Tabela Hash. Disciplina de Algoritmos e Estrutura de Dados III. Prof. Marcos Antonio Schreiner 15/05/2015

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1 Tabela Hash Disciplina de Algoritmos e Estrutura de Dados III Prof. Marcos Antonio Schreiner 15/05/2015

2 Introdução Seja um conjunto de chaves armazenadas em um vetor e em uma árvore AVL. Qual a complexidade temporal do algoritmo de busca?

3 Introdução Como implementar um algoritmo de busca em um vetor com complexidade O(1) (Acesso direto)? Qual o problema desse algoritmo? Se não existisse esse problema esse algoritmo seria útil em aplicações do tipo dicionário. Exemplo: Tabela de símbolos de um interpretador.

4 Introdução Podemos alocar um vetor menor e fazer operações de mod com a chave para obter outra chave. Problema? Solução? 20 mod 8 = 4 45 mod 8 = 5 20? 11? ? 11 mod 8 = 3

5 Introdução Podemos alocar um vetor menor e fazer operações de mod com a chave para obter outra chave. Problema: Colisão; Solução: Expansão da estrutura. 20 mod 8 = 4 45 mod 8 = 5 20? 11? ? 11 mod 8 = 3

6 Tabela Hash - Definições Tabela Hash: Vetor de ponteiros para estruturas. Função Hashing: Função matemática que mapeia espaços grandes de chave em espaços pequenos (hash code). Problema: Colisão; Solução: Expansão da estrutura.

7 Tabela Hash - Utilidade É normalmente utilizada quando as chaves são string. Por exemplo: Variáveis de um código-fonte. Como obter um inteiro (chave) de uma chave string?

8 Tabela Hash - Utilidade É normalmente utilizada quando as chaves são string. Por exemplo: Variáveis de um código fonte. Como obter um inteiro (chave) de uma chave string? Concatenação do código ASCII de cada caractere

9 Tabela Hash Função Hashing Função hashing mapeia a chave obtida de uma string para o hash code. Tal função deve ser fácil de se computar e fazer uma distribuição adequada de chaves na tabela Evitar Colisões

10 a b c d e f g a b c d e f g a b c d e f g ideal (uniforme) ruim aceitável Tabela Hash Função Hashing

11 a b c d e f g a b c d e f g a b c d e f g ideal (uniforme) ruim aceitável Tabela Hash Função Hashing

12 Tabela Hash Função Hashing Existem várias funções Hashing, dentre as quais: Resto da Divisão Meio do Quadrado Método da Dobra Método da Multiplicação

13 Função Hashing - Mod Forma mais simples e mais utilizada. Inclusive pela estrutura map e unordered_map do C++. O endereço de um elemento na tabela hash é dado pelo resto da divisão da sua chave x pelo tamanho da tabela M f h (x) = x mod M 0 <= f h (x) < M x/(std::numeric_limits<size_t>::max())

14 Função Hashing - Mod Para M=1001 as seguintes chaves produzem os seguintes hash codes. Chave Hash Codes

15 Função Hashing - Mod Função dependente do valor de M escolhido Estudos indicam que M deve ser um número primo e não próximo a uma potência de 2 (Szwarcfiter, 2010). Valores recomendáveis de M >20

16 Função Hashing Meio Quadrado Eleva-se a chave ao quadrado; Atribui o resultado para uma variável de b bits. Os b bits são suficientes para representar o Hash Code.

17 Função Hashing Método da dobra Método para cadeias de caracteres Inspirado na ideia de se ter uma tira de papel e de se dobrar no formato de "sanfona". Baseia-se em uma representação ASCII. Por exemplo:

18 Função Hashing Método da dobra

19 Função Hashing Análise de dígitos Útil quando a chave tem um padrão de formação bem conhecido. Escolhemos uma parte da chave para cálculo do Hashing. Por exemplo: Os quatro últimos dígitos do número de telefone.

20 Tabela Hash Colisões Seja qual for a função, na prática existem sinônimos chaves distintas que resultam em um mesmo hash code. Quando há duas ou mais chaves sinônimas ocorre uma colisão.

21 Tabela Hash Colisões No exemplo dado ocorre duas colisões. Chave Hash Codes

22 Tabela Hash Tratamento de Colisões Alguns dos algoritmos de Tratamento de Colisões são: Endereçamento Exterior ou Fechado Endereçamento Interior ou Aberto Hashing Linear Hashing Duplo

23 Tabela Hash Tratamento de Colisões O Endereçamento Fechado também chamado de Overflow Progressivo Encadeado Algoritmo: usar uma lista encadeada para cada endereço da tabela 20 mod 5 = mod 5 = mod 5 = 0 colisão com

24 Tabela Hash Endereçamento Fechado Vantagem: Obtém todos os sinônimos em apenas uma busca. Desvantagens: É necessário um campo extra para os ponteiros de ligação. Aumenta a complexidade da INCLUSÃO, BUSCA e REMOÇÃO para o pior caso.

25 Tabela Hash Endereçamento Fechado

26 Tabela Hash Endereçamento Fechado Uma Hash maior faz uma distribuição mais uniforme dos dados

27 Tabela Hash Endereçamento Aberto O Hashing linear também conhecido como Overflow Progressivo. Algoritmo: Consiste em procurar a próxima posição vazia depois do Hash code na Tabela

28 Tabela Hash Hashing Linear 27 mod 8 = ?

29 Tabela Hash Endereçamento Aberto Vantagem: simplicidade Desvantagem: no pior caso (densidade de ocupação alta), pode ocorrer agrupamento de chaves em uma certa área. Muitos acessos para recuperar um certo registro.

30 Tabela Hash Endereçamento Aberto O Hash Duplo também chamado de re-hash Algoritmo: Ao invés de incrementar a posição de 1, uma função hashing auxiliar é utilizada para calcular o incremento.

31 Tabela Hash Hashing Duplo Se o endereço estiver ocupado, aplique uma segunda função hashing para obter um número c c é adicionado ao endereço gerado pela 1ª função hashing; Se este novo endereço estiver ocupado, continue somando c ao endereço de overflow, até que uma posição vazia seja encontrada.

32 Tabela Hash Hashing Duplo Para o primeiro cálculo: f 1 (k) = k mod M Caso haja colisão, calculamos f 2 (k), a qual pode ser: f 2 (k) = 1 + ( k mod (M-1) ) Em seguida calculamos a função re-hashing como sendo: rh(f 1 (k), k) = (f 1 (k) + f 2 (k) ) mod M

33 Tabela Hash Hashing Duplo Inc(27) = 1 + ( 27 mod (8-1) = 6 H(27) = 27 mod 8 = 3 (3 + 6) mod 8 = ?

34 Tabela Hash Hashing Duplo Vantagem: tende a espalhar melhor as chaves pelos endereços. Desvantagem: Não resolve o problema quando a tabela Hash ficar cheia.

35 Exercícios 1) Use a função hashing do Resto da Divisão e Encadeamento Fechado e crie uma tabela Hash 7 posições para as seguintes chaves: a) Aux, x1, x2, contador, indice, i, j, paux, pant. 2) Use a função hashing da dobra e Hashing Duplo e crie uma tabela Hash 7 posições para as seguintes chaves: 1) Aux, x1, x2, contador, indice, i, j, paux, pant.

36 Exercícios 3) Faça os exercícios 10.1, 10.4 e 10.9 do livro (Szwarcfiter, 2013). 4) Faça uma pesquisa sobre as estruturas map e unordered_map da linguagem c++. A pesquisa deve conter as funções para inserir, buscar e remover elementos da hash. OBS: Dúvidas surgirão, entre em contato com o professor.

37 Endereçamento Aberto - Remoção Para fazer uma busca com endereçamento aberto, basta aplicar a função hashing, e a função de incremento até que o elemento ou uma posição vazia sejam encontrados. Qual o problema para a busca quando um elemento intermediário for removido? 27? Não Fim da busca? Sim Inserção do 27 Remoção do 20 Busca pelo 27

38 Endereçamento Aberto - Remoção Marca a posição como removida. Esta posição fica livre para uma nova inserção. Não é tratada como vazia numa busca. 27? Não X 27 7 Fim da busca? Não

39 Hash Dinâmico A Tabela Hash é expandida quando necessário

40 Hash Dinâmico Quando a Tabela Hash encher, é necessário expandir a Tabela e reorganizar os elementos. Inicialmente é utilizado d bits para endereçar a Tabela. Ao expandir são utilizados d+1 bits Tamanho = 4 Tamanho =

41 Hash Dinâmico Quando expandir a tabela?

42 Hash Dinâmico Quando expandir a tabela? Quando não for possível inserir um elemento Quando metade da tabela estiver ocupada Quando o fator de carga atingir um valor escolhido A terceira opção é a mais comum.

43 Hash Dinâmico Fator de carga: Em uma tabela de hash com M posições que armazena N elementos Fator de carga = N/M

44 Limitações Não é adequada para recuperar elementos ordenados. Não é adequada em operações de busca pelo menor ou maior chave.

45 Exercícios 5) Use Hashing Linear para criar uma Tabela Hash Dinâmica de 4 posições para as seguintes chaves: a) Aux, x1, x2, contador, indice, i, j, paux, pant.

46 Referências SZWARCFITER, J. L., MARKENZON, L. Estruturas de Dados e seus Algoritmos. 3a ed. Rio de Janeiro: LTC, TENENBAUM, A. M., LANGSAM, Y., AUGENSTEIN, M. J. Estruturas de Dados Usando C. São Paulo: Makron, LEISERSON, C. E., RIVEST, R. L., CORMEN, T. H., STEIN, C. Algoritmos Teoria e prática. Rio de Janeiro: Campus,