Toward an Architecture-Independent Analysis of Parallel Algorithms

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Jorge Penha da Silva
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1 1/22 Introdução O algoritmo de aproximação Aplicações em Problemas Concretos Problemas Abertos Referências Toward an Architecture-Independent Analysis of Parallel Algorithms Mijail Gamarra Holguin 18 de outubro de 2012

2 /22 Agenda 1 Introdução 2 O algoritmo de aproximação 3 Aplicações em Problemas Concretos 4 Problemas Abertos

3 /22 Agenda 1 Introdução 2 O algoritmo de aproximação 3 Aplicações em Problemas Concretos 4 Problemas Abertos

4 4/22 Introdução O algoritmo de aproximação Aplicações em Problemas Concretos Problemas Abertos Referências Sequencial Vs Paralelo O processo de desenho em computação sequencial envolve: (A) Escolher o algoritmo. (B) Analisar a complexidade. O processo de desenho em computação paralela envolve: (1) Escolher o algoritmo. (2) Escolher uma arquitetura multiprocessador. (3) Buscar um escalonamento com que o algoritmo é executado no computador. (4) Analisar a complexidade.

5 5/22 Introdução O algoritmo de aproximação Aplicações em Problemas Concretos Problemas Abertos Referências Como entender os algoritmos paralelos? O desafio é combinar os passos (2), (3) e (4). O desempenho de um algoritmo paralelo depende da arquitetura. Uma primeira tentativa de solução, levo em consideração 3 parâmetros: tempo decorrido, tráfego total de comunicação e atraso total de comunicação. Muitas medidas de desempenho e não tinha uma técnica de generalização.

6 6/22 Introdução O algoritmo de aproximação Aplicações em Problemas Concretos Problemas Abertos Referências Uma nova tentativa Um algoritmo paralelo é dado por um grafo dirigido acíclico (dag). Pode-se considerar que existem suficientes processadores. A complexidade é dada pelo tamanho do dag. O único parâmetro considerado é o atraso de comunicação τ.

7 7/22 Introdução O algoritmo de aproximação Aplicações em Problemas Concretos Problemas Abertos Referências Escalonar o algoritmo Considere-se que cada tarefa se processa em uma unidade de tempo. O problema a resolver é: Escalonar um dag com tarefa de uma unidade de tempo com uma quantidade ilimitada de processadores. O makespan ótimo, sempre uma função de τ, é uma medida justa da complexidade paralela do algoritmo. O único parâmetro considerado é o atraso de comunicação τ. O escalonamento proposto calcula um makespan com um algoritmo 2-aproximação.

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9 9/22 Introdução O algoritmo de aproximação Aplicações em Problemas Concretos Problemas Abertos Referências Definições Para este problema são dados: Um dag D = (A, V ) Um inteiro positivo τ A solução é um escalonamento S V ω ω, com as seguintes condições: Para cada v V existe pelo menos uma tripla (v, p, t) S. Não existem duas triplas (v, p, t), (v, p, t) S, tal que v v. Se (u, v) A e (v, p, t) S, então existe outra tripla (u, p, t ) S com t t 1 ou existe outra tripla (u, p, t ) S com t t 1 τ. A meta é minimizar T max, o maior tempo de S.

10 10/22 O problema é NP-completo Theorem 2.1 Dado um dag D = (V, A), um inteiro τ, um tempo limite T max. Decidir se existe um escalonamento S tal que nenhum tempo de S é maior que T max, é um problema NP-completo.

11 11/22 O algoritmo de aproximação Lema 1 Dado um dag D = (V, A) e um inteiro τ, pode-se calcular a função e : V ω, calcula da seguinte maneira: Se v é uma fonte e(v) = 0 Caso contrário, se considera os ancestrais de v, ordenados de forma decrescente segundo e(u), e(u 1 ) e(u 2 ) e(u p ). Seja k = min(τ + 1, p), então e(v) = e(u k ) + k. Não existe nenhum escalonamento em que o nodo v é escalonado antes do tempo e(v). Lema 2 Para cada nó v existe um escalonamento no qual o nó v é escalonado no tempo 2e(v).

12 12/22 O algoritmo 2-aproximação Combinando os Lemas 1 e 2, se tem este teorema: Theorem 2.2 O algoritmo explicado é um algoritmo de 2-aproximação para T max.

13 13/22 Generalizando do algoritmo No caso em que cada v V tem um tempo de execução x(v) e um atraso τ(v), este algoritmo pode ser usado e tem o mesmo erro de aproximação. A função e(v) para este caso é definida como: Se v é uma fonte e(v) = 0 Caso contrário, calcule f (u) = e(u) + x(u) + τ(u), ordene os ancestrais segundo este valor. Considere um inteiro j tal que f (u k ) > j f (u k+1 ). Seja N j (v) o dag dos ancestrais de v. Considere o problema de escalonamento S j : o release time de cada v i é e(v i ), com e(v 1 ) e(v 2 ) e(v l ). Obviamente [ o escalonamento ótimo tem comprimento L j = max k e(v i ) + i q=1 ]. x(q) Pegue o menor j tal que i=1 j L j. e(v) = j.

14 14/22 Algoritmo Generalizado Para cada nó v, o processador que executa v, também executa os nós do N e(v) (v). Este processador recebe a informação do resto de ancestrais através da comunicação com outros processadores. Os nós do N e(v) (v), são executados logo que eles se tornam disponíveis. Um nó u se torna disponível se todos os ancestrais são conhecidos.

15 15/22 O algoritmo é polinomial Theorem 2.3 O algoritmo explicado é um algoritmo polinomial de 2-aproximação para o problema generalizado.

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17 17/22 Árvore binária completa Uma árvore binária completa é um dag com n nós. Os τ ancestrais de um nó v estão nos log τ próximos níveis. Neste caso o algoritmo fica assim: Dividir os log n níveis em log n/ log τ camadas. Executar em paralelo todos as subárvores da mesma camada. Total de subárvores resultantes são n/τ. A complexidade do algoritmo é O(τ log n/ log τ). A quantidade de processadores necessários é O(n/τ).

18 18/22 Transformada rápida de Fourier A partir do ponto de vista de cada saída. o FFT é um árvore binária completa. Então o tempo ótimo é O(τ log n/ log τ). Outro algoritmo: Para k τ/ log τ, com partições do FFT em listras de altura log k. Cada listra contém n/k FFTs em k pontos. Cada um destes FFTs é executado em tempo sequencial (O(k log k)) dentro de um processador, e todos os FFTs do mesma listra são executados em paralelo. No final de cada listra, os resultados são trocados e começa a próxima listra. O algoritmo tem complexidade O(τ log n/ log τ), e usa O(n log τ/τ).

19 19/22 A pirâmide Como no caso das árvores binárias completas, o ótimo tempo limite é obtido executando, no mesmo processador que v, a subpirâmide com τ nós com v como raiz. O tempo requerido é 2 nτ. Usa n τ processadores.

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21 21/22 Problemas Abertos Não existe um algoritmo que seja melhor que 2-aproximação, a menos que P=NP. Para τ (um inteiro fixo, ou uma fração com numerador fixo) existe um algoritmo de programação dinâmica, que é polinomial e exato. O algoritmo de aproximação apresentado é um limite para produzir escalonamentos com muitos processadores. Uma árvore binária completa inversa pode-se resolver em tempo logarítmico.

22 22/22 Referências C.H. Papadimitriou and M. Yannakakis. Towards an architecture-independent analysis of parallel algorithms. SIAM Journal on Computing, 19(2): , 1990.

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