Estruturas de Dados. Aula 08. Árvores AVL II. Karina Mochetti

Transcrição

1 Estruturas de Dados

2 Árvore AVL Uma Árvore AVL (Adelson, Velskii e Landis) T é uma Árvore Binária de Busca Balanceada, tal que: T é vazia; T consiste de um nó raiz k e duas subárvores binárias Te e Td, onde Todos os elementos de Te são menores que k. Todos os elementos de Td são maiores que k. A diferença de altura entre Te e Td é no máximo 1.

3 Rotação Um rotação é uma mudança nos nós de uma Árvore Binária de Busca que ainda mantém a sua propriedade principal. Ela é usada para manter o balanceamento em Árvores AVL. Rotação Simples à Direita. Rotação Simples à Esquerda. Rotação Dupla à Direita. Rotação Dupla à Esquerda.

4 Rotação Simples à Direita Filho esquerdo de k 3 aponta para filho direito de k 2 Filho direito de k 2 aponta para k 3 k 2 é a nova raiz

5 Rotação Simples à Esquerda Filho direito de k 1 aponta para filho esquerdo de k 2 Filho esquerdo de k 2 aponta para k 1 k 2 é a nova raiz

6 Rotação Dupla à Direita Filho esquerdo de k 3 aponta para filho direito de k 2 Filho direito de k 1 aponta para filho esquerdo de k 2 Filho direito de k 2 aponta k 3 Filho esquerdo de k 2 aponta k 1 k 2 é a nova raiz

7 Rotação Dupla à Esquerda Filho esquerdo de k 3 aponta para filho direito de k 2 Filho direito de k 1 aponta para filho esquerdo de k 2 Filho direito de k 2 aponta k 3 Filho esquerdo de k 2 aponta k 1 k 2 é a nova raiz

8 Inserção Inserimos o nó como na Árvore Binária de Busca (sempre uma folha) Checamos se houve desbalanceamento Se houver realizamos rotações para balancear a árvore novamente

9 Inserção Devemos checar se o nó foi inserido na subárvore direita ou esquerda. Devemos atualizar o fator de balanceamento do nó raiz. A partir do fator de balanceamento devemos determinar se é necessário realizar rotações. O rebalanceamento deve ser feito recursivamente em todos os nós do caminho entre a raiz e o nó removido, enquanto a altura da árvore mudar.

10 Inserção à Esquerda Caso 1: o fator de balanceamento de r é -1. Caso 2: o fator de balanceamento de r é 0. Caso 3: o fator de balanceamento de r é 1.

11 Inserção à Esquerda: Caso 1 O fator de balanceamento de r é -1. Ao adicionarmos um nó à esquerda a árvore continua balanceada e o fator de r mudará para 0. Nenhuma rotação é necessária e a altura da árvore não mudou.

12 Inserção à Esquerda: Caso 2 O fator de balanceamento de r é 0. Ao adicionarmos um nó à esquerda a árvore continua balanceada e o fator de r mudará para 1. Nenhuma rotação é necessária, mas a altura da árvore mudou.

13 Inserção à Esquerda: Caso 3 O fator de balanceamento de r é 1. Ao adicionarmos um nó à esquerda a árvore será desbalanceada, tendo mais nós à esquerda do que permitido. Uma rotação é necessária, temos que analisar qual rotação é necessária, a simples ou a dupla.

14 Inserção à Esquerda: Caso 3a O fator de balanceamento de r é 1. O nó foi inserido no filho esquerdo, do filho esquerdo de r. Uma rotação simples à direita é necessária.

15 Inserção à Esquerda: Caso 3b O fator de balanceamento de r é 1. O nó foi inserido no filho direito, do filho esquerdo de r. Uma rotação dupla à direita é necessária.

16 Inserção à Direita Caso 1: o fator de balanceamento de r é 1. Caso 2: o fator de balanceamento de r é 0. Caso 3: o fator de balanceamento de r é -1.

17 Inserção à Direita: Caso 1 O fator de balanceamento de r é 1. Ao adicionarmos um nó à direita a árvore continua balanceada e o fator de r mudará para 0. Nenhuma rotação é necessária e a altura da árvore não mudou.

18 Inserção à Direita: Caso 2 O fator de balanceamento de r é 0. Ao adicionarmos um nó à direita a árvore continua balanceada e o fator de r mudará para -1. Nenhuma rotação é necessária, mas a altura da árvore mudou.

19 Inserção à Direita: Caso 3 O fator de balanceamento de r é -1. Ao adicionarmos um nó à direita a árvore será desbalanceada, tendo mais nós à direita do que permitido. Uma rotação é necessária, temos que analisar qual rotação é necessária, a simples ou a dupla. Em nenhum caso a altura da árvore muda.

20 Inserção à Direita: Caso 3a O fator de balanceamento de r é -1. O nó foi inserido no filho direito, do filho direito de r. Uma rotação simples à esquerda é necessária.

21 Inserção à Direita: Caso 3b O fator de balanceamento de r é -1. O nó foi inserido no filho esquerdo, do filho direito de r. Uma rotação dupla à esquerda é necessária.

22 Inserção É necessário atualizar os fatores de balanceamento de cada nó intermediário, não somente da raiz. Assim, o algoritmo de inserção percorre cada subárvore afetada recursivamente verificando o caso em que ele se enquadra. O algoritmo para no momento em que a altura da árvore não é modificada, pois nesse caso todos os fatores de balanceamento estão corretos. A complexidade do algoritmo é O(log n).

23 Inserção: Exemplo 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 2, 12, 42 Nenhuma rotação.

24 Inserção: Exemplo 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 2, 12, 42 Nenhuma rotação.

25 Inserção: Exemplo 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 2, 12, 42 Nenhuma rotação.

26 Inserção: Exemplo 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 2, 12, 42 Nenhuma rotação.

27 Inserção: Exemplo 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 2, 12, 42 Rotação Dupla à Esquerda (raiz do 4 para o 7).

28 Inserção: Exemplo 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 2, 12, 42 Nenhuma rotação.

29 Inserção: Exemplo 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 2, 12, 42 Nenhuma rotação.

30 Inserção: Exemplo 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 2, 12, 42 Nenhuma rotação.

31 Inserção: Exemplo 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 2, 12, 42 Rotação Dupla à Esquerda (raiz do 15 para o 16).

32 Inserção: Exemplo 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 2, 12, 42 Rotação Simples à Direita (raiz do 7 para o 4).

33 Inserção: Exemplo 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 2, 12, 42 Rotação Dupla à Direita (raiz do 14 para o 7).

34 Inserção: Exemplo 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 2, 12, 42 Nenhuma rotação.

35 Árvore AVL Simulador Online https: //

36 Exercício Insira o nó 16 na árvore abaixo e indique em quais casos essa inserção passará.

37 Exercício: Solução Insira o nó 16 na árvore abaixo e indique em quais casos essa inserção passará.

38 Exercício: Solução Insira o nó 16 na árvore abaixo e indique em quais casos essa inserção passará.

39 Exercício: Solução Insira o nó 16 na árvore abaixo e indique em quais casos essa inserção passará.

40 Exercício: Solução Insira o nó 16 na árvore abaixo e indique em quais casos essa inserção passará.

41 Exercício: Solução Insira o nó 16 na árvore abaixo e indique em quais casos essa inserção passará.

42 Exercício: Solução Insira o nó 16 na árvore abaixo e indique em quais casos essa inserção passará.

43 Exercício: Solução Insira o nó 16 na árvore abaixo e indique em quais casos essa inserção passará.