Melhores momentos AULA 3. Algoritmos p.148/188

Transcrição

1 Melhores momentos AULA 3 Algoritmos p.148/188

2 Análise da intercalação Problema: Dados e crescentes, rearranjar de modo que ele fique em ordem crescente. Entra: Sai: Algoritmos p.149/188

3 Algoritmos p.150/188 Intercalação INTERCALA 0 é um vetor auxiliar 1 para até faça 2 3 para até faça para até faça 8 se 9 então senão 12

4 Consumo de tempo Se a execução de cada linha de código consome unidade de tempo o consumo total é ( ): linha todas as execuções da linha total Algoritmos p.151/188

5 Consumo de tempo Quanto tempo consome em função de linha consumo de todas as execuções da linha? total = Conclusão: O algoritmo consome unidades de tempo. Algoritmos p.152/188

6 Definição Dizemos que positivas e é tais que se existem constantes para todo. consumo de tempo acements tamanho da entrada Algoritmos p.153/188

7 Algoritmos p.154/188 Definição Sejam e Dizemos que funções dos inteiros no reais. é se é. é e acements tamanho da entrada consumo de tempo

8 Definição se se existem constantes é tais que e Dizemos que positivas. para todo consumo de tempo acements tamanho da entrada Algoritmos p.155/188

9 Exercícios Exercício 6.A Já sabemos que ORDENA-POR-INSERÇÃO é Mostre que o algoritmo é.. Exercício 6.B Mostre que ORDENA-POR-INSERÇÃO é no pior caso. Exercício 6.C Mostre que ORDENA-POR-INSERÇÃO é no melhor caso. Algoritmos p.156/188

10 Consumo de tempo Mínimo, médio ou máximo? Melhor caso, caso médio, pior caso? nts consumo de tempo casos pior médio melhor entradas Algoritmos p.157/188

11 AULA 4 Algoritmos p.158/188

12 Recursão (continuação) CLRS 2.3 AU 2.6, 2.7, 2.9 "To understand recursion, we must first understand recursion. Algoritmos p.159/188

13 Algoritmos p.160/188 Merge-Sort, em ordem crescente., com Rearranja MERGE-SORT 1 se 2 então 3 MERGE-SORT 4 MERGE-SORT 5 INTERCALA

14 Algoritmos p.161/188 Merge-Sort, em ordem crescente., com Rearranja MERGE-SORT 1 se 2 então 3 MERGE-SORT 4 MERGE-SORT 5 INTERCALA

15 Algoritmos p.162/188 Merge-Sort, em ordem crescente., com Rearranja MERGE-SORT 1 se 2 então 3 MERGE-SORT 4 MERGE-SORT 5 INTERCALA

16 Algoritmos p.163/188 Merge-Sort, em ordem crescente., com Rearranja MERGE-SORT 1 se 2 então 3 MERGE-SORT 4 MERGE-SORT 5 INTERCALA

17 Merge-Sort Rearranja, com, em ordem crescente. MERGE-SORT 1 se 2 então 3 MERGE-SORT 4 MERGE-SORT 5 INTERCALA O algoritmo está correto? Algoritmos p.164/188

18 Merge-Sort Rearranja, com, em ordem crescente. MERGE-SORT 1 se 2 então 3 MERGE-SORT 4 MERGE-SORT 5 INTERCALA O algoritmo está correto? A correção do algoritmo, que se apóia na correção do INTERCALA, pode ser demonstrada por indução em. Algoritmos p.164/188

19 Merge-Sort Rearranja, com, em ordem crescente. MERGE-SORT 1 se 2 então 3 MERGE-SORT 4 MERGE-SORT 5 INTERCALA Consumo de tempo? Algoritmos p.165/188

20 Merge-Sort Rearranja, com, em ordem crescente. MERGE-SORT 1 se 2 então 3 MERGE-SORT 4 MERGE-SORT 5 INTERCALA Consumo de tempo? consumo de tempo máximo quando Algoritmos p.165/188

21 Merge-Sort MERGE-SORT 1 se 2 então 3 MERGE-SORT 4 MERGE-SORT 5 INTERCALA linha consumo na linha 1? 2? 3? 4? 5? Algoritmos p.166/188

22 Merge-Sort MERGE-SORT 1 se 2 então 3 MERGE-SORT 4 MERGE-SORT 5 INTERCALA linha consumo na linha Algoritmos p.167/188

23 Algoritmos p.168/188 Merge-Sort consumo de tempo máximo quando para

24 Algoritmos p.168/188 Merge-Sort consumo de tempo máximo quando para. é Solução: Demonstração:...

25 Merge-Sort consumo de tempo máximo quando para. é Solução: Demonstração:... Veremos, mas antes estudaremos Recorrências. Algoritmos p.168/188

26 Exercícios Exercício 7.A Problema: verificar se é elemento de. (Para quais valores de e faz sentido?) Escreva um algoritmo recursivo que resolve o problema. O algoritmo deve devolver. tal que Exercício 7.B Problema: verificar se é elemento de vetor crescente de busca linear e outro de busca binária.. Escreva algoritmo recursivo Exercício 7.C Escreva versão recursiva da ordenação por inserção. O algoritmo deve rearranjar em ordem crescente qualquer vetor dado. Algoritmos p.169/188

27 Mais exercícios Exercício 7.D (Versão sofisticada de busca) Problema: verificar se é elemento de vetor crescente devolva tal que. Escreva um algoritmo que Quais os possíveis valores de? Escreva duas versões: uma linear e uma binária. Prove que os seus algoritmos estão corretos. Exercício 7.E Escreva uma versão recursiva do algoritmo de ordenação por seleção. Exercício 7.F Escreva uma versão iterativa do MERGE-SORT. Algoritmos p.170/188

28 Recorrências CLRS AU 3.9, 3.11 Algoritmos p.171/188

29 Recorrências Recorrência = = fórmula que define uma função em termos d ela mesma = algoritmo recursivo que calcula uma função Algoritmos p.172/188

30 Exemplo 1 para Define função sobre inteiros positivos: 1 se 2 então devolva 1 3 senão devolva Algoritmos p.173/188

31 Resolver uma recorrência Resolver uma recorrência = = obter uma fórmula fechada para Método da substituição: chute fórmula e verifique por indução Algoritmos p.174/188

32 Exemplo 1 (continuação) Eu acho que. Algoritmos p.175/188

33 Exemplo 1 (continuação) Eu acho que. Verificação: Se então. Tome e suponha que a fórmula está certa para : hi Bingo! Algoritmos p.175/188

34 Como adivinhei fórmula fechada? ntsárvore da recorrência: níveis 1 Algoritmos p.176/188

35 Como adivinhei fórmula fechada? ntsárvore da recorrência: 1 níveis Algoritmos p.176/188

36 Algoritmos p.177/188 Exemplo 2 para

37 Algoritmos p.177/188 Exemplo 2 para Não é uma recorrência! Não faz sentido! depende de...

38 Exemplo 3 para Algoritmos p.178/188

39 Exemplo 3 para Fórmula fechada:??? Algoritmos p.178/188

40 Hmmmmmm Acho que é da forma... Algoritmos p.179/188

41 Chute Acho que a fórmula fechada é para Lá vamos nós outra vez... Algoritmos p.180/188

42 Algoritmos p.181/188 Chute para

43 Chute para Prova: Se então. Se então hi Iiiiiéééésss! Algoritmos p.181/188

44 Como adivinhei fórmula fechada? PSfrag replacements Árvore da recorrência: Algoritmos p.182/188

45 Como adivinhei fórmula fechada? Árvore da recorrência: eplacements Algoritmos p.182/188

46 Como adivinhei fórmula fechada? Árvore da recorrência: ents Algoritmos p.182/188

47 Como adivinhei fórmula fechada? Árvore da recorrência: nts total de níveis Algoritmos p.182/188

48 Algoritmos p.183/188 Contas nível soma

49 Contas nível soma (-1) Iiiiééééssss Algoritmos p.183/188

50 ?. Algoritmos p.184/188 Série geométrica, quanto vale Para (CLRS (A.5), p.1060). Solução: Seja Temos que Logo, e Conclusão:

51 Exemplo 3 (continuação). para É mais fácil mostrar que Vou provar que Algoritmos p.185/188

52 Exemplo 3 (continuação) É mais fácil mostrar que. Vou provar que para Prova: Se,. Se, hi (pois ) Da linha 1 para a linha 2, a hipótese de indução vale pois. Algoritmos p.185/188

53 Exercícios Exercício 8.A Seja a função definida pela recorrência para Verifique que a recorrência é honesta, ou seja, de fato define uma função. A partir da árvore da recorrência, adivinhe uma boa delimitação assintótica para ; dê a resposta em notação. Prove a delimitação pelo método da substituição. Exercício 8.B Resolva a recorrência para Desenhe a árvore da recorrência. Dê a resposta em notação. Algoritmos p.186/188

54 Algoritmos p.187/188 Mais exercícios Exercício 8.C Resolva a recorrência para Exercício 8.D Resolva a recorrência para Exercício 8.E Resolva a recorrência para

55 Algoritmos p.188/188 Mais exercícios ainda Exercício 8.F Resolva a recorrência para Exercício 8.G Resolva a recorrência para Exercício 8.H Resolva a recorrência para