UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO ANÁLISE DE ALGORITMOS. LISTA DE EXERCÍCIOS (Parte B)

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO ANÁLISE DE ALGORITMOS LISTA DE EXERCÍCIOS (Parte B). Supondo uma lista encadeada (externa) cujos nós possuem um campo que aponta para outra lista encadeada (interna), qual seria a complexidade de pior caso de uma chave ser encontrada na lista (interna) nas seguintes situações: a) as duas listas (externa e interna) são ordenadas; A complexidade é O(nm), visto que as listas encadeadas não possuem acesso aleatório para empregar o algoritmo de busca binária, por exemplo, que levaria vantagem pelo fato das listas serem ordenadas. b) as duas listas (interna e externa) não são ordenadas; A complexidade é O(nm), visto que no pior caso deve-se percorrer toda lista externa (n vezes) e toda a lista interna (m vezes) em cada passo. c) apenas a lista interna é ordenada; A complexidade é O(nm), visto que as listas encadeadas não possuem acesso aleatório para empregar o algoritmo de busca binária, por exemplo, que levaria vantagem pelo fato da lista interna ser ordenada. d) a lista interna é uma pilha. A complexidade é O(n), visto que no pior caso deve-se percorrer toda lista externa (n vezes) e o

2 acesso à pilha é em tempo constante, já que somente se acessa o topo dela de cada vez. OBS.: Existem n elementos na lista externa e m elementos na lista interna. Justifique as respostas.. Faça um algoritmo para o caso (d). Procedimento busca(x, pont) pont := nil; ptr := ptlexterna; enquanto ptr!= nil faça se ptr^.ptlinterna^.chave!= x então ptr := ptr^.prox; senão pont := ptr; ptr := nil;. Faça um algoritmo para classificar uma árvore binária em árvore estritamente binária, binária completa e cheia. Diga qual é a complexidade desse algoritmo. PROCEDIMENTO Classificação (párvore); INICIO pt := párvore; pfronteira := pt; pfim_fron := pt; pt^.prox := nil; NÍVEL_MÁX := ; É_ESTRITAMENTE_BINÁRIA := TRUE; pt^.nível := ; ENQUANTO pfronteira # nil FAÇA SE É_ESTRITAMENTE_BINÁRIA ENTÃO É_ESTRITAMENTE_BINÁRIA := ((pt^.esq = nil) E (pt^.dir = nil)) OU ((pt^.esq # nil) E (pt^.dir # nil)); nível_do_filho := ; SE pt^.esq # nil ENTÃO pt^.esq^.nível := pt^.nível + ; nível_do_filho := pt^.nível + ; pfim_fron^.prox := pt^.esq; pt^.esq^.prox := nil; pfim_fron := pt^.esq; SE pt^.dir # nil ENTÃO pt^.dir^.nível := pt^.nível + ; nível_do_filho := pt^.nível + ;

3 pfim_fron^.prox := pt^.dir; pt^.dir^.prox := nil; pfim_fron := pt^.dir; SE nível_do_filho > NÍVEL_MÁX ENTÃO INC (NÍVEL_MÁX); pt := pt^.prox; pfronteira := pt; FIM_ENQUANTO É_COMPLETA := TRUE; É_CHEIA := TRUE; pt := párvore; pfronteira := pt; pt^.prox := nil; ENQUANTO SE É_COMPLETA ENTÃO SE (pt^.esq = nil) OU (pt^.dir = nil) ENTÃO É_COMPLETA := (pt^.nível = NÍVEL_MÁX) OU (pt^.nível = NÍVEL_MÁX - ); SE É_CHEIA ENTÃO SE (pt^.esq = nil) OU (pt^.dir = nil) ENTÃO É_CHEIA := (pt^.nível = NÍVEL_MÁX); FIMSE pfronteira := pfronteira^.prox; SE pt^.dir # nil ENTÃO pt^.dir^.prox := pfronteira; pfronteira := pt^.dir; SE pt^.esq # nil ENTÃO pt^.esq^.prox := pfronteira; pfronteira := pt^.esq; pt := pfronteira; FIM_ENQUANTO SE É_ESTRITAMENTE_BINÁRIA ENTÃO "A árvore é estritamente binária"; SE É_COMPLETA ENTÃO "A árvore é completa"; SE É_CHEIA ENTÃO "A árvore é cheia"; FIM Classificação;. Dado o conjunto S = {,,,,,,,} monte duas possíveis árvores de busca binária.

4 R R R R R R 6 R R R. Para as árvores montadas no exemplo anterior, calcule os seus respectivos comprimento de caminho interno e externo. I(T) = = E(T) = = 9 6. Calcule a árvore binária de busca ótima para as entradas dadas a seguir: j 6 f j - 8 f j d = i j F[i,j] c[i,j] c[i,k-] c[k,j] k +8+= += ++=9 9+=9 ++=6 6+=6 ++= += ++= += 6 ++= += 6 d = i j F[i,j] c[i,j] c[i,k-] c[k,j] k

5 ++=8 8+9= ++9= +6= ++6=9 9+= ++= += 6 ++=6 6+=9 9 * 6 * 9 * 6 * * F c k. Calcule a árvore binária de busca de partilha ótima para as entradas dadas a seguir: CHAVE FREQÜÊNCIA s s s s 6 I(T) = = 8. Dado o conjunto S = {,,,,,,,} monte uma árvore binária de busca de partilha. 9. Para a árvore montada no exercício anterior, calcule o alcance de seus nós.. Para a árvore AVL a seguir, descreva os passos que devem ser seguidos para inserir o elemento na mesma.

6 Faça um algoritmo para calcular a quantidade de descendentes próprios de cada nó de uma árvore binária apontada por ptraiz. O resultado calculado deve ser armazenado em um campo do nó (Qdesc), conforme mostra a figura a seguir: esq chave info Qdesc dir PROCEDIMENTO Calcula_desc_próprios (pt); INICIO SE pt^.esq # nil ENTÃO Calcula_desc_próprios (pt^.esq); SE pt^.dir # nil ENTÃO Calcula_desc_próprios (pt^.dir); SE pt^.esq = nil ENTÃO desc_esq := ; SENÃO desc_esq := pt^.esq^.qdesc + ; SE pt^.dir = nil ENTÃO desc_dir := ; SENÃO desc_dir := pt^.dir^.qdesc + ; pt^.qdesc := desc_esq + desc_dir; FIM Calcula_desc_próprios (ptraiz);. Seja uma estrutura de dados caracterizada por uma lista linear estática e ordenada com n elementos onde cada elemento dessa lista possui um campo de endereço que aponta para uma lista linear dinâmica com m elementos não ordenados. Qual será a complexidade de um algoritmo de busca de um elemento na lista dinâmica, sabendo-se que o nó da lista estática (que aponta para a lista dinâmica) é encontrado com uma busca binária? Justifique a resposta.

7 A complexidade da busca binária é O(log n) e a complexidade da busca de um elemento na lista dinâmica é O(m), logo, a complexidade resultante do problema seria O(m log n).. Seja uma árvore binária T cujos comprimentos de caminho interno e externo foram calculados como e 9, respectivamente. Calcule a quantidade de subárvores vazias de T, justificando a resposta. Pelo Lema da página das notas de aula, E(T) = I(T) + n, então n = 9 = 8 nós. De acordo com a página das notas de aula, uma árvore binária com n nós, possui n + subárvores vazias, nesse caso, T possui 8 + = 9 subárvores vazias.. Para a árvore binária de busca de partilha mostrada abaixo, calcule o alcance de todos os seus nós. Sabe-se que S = {,,,,}. chave real chave de partilha Sejam,,,, os índices dos elementos,,,, de S, respectivamente, então a figura abaixo mostra os alcances calculados. [,] [,] [,] [,] [,]