CIC 111 Análise e Projeto de Algoritmos II

Transcrição

1 CIC 111 Análise e Projeto de Algoritmos II Prof. Roberto Affonso da Costa Junior Universidade Federal de Itajubá

2 AULA 18 Tree queries Finding ancestors Subtrees and paths Lowest common ancestor Offline algorithms

3 Tree queries Nesta aula discute as técnicas para processar consultas em subárvores e caminhos de uma árvore. Por exemplo, essas consultas são: O que é o ultimo antepassado de um nó? Qual é a soma dos valores na subárvore de um nó? Qual é a soma de valores em um caminho entre dois nós? Qual é o antepassado comum mais baixo de dois nós?

4 Finding Ancestors O kº antepassado de um nó x em uma árvore enraizada é o nó que alcançaremos se mudarmos k níveis de x. A função ancestor(x, k) denota o k antepassador de um nó x (ou 0 se não houver tal antepassado). Por exemplo, na seguinte árvore, ancestor(2, 1) = 1 e ancestor(8, 2) = 4.

5 Finding Ancestors

6 Finding Ancestors Uma maneira fácil de calcular qualquer valor de ancestor(x, k) é realizar uma sequência de k movimentos na árvore. No entanto, a complexidade do tempo deste método é O(k), que pode ser lento, porque uma árvore de n nós pode ter uma cadeia de nós n. Felizmente, usando uma técnica semelhante à usada na aula 16, qualquer valor de ancestor(x, k) pode ser calculado eficientemente em tempo de O(log k) após o pré-processamento. A ideia é precalcular todos os valores ancestor(x, k) onde k n é uma potência de dois. Por exemplo, os valores da árvore acima são os seguintes:

7 Finding Ancestors x ancestor(x, 1) ancestor(x, 2) ancestor(x, 4) O pré-processamento leva o tempo O(n log n), porque os valores de O(log n) são calculados para cada nó. Depois disso, qualquer valor de ancestor(x, k) pode ser calculado no tempo O(log k) representando k como uma soma onde cada termo é uma potência de dois.

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9 Subtrees and paths Uma matriz de travessia de árvore contém os nós de uma árvore na ordem em que uma busca em profundidade do primeiro do nó raiz os visita. Por exemplo, na árvore

10 Finding Ancestors

11 Subtrees and paths uma pesquisa em profundidade primeiro segue:

12 Subtrees and paths Portanto, o vetor de travessia de árvore correspondente é a seguinte:

13 Subtree Queries Cada subárvore de uma árvore corresponde a um subarray do vetor transversal da árvore, de modo que o primeiro elemento do subarray seja o nó raiz. Por exemplo, o subarray a seguir contém os nós da subárvore do nó 4:

14 Subtree Queries Usando esse fato, podemos processar eficientemente as consultas relacionadas a subvetores de uma árvore. Como exemplo, considere um problema em que cada nó é atribuído a um valor, e nossa tarefa é suportar as seguintes consultas: atualizar o valor de um nó calcular a soma dos valores na subárvore de um nó Considere a seguinte árvore onde os números azuis são os valores dos nós. Por exemplo, a soma da subárvore do nó 4 é = 11.

15 Finding Ancestors

16 Finding Ancestors A ideia é construir uma matriz de passagem de árvore que contenha três valores para cada nó: o identificador do nó, o tamanho da subárvore e o valor do nó. Por exemplo, a matriz para a árvore acima é a seguinte: ID nó tamanho da sub-árvore valor do nó

17 Finding Ancestors Usando esta matriz, podemos calcular a soma de valores em qualquer subárvore primeiro descobrindo o tamanho da subárvore e depois os valores dos nós correspondentes. Por exemplo, os valores na subárvore do nó 4 podem ser encontrados da seguinte maneira: ID nó tamanho da sub-árvore valor do nó

18 Finding Ancestors Para responder as consultas de forma eficiente, basta armazenar os valores dos nós em uma árvore de indexação ou segmento binário. Depois disso, podemos atualizar um valor e calcular a soma dos valores no tempo O(log n).

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20 Lowest Common Ancestor O antepassado comum mais baixo de dois nós de uma árvore enraizada é o nó mais baixo cuja sub-árvore contém ambos os nós. Um problema típico é processar eficientemente consultas que solicitam encontrar o antepassado comum mais baixo de dois nós. Por exemplo, na seguinte árvore, o antepassado comum mais baixo dos nós 3 e 8 é o nó 4:

21 Lowest Common Ancestor

22 Lowest Common Ancestor Em seguida, discutiremos duas técnicas eficientes para encontrar o antepassado comum mais baixo de dois nós.

23 Method 1 Uma maneira de resolver o problema é usar o fato de que podemos encontrar eficientemente o k antepassador de qualquer nó na árvore. Usando isso, podemos dividir o problema de encontrar o antepassado comum mais baixo em duas partes. Usa-se dois ponteiros que inicialmente apontam para os dois nós cujo antepassado comum mais baixo deve ser encontrado. Primeiro, move-se um dos ponteiros para cima, de modo que ambos os ponteiros apontem para nós no mesmo nível.

24 Method 1 No cenário do exemplo, move-se o segundo ponteiro um nível para cima, de modo que ele aponte para o nó 7 que está no mesmo nível com o nó 3:

25 Method

26 Method 1 Depois disso, determina-se o número mínimo de etapas necessárias para mover ambos os ponteiros para cima, de modo que eles apontem para o mesmo nó. O nó ao qual os ponteiros apontaram depois disso é o antepassado comum mais baixo. No cenário de exemplo, basta mover ambos os ponteiros um passo para cima para o nó 4, que é o antepassado comum mais baixo:

27 Method

28 Method 1 Uma vez que ambas as partes do algoritmo podem ser realizadas no tempo O (log n) usando informações pré-computadas, podemos encontrar o antepassado comum mais baixo de qualquer dois nós no tempo O (log n).

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30 Method 2 Outra maneira de resolver o problema é baseada em um vetor de travessia de árvores. Mais uma vez, a ideia é percorrer os nós usando uma busca em profundidade:

31 Method

32 Method 2 No entanto, usa-se uma matriz de passagem de árvore diferente do que antes: adicionamos cada nó à matriz sempre quando a pesquisa em profundidade atravessa o nó e não apenas na primeira visita. Portanto, um nó que tenha k filhos aparece k + 1 vezes na matriz e há um total de 2n - 1 nós na matriz. Armazena-se dois valores na matriz: o identificador do nó e a profundidade do nó na árvore. A matriz a seguir corresponde à árvore acima:

33 Method Nó ID Profundidade Agora, podemos encontrar o antepassado comum mais baixo dos nós a e b, encontrando o nó com a profundidade mínima entre os nós a e b na matriz. Por exemplo, o antepassado comum mais baixo dos nós 3 e 8 pode ser encontrado da seguinte maneira:

34 Method Nó ID Profundidade O nó 3 está na posição 2, o nó 8 está na posição 5 e o nó com profundidade mínima entre as posições é o nó 4 na posição 3 cuja profundidade é 2. Assim, o antepassado comum mais baixo dos nós 3 e 8 é o nó 2.

35 Method 2 Assim, para encontrar o antepassado comum mais baixo de dois nós, basta processar uma consulta mínima de alcance. Uma vez que a matriz é estática, podemos processar essas consultas em tempo de O(1) após um pré-processamento de tempo de O(n log n).

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37 Distances of Nodes A distância entre os nós a e b é igual ao comprimento do caminho de a para b. Acontece que o problema de calcular a distância entre nós reduz-se para encontrar o antepassado comum mais baixo. Primeiro, escolhe-se a raiz da árvore arbitrariamente. Depois disso, a distância dos nós a e b pode ser calculada usando a fórmula depth(a)+depth(b) 2 depth(c), onde c é o antepassado comum mais baixo de a e b e depth(s) denota a profundidade do nó s. Por exemplo, considere a distância dos nós 3 e 8:

38 Distances of Nodes

39 Distances of Nodes O antepassado comum mais baixo dos nós 3 e 8 é o nó 2. As profundidades dos nós são depth(3) = 3, depth(8) = 4 e depth(4) = 2, de modo que a distância entre os nós 3 e 8 é = 3.

40 Offline Algorithms Até agora, foi apresentados algoritmos que verificam imediatamente as consultas em árvore. Esses algoritmos são capazes de processar consultas uma após a outra para que cada consulta seja respondida antes de receber a próxima consulta. No entanto, em muitos problemas, essa propriedade não é necessária. Nesta seção, nos concentramos nos algoritmos que não são imediatos. Esses algoritmos recebem um conjunto de consultas que podem ser respondidas em qualquer ordem. Geralmente é mais fácil projetar um algoritmo assim comparado o outro.

41 Merging Data Structures Um método para construir um algoritmo com procuras não imediatas é executar uma travessia em árvore em profundidade e manter umas estruturas de dados para cada nó. Em cada nó, criamos uma estrutura de dados d[s] que é baseada nas estruturas de dados dos filhos de s. Então, usando essa estrutura de dados, todas as consultas relacionadas a s são processadas.

42 Merging Data Structures Como exemplo, considere o seguinte problema: Dada uma árvore onde cada nó tem algum valor. Nossa tarefa é processar as consultas da forma que calcula-se o número de nós com valor x na subárvore do nó s. Por exemplo, na árvore a seguir, a subárvore do nó 4 contém dois nós cujo valor é 3.

43 Merging Data Structures

44 Merging Data Structures Nesse problema, podemos usar estruturas de maps para responder às consultas. Por exemplo, os maps para o nó 4 e seus filhos são os seguintes:

45 Merging Data Structures Se criarmos essa estrutura de dados para cada nó, poderemos processar facilmente todas as consultas dadas, pois podemos tratar todas as consultas relacionadas a um nó imediatamente após a criação de sua estrutura de dados. Por exemplo, a estrutura do maps acima para o nó 4 nos diz que sua subárvore contém dois nós cujo valor é 3.

46 Merging Data Structures No entanto, seria muito lento criar todas as estruturas de dados do zero. Em vez disso, em cada nó s, criamos uma estrutura de dados inicial d[s] que contém apenas o valor de s. Depois disso, nós passamos pelos filhos de e juntamos os d[s] de todos os nós na estruturas de dados d[u] onde u é filho de s. Por exemplo, na árvore anterior, o maps para o nó 4 é criado pela mesclagem dos seguintes mapas:

47 Merging Data Structures Aqui o primeiro maps é a estrutura de dados inicial do nó 4 e os outros três maps correspondem aos nós 7, 8 e 9. A fusão nos nós pode ser feita da seguinte maneira: Nós passamos pelos filhos de s e em cada criança, mesclamos d[s] e d[u]. Nós sempre copiamos o conteúdo de d[u] para d[s]. No entanto, antes disso, trocamos o conteúdo de d[s] e d[u] se d[s] for menor que d[u]. Ao fazer isso, cada valor é copiado apenas O (log n) vezes durante a travessia da árvore, o que garante que o algoritmo seja eficiente.

48 Lowest Common Ancestors Existe também um algoritmo para processar um conjunto de consultas ancestrais comuns mais baixas. O algoritmo é baseado na estrutura de dados unionfind, e o benefício do algoritmo é que ele é mais fácil de implementar do que os algoritmos discutidos anteriormente neste capítulo.

49 Lowest Common Ancestors O algoritmo recebe como entrada um conjunto de pares de nós e determina, para cada par, o ancestral comum mais baixo dos nós. O algoritmo executa uma travessia em árvore em profundidade e mantém conjuntos de nós disjuntos. Inicialmente, cada nó pertence a um conjunto separado. Para cada conjunto, também armazenamos o nó mais alto na árvore que pertence ao conjunto.

50 Lowest Common Ancestors Quando o algoritmo visita um nó x, ele passa por todos os nós y de modo que o ancestral comum mais baixo de x e y tenha que ser encontrado. Se y já foi visitado, o algoritmo relata que o ancestral comum mais baixo de x e y é o nó mais alto no conjunto de y. Então, após processar o nó x, o algoritmo une os conjuntos de x e seu pai.

51 Lowest Common Ancestors Por exemplo, suponha que queremos encontrar os ancestrais comuns mais baixos dos pares de nós (5, 8) e (2, 7) na seguinte árvore:

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53 Lowest Common Ancestors Nas árvores a seguir, nós cinzas denotam nós visitados e grupos tracejados de nós pertencem ao mesmo conjunto. Quando o algoritmo visita o nó 8, ele percebe que o nó 5 foi visitado e o nó mais alto em seu conjunto é 2. Assim, o ancestral comum mais baixo dos nós 5 e 8 é 2:

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55 Lowest Common Ancestors Mais tarde, ao visitar o nó 7, o algoritmo determina que o ancestral comum mais baixo dos nós 2 e 7 é 1:

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