Complexidade de Algoritmos. Edson Prestes

Transcrição

1 Edson Prestes

2 Exemplos

3 Exemplos A complexidade no pior caso é linear e igual a n, ou seja, é O(n) A complexidade média é linear e igual a (1+n)/2, ou seja, é O(n)

4 Exemplos Considere o produto C de uma matriz A, p x q, por outra B, q x r, onde cada elemento ij de C é atualizado por Considere que A e B são matrizes quadradas de n x n elementos. Qual é a complexidade da multiplicação se a operação fundamental for a multiplicação de elementos? E se as operações fundamentais forem a multiplicação e a adição de elementos? Em ambos os casos a complexidade é O(n 3 )

5 Análise de Complexidade Pessimista - ACP A complexidade pessimista é o critério mais utilizado para verificar a eficiência de algoritmos Lembrando que Iremos estudar a complexidade das seguintes estruturas: Atribuição : v e Seqüência : S; T Condicional : se b então S senão T ( ou se b então S) Iteração definida : para i de j até m faça S Iteração indefinida : enquanto b faça S

6 Análise de Complexidade Pessimista - ACP Para operarmos ponto a ponto com funções precisamos Soma pontual: Máximo pontual: Mínimo pontual: Considere

7 Conceitos Preliminares O desempenho de um algoritmo é obtido a partir dos desempenhos das suas várias partes. a complexidade de um algoritmo pode ser obtida a partir das complexidades de suas partes. Um algoritmo é composto basicamente de componentes conjuntivas e componentes disjuntivas.

8 Conceitos Preliminares Considere um algoritmo a 0 composto de duas componentes a 1 e a 2. Para uma entrada d com tam(d) n, a complexidade pessimista dá uma cota superior para a função desemp

9 Partes Conjuntivas Sabendo que a 1 e a 2 são componentes conjuntivas de a 0 temos Usando as cotas superiores temos pela definição de complexidade pessimista temos a seguinte cota

10 Partes Conjuntivas Sabendo que os custos das partes dão cotas inferiores, temos Como a complexidade pessimista é cota superior para o custo temos Pela definição de complexidade pessimista temos a seguinte cota Logo temos

11 Partes Conjuntivas Sendo assim, a complexidade pessimista de um algoritmo com partes conjuntivas é limitada por Portanto a 0 tem ordem

12 Partes Conjuntivas Mostre que )

13 Partes Conjuntivas Exemplo: considere um algoritmo a que determina o máximo e o mínimo de uma seqüência de naturais O desempenho de a é dado por As complexidades das partes conjuntivas são Portanto

14 Partes Conjuntivas Exemplo: considere um algoritmo a que ordena uma seqüência de naturais e determina seu somatório O desempenho de a é dado por Considere que as complexidades das partes conjuntivas são Sabemos que Portanto

15 Partes Conjuntivas Por outro lado, sabemos que para entrada d com Lembrando que Temos

16 Partes Disjuntivas Exemplo: considere um algoritmo a que receba uma seqüência não nula e dependendo de seu primeiro elemento, ordena-a ou determina seu somatório Se hd(u)=0 então senão Como o algoritmo a executa um dos dois processos para cada entrada u, temos Logo, Considerando e temos

17 Partes Disjuntivas Considere um algoritmo a 0 cujas duas componentes a 1 e a 2 sejam Disjuntivas. É possível garantir que Sabendo que a 1 e a 2 são componentes disjuntivas de a 0 temos Como as complexidades dão cotas superiores temos Logo Pela definição de complexidade pessimista temos, a seguinte cota superior

18 Partes Disjuntivas É possível garantir que o mínimo das complexidades das componentes disjuntivas de um algoritmo a 0 dá uma cota inferior para a complexidade pessimista deste algoritmo? Sabendo que a 1 e a 2 são componentes disjuntivas de a 0 temos Portanto A cota inferior para a complexidade do algoritmo a 0 é