Introdução a árvores AVL. Prof. Ernesto Lindstaedt

Transcrição

1 Introdução a árvores AVL Prof. Ernesto Lindstaedt

2 Definição O nome AVL vem dos seus criadores Adelson Velsky e Landis (1962); Uma ABP T é denominada AVL se: Para todos nós de T,, as alturas de suas duas sub-árvores diferem no máximo em uma unidade; Uma ABP é completamente balanceada quando a distância média dos nós até a raiz for mínima.

3 Definição Balanceamento Estático Este balanceamento consiste em, depois de um certo tempo de uso da árvore, destruir sua estrutura, guardando suas informações em uma lista ordenada e reconstruí-la de forma balanceada. Balanceamento Dinâmico Tem por objetivo reajustar os nós de uma árvore sempre que uma inserção ou remoção provocar desbalanceamento.

4 Definição Como saber se a árvore está desbalanceada? Verificando se existe algum nó desregulado. Como saber se um nodo está desregulado? Subtraindo-se as alturas das suas sub-árvores. Por questões de eficiência,, estas diferenças são pré-calculadas e armazenadas nos nós correspondentes, sendo atualizadas durante as operações.

5 AVL Fator de Balanceamento Possíveis valores de diferença para cada nó em uma árvore balanceada: -1,, 1. Fator de Balanceamento (FB) de cada nó da árvore FB(p) = h(sae(p)) h(sad(p)) : h = altura p = nó sae = sub-árvore à esquerda sad = sub-árvore à direita Em uma árvore binária balanceada todos os FB de todos os nós estão no intervalo -1 FB 1.

6 AVL Exemplo de uma ABP não AVL Inserção: 4, 1, 3, 6, 5, 2 e Fator de Balanceamento Ex.: Nó Raiz FB( 4 ) = 3 2 FB( 4 ) = 1

7 AVL Vantagem A vantagem de uma árvore balanceada com relação a uma degenerada está em sua eficiência; Ex.: numa árvore binária degenerada de 1. nós são necessárias, em média, 5. comparações (semelhança com arrays ordenados e listas encadeadas); Numa árvore balanceada com o mesmo número de nós essa média reduz-se a 14 comparações.

8 AVL Operações A inserção ou remoção de um nó em uma árvore AVL pode ou não provocar seu desbalanceamento; Se a árvore AVL ficar desbalanceada, a restauração do seu balanceamento é realizado através de ROTAÇÕES. Rotação Simples: Rotação à Esquerda Rotação à Direita Rotação Dupla: Rotação à Esquerda Rotação à Direita

9 AVL Classe Nodo public class AvlNode { protected int height; protected int key; protected AvlNode left, right; public AvlNode ( int theelement ) { this( theelement, null, null ); } { } public AvlNode ( int theelement, AvlNode lt, AvlNode rt ) } key = theelement; left = lt; right = rt; height = ;

10 AVL Rotação Simples à Direita Toda vez que uma sub-árvore fica com um fator: positivo e sua sub-árvore da esquerda também tem um fator positivo

11 AVL Rotação Simples à Direita k2 Nó k2 é a raiz de transformação k1 z x y X, Y e Z são subárvores (vazias ou não)

12 AVL Classe Inicial public class AvlTree { private AvlNode root = null; /** Retorna a altura da árvore */ private static int height ( AvlNode t ) { return t == null? : t.height; } /** Retorna o maior valor ente lhs e rhs. */ private static int max ( int lhs, int rhs ) { return lhs > rhs? lhs : rhs; } /** Retorna o fator de balanceamento da árvore com raiz t */ private int getfactor (AvlNode t) { return height( t.left ) - height( t.right ); }

13 AVL Rotação Simples à Direita k2 k1 k1 z Rotação Direita x k2 x y y z private static AvlNode dorightrotation( AvlNode k2 ) { AvlNode k1 = k2.left; k2.left = k1.right; k1.right = k2; k2.height = max( height( k2.left ), height( k2.right ) ) + 1; k1.height = max( height( k1.left ), k2.height ) + 1; return k1; }

14 AVL Rotação Simples à Direita Incluir

15 AVL Rotação Simples à Direita Ajustado! Rotação Direita

16 AVL Rotação Simples à Esquerda Toda vez que uma sub-árvore fica com um fator: negativo e sua sub-árvore da direita também m tem um fator negativo Rotação Esquerda Completamente Balanceada FB =

17 AVL Rotação Simples à Esquerda k1 k2 x k2 Rotação Esquerda k1 z y z x y private static AvlNode doleftrotation( AvlNode k1 ) { AvlNode k2 = k1.right; k1.right = k2.left; k2.left = k1; k1.height = max( height( k1.left ), height( k1.right ) ) + 1; k2.height = max( height( k2.right ), k1.height ) + 1; return k2; }

18 AVL Rotação Simples à Esquerda Incluir

19 AVL Rotação Simples à Esquerda Ajustado! Rotação Esquerda

20 AVL Rotação Dupla à Direita Toda vez que uma sub-árvore fica com um fator: positivo e sua sub-árvore da esquerda tem um fator negativo Rotação Dupla Direita

21 AVL Rotação Dupla à Direita DIREITA 1 ESQUERDA

22 AVL Rotação Dupla à Direita k3 k3 a k1 k2 d Rotação Esquerda 1 k1 k2 c d b c k2 a b k1 k3 Rotação Direita a b c d 2

23 AVL Rotação Dupla à Direita k3 k2 k1 d Rotação Dupla Direita k1 k3 a k2 a b c d b c private static AvlNode dodoublerightrotation( AvlNode k3 ) { k3.left = doleftrotation( k3.left ); return dorightrotation( k3 ); }

24 AVL Rotação Dupla à Direita Incluir

25 AVL Rotação Dupla à Direita 42 2 Rotação Dupla Direita PASSO 1 Rotação Esquerda

26 AVL Rotação Dupla à Direita 42 2 PASSO 2 Rotação Direita Rotação Dupla Direita

27 AVL Rotação Dupla à Esquerda Toda vez que uma sub-árvore fica com um fator: negativo e sua sub-árvore da direita tem um fator positivo Rotação Dupla Esquerda

28 AVL Rotação Dupla à Esquerda DIREITA 12 2 ESQUERDA

29 AVL Rotação Dupla à Esquerda k1 k1 a k3 ROTAÇÃO DIREITA a k2 b k3 k2 d b c k2 c d k1 k3 ROTAÇÃO ESQUERDA a b c d

30 AVL Rotação Dupla à Esquerda k1 k2 a k3 k2 d Rotação Dupla Esquerda k1 k3 a b c d b c private static AvlNode dodoubleleftrotation (AvlNode k1) { k1.right = dorightrotation( k1.right ); return doleftrotation( k1 ); }

31 AVL Inserção Percorre-se a árvore verificando se a chave já existe ou não Em caso positivo, encerra a tentativa de inserção Caso contrário, a busca encontra o local correto de inserção do novo nó Verifica-se se a inclusão tornará a árvore desbalanceada Em caso negativo, o processo termina Caso contrário, deve-se efetuar o balanceamento da árvore Descobre-se qual a operação de rotação a ser executada Executa-se a rotação

32 AVL Método para inserção private AvlNode insert (int x, AvlNode t) { if( t == null ) t = new AvlNode( x, null, null ); else if( x<t.key ) t.left = insert( x, t.left ); else if( x>t.key) t.right = insert( x, t.right ); if ( getfactor(t) == 2 ) { if (getfactor (t.left)>) t = dorightrotation( t ); else t = dodoublerightrotation( t ); } else if ( getfactor(t) == -2 ) { if ( getfactor(t.right)< ) t = doleftrotation( t ); else t = dodoubleleftrotation( t ); } t.height = max( height( t.left ), height( t.right ) ) + 1; return t; } public boolean insert (int x) { // se nó já existe, retorna false root = insert (x, root); return true; }

33 AVL Exclusão Caso parecido com as inclusões; No entanto, nem sempre se consegue solucionar com uma única rotação; Remover elemento e retornar do pai do nó removido até a raiz, verificando se cada nó do caminho precisa ser balanceado.

34 AVL Exclusão Excluindo 8

35 -2 AVL Exclusão rotação simples àesquerda 58 62

36 AVL Exclusão rotação simples àesquerda volta recursivamente até a raiz, balanceando todos os nós que se encontrarem desbalanceados.

37 AVL Exclusão

38 AVL - Complexidade Uma única reestruturação é O(1) usando uma árvore binária implementada com estrutura ligada Pesquisa é O(log n) altura de árvore é O(log n), não necessita reestruturação Inserir é O(log n) busca inicial é O(log n) reestruturação para manter balanceamento é O(log n) Remover é O(log n) busca inicial é O(log n) reestruturação para manter balanceamento é O(log n)