Árvores: conceitos gerais e representações

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1 1 1. Conceitos fundamentais Até agora estudamos estruturas de dados lineares, isto é, estruturas apropriadas ao armazenamento de dados que têm uma relação seqüencial: 1. Estruturas lineares contíguas em memória, isto é, vetores estaticamente ou dinamicamente alocados. 2. Estruturas lineares ligadas. Nestas estruturas, cada nó contém uma informação útil e a localização de um único sucessor, que é o próximo nó na seqüência (ver figura abaixo). Existem outros tipos de dados cuja relação interna não é seqüencial e, portanto, não podem ser representados de maneira simples ou conveniente por estruturas lineares. Vamos examinar o exemplo da hierarquia de cargos dentro de uma empresa de software, que têm a seguinte representação: Uma estrutura hierárquica como esta é chamada de árvore. Da mesma maneira que uma lista ligada, é composta de nós (cada um dos cargos) e possui um primeiro nó (o Presidente), chamado de raiz. Os nós se relacionam através de ligações. Diferentemente das listas, cada nó pode possuir vários sucessores. Por exemplo, os Diretores são todos sucessores do Presidente. Quando um nó B é sucessor de um nó A, dizemos que B é filho de A e A é pai de B. Por exemplo, o Diretor de Vendas é pai dos vendedores, e os vendedores são filhos do Diretor de vendas. Por outro lado, se dois nós têm o mesmo pai, são chamados de irmãos. Por exemplo, todos os vendedores são irmãos, mas nem todos os os programadores o são. Um nó que não tem filhos é chamado de terminal ou folha. No caso acima, todos os

2 2 programadores, Operadores, Técnicos e Vendedores são nós terminais. Perceba que normalmente desenhamos uma árvore de cabeça para baixo, pois a raiz está em cima e as folhas estão em baixo! O nível.de um nó é o número de ligações que devemos percorrer para chegar a este nó partindo da raiz. Por exemplo, o nível do Gerente de Help Desk é 2 e o nível de todos os programadores é 3. Por esta definição, temos que o nível da raiz é 0. Deve-se notar que em uma árvore sempre existe um único caminho ligando a raiz a qualquer nó. Quando uma árvore tem um nó que está no nível n mas não tem nenhum nó que esteja no nível n+1, dizemos que a árvore tem profundidade n. A árvore acima tem um nó que está no nível 3 (o Técnico 1, por exemplo), mas não tem nenhum nó no nível 4 (na verdade, podemos dizer que a árvore nem tem um nível 4!). Assim, a profundidade desta árvore é 3. A profundidade é um conceito importantíssimo, pois nos diz qual o número máximo de ligações que percorreremos para sair da raiz e chegar a qualquer outro nó. Definimos a ordem de uma árvore como sendo o número de filhos do nó que tem o maior número de filhos. Na árvore acima, o nó que tem o maior número de filhos é o Gerente de Help Desk, que tem 4 filhos. Assim, a ordem desta árvore é 4 (para calcular a ordem, deve-se procurar o nó que tem o maior número de filhos, independentemente do seu nível). 2. Representação em diretórios Um exemplo importantíssimo de estrutura do tipo árvore é um conjunto de diretórios e arquivos em um sistema de arquivos (filesystem) dentro de computador. Consideremos por exemplo o seguinte conjunto de arquivos e diretórios: /texo/ /texto/aed/ /texto/aed/arvores.pdf /texto/aed/grafos.pdf /texto/help.txt /fotos/ /fotos/joao.jpg /fotos/maria.jpg /fotos/ferias/ /fotos/ferias/foto1.jpg /fotos/ferias/foto2.jpg /autorun.inf Observações: no DOS, usa-se a barra inversa \ para separar diretórios. No UNIX e na internet usa-se a barra convencional /. Marcamos diretórios escrevendo uma barra no final do nome (por exemplo AED/). Este conjunto pode ser entendido como uma árvore. Neste caso, a raiz é anônima e pode ser representada pela barra /. No diagrama ao lado, representamos esta árvore da forma comum. Devemos observar que todas as árvores, independentemente do tipo de seu conteúdo, podem ser representadas na forma de diretórios. Problemas: 1. Identifique os nós terminais, o nível de cada nó e a ordem desta árvore. 2. Escreva a árvore dos cargos da empresa de software da seção anterior na forma de diretórios.

3 3 3. Representação em seções É possível representar árvores na forma das seções que aparcem no índice de um livro. Por exemplo, suponhamos um livro de Algoritmos e Estruturas de Dados. A cada capítulo, seção, subseção etc daremos um número de índices de acordo com o seu nível: Algoritmos e Estruturas de Dados 1 Conceitos de C 1.1 Ponteiros 1.2 Structs 1.3 Alocação Dinâmica 2 Estruturas Contíguas 2.1 Vetores 2.2 Matrzes 3. Estruturas Ligadas 3.1 Listas Entadeadas Encadeamento Simples Encadeamento Duplo 3.2 Árvores As linhas que contém somente um índice são os capítulos: Conceitos de C, Estruturas Contíguas e Estruturas ligadas. As que contém dois índices separados por ponto são seções que pertencem aos capítulos, por exemplo Vetores é a seção 1 do capítulo 2. As que contém três índices são subseções etc. Considerarando o título do livro como a raiz, podemos representar este livro na forma comum de uma árvore, no diagrama abaixo. Note que, assim como no caso da representação por diretórios, toda árvore pode ser representada na forma de índices de seções. 4. Reprentação por tabulações (indentação) A representação por tabulações ou espaços ou ainda por indentação é uma forma listada, assim como a representação por diretórios e seções, na qual o nível dos nós é representado pelo avanço na escrita do texto, assim como em um programa bem escrito em C. Consideremos o seguinte programa em C que soma todos os números de 1 a 100. main() { int i = 0, n = 1; while(i <= 100) { n = n + i; i = i + 1; } printf("%d\n", n); } Este programa pode ser visto como uma árvore, cuja raiz é main(). Cada tabulação (avanço na escrita do texto) indica um novo nível na árvore. O diagrama ao lado mostra esta árvore:.

4 4 Note que nesta árvore a ordem dos filhos é importante, isto é, as declarações de variáveis devem vir antes do while que deve vir antes do printf. Da mesma forma, dentro do while o incremento de n deve vir antes do incremento de i. Assim, esta árvore deve ser lida da esquerda para a direita. 5. Representação de subconjuntos Existe mais uma representação geométrica de árvores baseada em diagramas de Venn de conjuntos. Considere a seguinte árvore: Podemos pensar que o nó A é um conjunto que contém os nós B e F. Por sua vez, podemos pensar que o nó b é um conjunto que contém os nós C e D e assim por diante. Desta maneira, obtemos uma representação da árvore através do diagrama de Venn de conjuntos ao lado. 6. Sub-árvores Árvores são estruturas de dados recursivas, pois cada nó de uma árvore pode ser visto como a raiz de uma sub-árvore. No diagrama abaixo, o nó A é a raiz da árvore. Os filhos de A são B e G, e podem ser vistos como raízes das sub-árvores A1 e A2, respectivamente. Dizemos que A1 e A2 são sub-árvores de A. Da mesma maneira, C e D são raízes das subárvores B1 e B2. Note que a subárvore B1 tem apenas um elemento, que é a própria raiz. E e F são raízes das subárvores D1 e D2 e H e I são raízes das sub-árvores G1 e G2.

5 5 7. Representação LISP Esta representação é baseada na linguagem LISP (a segunda linguagem de alto nível a ser criada, só não é mais velha que Fortran, e é usada até hoje em sistema de inteligência artificial). Nesta representação, abre-se um parêntesis, a raiz é escrita e, em seguida, separadas por vírgula, a sub-árvores da raiz são escritas recursivamente. Por exemplo, temos a seguinte representação: Assim, a árvore da seção 6 acima é escrita como (A, (B, C, (D, E, F)), (G, H, I)) e a da seção 5 acima é escrita como (A, (B, C, (D, E)), (F, G, H, I))

6 6 8. Exercícios 1. Represente na forma comum as seguintes árvores e diga quais são as profundidades e as ordens de cada uma: a. b. c. A 1 B /A/ /A/B /A/B/C /A/B/D /A/E /F 2 C 2.1 F 2.2 G A B I C D F G H I J 2.3 H E 3 D d. e. (A, (B, C, D, (E, F, G)), H) 2. Quais as profundidades e as ordens das árvores abaixo? Represente-as de todas as maneiras estudadas.