ESTRUTURA DE DADOS DCC013. Árvore Binária de Busca

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1 ESTRUTURA DE DADOS DCC013 Árvore Binária de Busca

2 Árvore Binária de Busca Propriedade fundamental da árvore binária de busca Valor da chave da raiz é Maior do que o valor da chave da subárvore da esquerda (SAE) Menor do que o valor da chave da subárvore da direita (SAD) A subárvore da esquerda e subárvore da direita obedecem a propriedade fundamental Esquematicamente: Exemplo: x Todos < x Todos x

3 Árvore Binária de Busca Tipos de dados e funções e procedimentos já criados que podem ser aproveitadas para a árvore binária de busca: tipo R = ref NO; tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR ); R : RAIZ; funcao INICIALIZA:R; inicio INICIALIZA = nil; fim; funcao VAZIA(R: ARV):logico; inicio se ARV = nil entao VAZIA verdadeiro; senao VAZIA falso; fim-se; fim; Procedimentos de caminhamentos (percursos)

4 Árvore Binária de Busca As operações que são interessantes em analisar em detalhes são: busca: função que busca um elemento na árvore; insere: função que insere um novo elemento na árvore; retira: função que retira um elemento da árvore. pois exploram a propriedade de ordenação das árvores binárias de busca.

5 Árvore Binária de Busca Busca simplificada Compara-se o valor com a raiz Se igual, achou Se maior, então buscar na subárvore da direita (SAD) Se menor, então buscar na subárvore da esquerda (SAE)

6 Busca detalhada Chamada para buscar um valor a partir do nó raiz Comparação com valor do nó raiz. Se igual, achou: Retornar verdadeiro Se valor é menor que o valor do nó da raiz e possui SAE: chamada recursiva para nó raiz de SAE. não possui SAE: retornar falso Se valor é maior que o valor do nó da raiz e possui SAD: chamada recursiva para nó raiz de SAD não possui SAD: retornar falso

7 Exemplo: Busca 2 nil 1 nil 5 nil 3 nil nil 6 nil Qual o caminho percorrido para a chave 6? Qual o caminho percorrido para buscar a chave 4?

8 Busca em uma árvore binária de busca Função recursiva que verifica se uma dada chave (valor a ser localizado) se encontra numa árvore de busca binária. tipo R = ref NO; tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR );... função BUSCA(R: RAIZ, tipot: CHAVE):log; {Busca um nó na árvore com valor CHAVE, retorna V ou F} se RAIZ = nil então {elemento não encontrado} BUSCA falso; senão se RAIZ.X = CHAVE entao BUSCA verdadeiro; {elemento está na raiz} senão se CHAVE < RAIZ.X entao {procura elemento na sub-árvore da esquerda} BUSCA BUSCA(RAIZ.ESQ, CHAVE); senão se CHAVE > RAIZ.X entao {procura elemento na sub-árvore da direita} BUSCA BUSCA(RAIZ.DIR, CHAVE); fim-se; fim-se; fim-se; fim-se; fim-função; {BUSCA}

9 Exercício 3 - Busca A partir da árvore binária a seguir, apresentar os caminhos percorridos para encontrar os nós: Complexidade: o número de comparações é proporcional a altura h da árvore: O(h). A altura da árvore completa (ou cheia) é dada por log 2 N (aproximadamente). Portanto, o número de operações é O(log 2 N), onde N é o número de nós da árvore. É a mesma complexidade da busca binária em um vetor ordenado.

10 Inserção Inserir chave em novo nó no filho do nó folha mantendo a propriedade da árvore binária de busca: Chave menor que chave do nó folha T r T r raiz y x nil x nil nil Nó folha Chave maior que chave do nó folha T r nil x y

11 Exemplo de inserção Inserir chaves, 4, 20, 17,

12 Inserção - Nó Procedimento recursiva para inserir um nó na árvore binária de busca, cujo valor do nó a ser inserido é a variável CHAVE. tipo R = ref NO; tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR );... procedimento INSERE(R : RAIZ; tipot: CHAVE); se RAIZ = nil então {insere elemento como filho de uma folha} aloque(raiz); RAIZ.X CHAVE; RAIZ.ESQ nil; RAIZ.DIR nil; senao se CHAVE < RAIZ.X entao INSERE(RAIZ.ESQ, CHAVE); senao INSERE(RAIZ.DIR, CHAVE); fim-se; fim-se fim-procedimento; {INSERE}

13 Exercício 4 - Inserção Construir a árvore binária de busca correspondente à inserção das seguintes chaves: 40, 30,, 50, 45, 13, 80, 71, 20

14 Remoção Na remoção de um nó da árvore binária de busca, o nível de complexidade depende da posição do nó a ser removido da árvore, pois após a remoção a árvore deve preservar sua propriedade fundamental. Mais difícil remover nó que tem duas sub-árvores do que remover nó folha. Há três casos possíveis, o: 1) nó é uma folha (não tem filhos) 2) nó tem 1 filho 3) nó tem 2 filhos Caso 1 Caso 2 Caso

15 1) Remover nó folha Caso mais fácil de tratar. O ponteiro apropriado de seu nó pai é ajustado para nil e o nó é removido por desaloque (apagado da memória). Exemplo: remover nó com conteúdo 19: Libera espaço

16 1) Remover nó folha Procedimento para remover nó sem folha: tipo R = ref NO; tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR );... procedimento REMOVE_FOLHA(R: RAIZ) se RAIZ.ESQ = nil e RAIZ.DIR = nil então {remove um nó sem filho (folha)} desaloque(raiz); RAIZ nil; senao imprima( Erro: nó tem filho(s) ); fim-se fim-procedimento; {REMOVE_FOLHA}

17 2) Remover nó com 1 filho Ponteiro do pai do nó a ser removido é reajustado para apontar para o filho do nó a ser removido. Ou seja, o pai vai apontar para o neto (que passa a ser filho). Desse modo: Filhos do nó são elevados em 1 nível Bisnetos perdem um grau de descendência em suas designações de parentesco. Exemplo: Remover nó 4 4 Libera espaço

18 2) Remover nó com 1 filho Procedimento para remover nó com um filho: tipo R = ref NO; tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR );... procedimento REMOVE_1FILHO(R: RAIZ) R: AUX; se RAIZ.ESQ = nil então {só tem filho à direita} AUX RAIZ; RAIZ RAIZ.DIR; desaloque(aux); senao se RAIZ.DIR = nil então {só tem filho à esquerda} AUX RAIZ; RAIZ RAIZ.ESQ; desaloque(aux); senao imprima( Erro: nó tem 2 filhos ); fim-se; fim-se fim-procedimento; {REMOVE_FILHO}

19 3) Remover nó com 2 filhos Deseja-se excluir o nó Somente substituir com a raiz da subárvore resolve o problema?

20 3) Remover nó com 2 filhos Nó a ser removido tem dois filhos Remover fazendo junção (merge). Não será visto. Remover fazendo cópia. Remoção por cópia (Thomas Hibbard e Donald Knuth) Substituir o nó pelo menor nó à direita e ajustar ponteiros Busca do substituto: ir para direita procurar elemento mais à esquerda (menor filho à esquerda) guardar antecessor, para descobrir pai do substituto Se a direita estiver nula, o substituto será o próximo à esquerda (Continua...)

21 3) Remover nó com 2 filhos Ajuste dos ponteiros ajustes no campo ESQ do pai do substituto e no campo DIR do substituto (dispensáveis se nó à direita do removido é exatamente o substituto) campo que referencia nó removido conterá substituto encontrado campo ESQ do substituto aponta para SAE do nó removido

22 3) Remover nó com 2 filhos Função que retorna uma ref para o menor elemento da subárvore da direita da árvore RAIZ: tipo R = ref NO; tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR );... funcao MENOR_SUBARV_DIREITA(ref R: RAIZ):R R: AUX; se RAIZ.ESQ nil e RAIZ.DIR nil então {Nó tem 2 filhos} AUX RAIZ.DIR; enquanto(aux.esq nil) AUX AUX.ESQ; fim-enquanto; MENOR_SUBARV_DIREITA AUX; senao imprima( Erro: nó RAIZ não tem 2 filhos ); fim-se; fim-funcao; {MENOR_SUBARV_DIREITA} Acha o elemento mais à esquerda da subárvore à direita de RAIZ (menor) AUX ou tem apenas um filho à direito ou não tem filho algum

23 3) Remover nó com 2 filhos tipo R = ref NO; tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR );... procedimento REMOVE_NO(ref R:RAIZ, tipot:v) R: AUX; tipot: V; se RAIZ = nil entao imprima( Árvore vazia ou,v, não encontrado ); senao se V < RAIZ.X entao REMOVE_NO(RAIZ.ESQ, V); {recursão:subarv. esquerda} senao se V > RAIZ.X entao REMOVE_NO(RAIZ.DIR, V); {recursão:subarv. direita} senao {achou o nó a ser removido, RAIZ.X = V} se RAIZ.ESQ = nil e RAIZ.DIR = nil então REMOVE_FOLHA(RAIZ);{RAIZ é uma folha} senao se RAIZ.ESQ=nil ou RAIZ.DIR=nil então REMOVE_1FILHO(RAIZ); {RAIZ tem um filho} senao {RAIZ tem dois filhos} AUX MENOR_SUBARV_DIREITA(RAIZ); RAIZ.X AUX.X; {troca as informações} AUX.X V; REMOVE_NO(RAIZ.DIR, V);{recursão:subarv. direita} fim-se; fim-se;

24 3) Remover nó com 2 filhos Deseja-se excluir o nó Vamos para o filho direito do nó original Agora o problema está resolvido Depois partimos sempre para a esquerda Sucessor!!!

25 3) Remover nó com 2 filhos E quando chegarmos ao filho direito do nó original e ele não tiver filhos do lado esquerdo? Deseja-se excluir o nó Vamos para o filho direito do nó original Agora o problema está resolvido Ele não possui filhos na esquerda! 35 Sucessor!!!

26 Exemplo - Remoção Remover Nó 14 é o menor nó à direita do nó 10 e não tem filho à direita

27 Exemplo - Remoção Remover Nó 14 é o menor nó à direita do nó 10 e tem filho à direita

28 Exemplo - Remoção Considere a seguinte árvore binária de busca

29 Exemplo - Remoção Remover

30 Exemplo - Remoção Remover

31 Exemplo - Remoção Remover

32 Exemplo - Remoção Remover

33 Exercício 5 Remoção A partir da árvore binária de busca construída no exercício de inserção, contendo as chaves 40, 30,, 50, 45, 13, 80, 71, 20, executar as operações. Apresente a árvore resultante após a execução de cada operação. Remover 50 Remover 30 Remover 13 Inserir 50 Remover 71

34 Exercícios 1. Fazer uma função para encontrar, e retornar, o maior elemento de uma árvore binária de busca. 2. Fazer uma função para encontrar, e retornar, o menor elemento de uma árvore binária de busca. 3. Fazer um procedimento para remover o maior elemento de uma árvore binária de busca. 4. Fazer um procedimento para remover o menor elemento de uma árvore binária de busca. 5. Alterar o(s) procedimento(s) de remoção de nó com dois filhos considerando, agora, o maior elemento da sub-árvore à esquerda como o elemento a ser trocado com o nó a ser removido.

35 Exercícios 6. Uma árvore binária de busca é considerada balanceada se sua altura h é próxima de log 2 (n). Fazer uma função para verificar se uma dada árvore binária de busca está balanceada. Considere uma árvore balanceada se h < log 2 (n) + 1.