Complexidade de Algoritmos. Edson Prestes

Transcrição

1 Edson Prestes

2 Existem famílias de problemas cuja solução é alcançada de forma semelhante. O relacionamento entre problemas: caso especial; versão abstração; similar. Exemplos: A inserção de um elemento em uma lista é um caso especial da inserção de um elemento em uma árvore. A busca de um caminho em um grafo é uma versão abstrata do problema de encontrar uma rota entre dois pontos em uma cidade. A busca de um elemento em uma tabela ou em uma árvore podem ser vistos

3 Algoritmos Gulosos São úteis em problemas de otimização combinatória, onde a solução pode ser alcançada por uma seqüência de decisões. Podemos aplicá-los, por exemplo, em: intercalação sucessiva ótima de listas; caminhos de custo mínimo em grafos orientados; árvore geradora (ou de espalhamento) mínima em grafos não orientados; escalonamento de tarefas balanceamento de carga entre processadores; rastreamento de objetos, etc.

4 Intercalação sucessiva de listas. Consiste em intercalar n listas. Há várias maneiras possíveis de se realizar uma seqüência de intercalações. Cada seqüência está associada a um número de comparações. A escolha na ordem das intercalações afeta o desempenho do algoritmo.

5 Considere duas listas L 1 e L 2 com comprimentos m 1 e m 2, respectivamente. A lista resultante da intercalação destas listas é igual a soma dos seus comprimentos, ou seja, m 1 + m 2 A quantidade de comparações necessárias para intercalar duas listas, no pior caso, é o comprimento da lista resultante menos 1, ou seja, m 1 + m 2-1. Sejam três listas L 1, L 2 e L 3 com comprimentos 15, 10 e 5, respectivamente. Qual é a seqüência ótima de intercalações?

6 1 a Maneira (L 1 + L 2 )+ L 3 2 a Maneira L 1 + (L 2 + L 3 ) Intercalação L 1 + L 2 1 L 2 = = 25 ; comparações( 1 L 2 ) = 24 Intercalação 1 L 2 +L 3 12 L 3 = 25+5 ; comparações( 12 L 3 )=29 Número total de comparações: 53 Intercalação L 2 + L 3 2 L 3 = 10+5 = 15 ; comparações( 2 L 3 ) = 14 Intercalação 2 L 3 +L 1 23 L 1 = 15+15=30 ; comparações( 23 L 1 )=29 Número total de comparações: 43

7 Intercalação L 1 + L 3 3 a Maneira (L 1 + L 3 )+ L 2 1 L 3 = 15+5 = 20 ; comparações( 1 L 3 ) = 19 Intercalação 1 L 3 +L 2 13 L 2 = ; comparações( 12 L 3 )=29 Número total de comparações: 48 Podemos tirar alguma conclusão? A ordem em que as intercalações são realizadas afeta substancialmente o número de comparações, ou seja, afeta o desempenho do algoritmo.

8 Considere 3 listas L i com comprimentos m i, para i = 1, 2, 3. Qual é influência da seqüência de intercalações deste conjunto no número de comparações realizadas? Assuma que j m k = m j +m k. Vamos considerar duas situações a) (L 1 + L 2 )+ L 3, número total de comparações é igual a t' = 1 m ( 1 m 2 + m 3-1) = 2. ( m 1 + m 2 ) + m 3-2. b) (L 2 + L 3 )+ L 1 o número total de comparações é igual a t" = 2 m 3-1+ ( m m 3-1) = 2. ( m 2 + m 3 ) + m 1-2

9 Podemos afirmar que se 1 m 2 2 m 3, i. e., ( m 1 + m 2 ) (m 2 + m 3 ), teremos t t? (t começa com L 1 e L 2 e t com L 2 e L 3 )

10 Considere a intercalação de n listas L i Instante 1. A intercalação de L 1 com L 2 necessita de 1 m 2-1 comparações e produz 1 L 2 com comprimento 1 m 2, onde 1 m 2 := (m 1 + m 2 ) Instante i. A intercalação de 1 L i com L i+1 usa 1 m i+1-1comparações e produz 1 L i+1 com comprimento 1 m i+1, onde 1 m i+1 := ( 1 m i + m i+1 ) Instante n-1. A intercalação de 1 L n -1 com L n, usa 1 m n -1 comparações e produz 1 L n com comprimento 1 m n = ( 1 m n -1 + m n ) Qual é o número total de comparações é realizadas? O número total de comparações é dado por 1 m m i m n - (n-1), ou seja, (n -1).m 1 + (n-1) m 2 + (n-2)m ( n - i )m i m n -(n-1) o primeiro par de listas intercalado dá a maior contribuição para este cálculo

11 Considere 5 listas, com comprimentos 10, 20, 30, 40 e 50, a intercalar: Quantas comparações foram realizadas? 326 Quantas comparações seriam realizadas se pegássemos Sempre as duas maiores listas? 496

12