substituirmos o nó removido pelo menor elemento da subárvore direita resolvemos o problema: 2 9 Remove(2) Árvore Binária de Busca public class NoBinBusca { int dado; NoBinBusca esq, dir; public NoBinBusca (int d) { dado = d; esq = null; dir = null; public NoBinBusca minimo(){ NoBinBusca n = this; while (n.esq!=null) n = n.esquerdo; return (n); 10

11 Árvore Binária de Busca public NoBinBusca maximo(){ NoBinBusca n = this; while (n.dir!=null) n = n.dir; return (n); public NoBinBusca busca(int x) { if (x<dado) { if (esq!=null) return esq.busca(x); else return (null); else if (x>dado){ if (dir!=null) return dir.busca(x); else return (null); else return (this); Árvore Binária de Busca public void insere(int x){ if (x<dado) { if (esq!= null) esq.insere(x); else esq = new NoBinBusca(x); else if (x>dado) { if (dir!=null) dir.insere(x); else dir = new NoBinBusca(x); else return; 11

12 Árvore Binária de Busca //retorna o nó raiz da sub-árvore public NoBinBusca remove(int x){ if (x<dado) { if (esq!= null) esq.remove(x); else if (x>dado) { if (dir!=null) dir.remove(x); else return(retira()); return(this); Árvore Binária de Busca private NoBinBusca retira() { if (esq == null) return (dir); else if (dir ==null) return (esq); else { if (dir.esq ==null) { dado = dir.dado; dir = dir.dir; else { NoBinBusca pai = dir; NoBinBusca filho = pai.esq; while (filho.esq!= null) { pai = filho; filho = pai.esq; dado = filho.dado; pai.esq = filho.dir; return (this);