Análise de Algoritmos
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- Eduardo Correia Cordeiro
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1 Análise de Algoritmos KT 5.5 e CLRS 28.2 Essas transparências foram adaptadas das transparências do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1
2 Segmento de soma máxima Um segmento de um vetor A[1..n] é qualquer subvetor da forma A[e..d]. Problema: Dado um vetor A[1..n] de números inteiros, determinar um segmento A[e..d] de soma máxima. Entra: 1 n A Algoritmos p. 2
3 Segmento de soma máxima Um segmento de um vetor A[1..n] é qualquer subvetor da forma A[e..d]. Problema: Dado um vetor A[1..n] de números inteiros, determinar um segmento A[e..d] de soma máxima. Entra: 1 n A Sai: n A A[e..d] = A[3..7] é segmento de soma máxima. A[3..7] tem soma 187. Algoritmos p. 2
4 Solução de divisão-e-conquista p q d p ee de q d p q ed dd d p em q dm d Algoritmos p. 3
5 Algoritmo de divisão-e-conquista Setermina soma máxima de um seg. de A[p..d]. SEG-MAX-DC (A, p, d) 1 se p = d então devolva max(0,a[p]) 2 q (p + d)/2 3 maxesq SEG-MAX-DC(A, p, q) 4 maxdir SEG-MAX-DC(A,q + 1,d) 5 max2esq soma A[q] 6 para i q 1 decrescendo até p faça 7 soma soma + A[i] 8 max2esq max(max2esq, soma) 9 max2dir soma A[q + 1] 10 para f q + 2 até d faça 11 soma soma + A[f] 12 max2dir max(max2dir, soma) 13 maxcruz max2esq + max2dir 14 devolva max(maxesq, maxcruz, maxdir) Algoritmos p. 4
6 Correção Verifique que: maxesq é a soma máxima de um segmento de A[p..q]; maxdir é a soma máxima de um segmento de A[q + 1..d]; e maxcruz é a soma máxima de um segmento da forma A[i..f] com i q e q + 1 f. Conclua que o algoritmo devolve a soma máxima de um segmento de A[p..d]. Algoritmos p. 5
7 Consumo de tempo Se a execução de cada linha de código consome 1 unidade de tempo o consumo total é: linha todas as execuções da linha 1-2 = 2 = Θ(1) 3 = T( n 2 ) = T( n2 ) 4 = T( n 2 ) = T( n2 ) 5 = 1 = Θ(1) 6 = n = Θ(n) 7-8 = n 2 = Θ(n) 9 = 1 = Θ(1) 10 = n = Θ(n) = n 2 = Θ(n) = 2 = Θ(1) total = T( n 2 ) + T( n2 ) + Θ(n) Algoritmos p. 6
8 Consumo de tempo T(n) := consumo de tempo quando n = d p + 1 Na análise do consumo de tempo do SEG-MAX-DC chegamos a (já manjada) recorrência com Θ do lado direito: T(n) = T( n/2 ) + T( n/2 ) + Θ(n) Solução assintótica: T(n) é Θ(n lg n). Algoritmos p. 7
9 Cara da solução Solução 0 0 < 0 < 0 Algoritmos p. 8
10 Solução indutiva e d f 1 e d f i f i f 1 Algoritmos p. 9
11 Algoritmo linear Determina um segmento de soma máxima de A[1..n] (por Jay Kadane). SEG-MAX-1 (A, n) 1 somamax 0 2 e 0 d 1 A[e..d] é vazio 3 i 1 4 soma 0 5 para f 1 até n faça 6 se soma + A[f] < 0 7 então i f + 1 soma 0 8 senão soma soma + A[f] 9 se soma > somamax então 10 somamax soma e i d f 11 devolva e,d e somamax Algoritmos p. 10
12 Correção Verifique que: A[e..d] é um segmento de soma máxima em A[1..f 1]. somamax é a soma de A[e..d]. A[i..f 1] é um segmento de soma máxima que termina em f 1. soma é a soma de A[i..f 1]. Conclua que o algoritmo devolve a soma máxima de um segmento de A[1..n]. Algoritmos p. 11
13 Consumo de tempo Se a execução de cada linha de código consome 1 unidade de tempo o consumo total é: linha todas as execuções da linha 1-2 = 2 = Θ(1) 3-4 = 2 = Θ(1) 5 = n + 1 = Θ(n) 6 = n = Θ(n) 7-8 = n = Θ(n) 9 = n = Θ(n) 10 n = O(n) 11 = 1 = Θ(1) total = Θ(4n + 3) + O(n) = Θ(n) Algoritmos p. 12
14 Conclusões O consumo de tempo do algoritmo SEG-MAX-3 é Θ(n 3 ). O consumo de tempo do algoritmo SEG-MAX-2 é Θ(n 2 ). O consumo de tempo do algoritmo SEG-MAX-DC é Θ(n lg n). O consumo de tempo do algoritmo SEG-MAX-1 é Θ(n). Algoritmos p. 13
15 Técnicas Evitar recálculos. Usar espaço para armazenar resultados a fim de evitar recalculá-los (SEG-MAX-2, SEG-MAX-1, programação dinâmica). Divisão-e-conquista. Os algoritmos Mergesort e SEG-MAX-2 utilizam uma forma conhecida dessa técnica. Algoritmos incrementais/varredura. Como estender a solução de um subproblema a uma solução do problema (SEG-MAX-1). Delimitação inferior. Bons projetistas de algoritmos só dormem em paz quando sabem que seus algoritmos são o melhor possível (SEG-MAX-1). Algoritmos p. 14
16 Multiplicação de inteiros gigantescos n := número de algarismos. Problema: Dados dois números inteiros X[1..n] e Y [1..n] calcular o produto X Y. Entra: Exemplo com n = X Y Algoritmos p. 15
17 Multiplicação de inteiros gigantescos n := número de algarismos. Problema: Dados dois números inteiros X[1..n] e Y [1..n] calcular o produto X Y. Entra: Exemplo com n = X Y Sai: 23 X Y Algoritmos p. 15
18 Algoritmo do ensino fundamental * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * O algoritmo do ensino fundamental é Θ(n 2 ). Algoritmos p. 16
19 Divisão e conquista n2 n 1 X A B Y C D p A D B D A C B C A C A D + B C B D X Y = A C 10 n + (A D + B C) 10 n/2 + B D Algoritmos p. 17
20 Exemplo 4 1 X Y Algoritmos p. 18
21 Exemplo 4 1 X Y A 3 1 B 4 1 C 5 9 D 3 6 Algoritmos p. 18
22 Exemplo 4 1 X Y A 3 1 B 4 1 C 5 9 D 3 6 X Y = A C (A D + B C) B D A C = 1829 (A D + B C) = = 3535 B D = 1476 A C (A D + B C) B D X Y = Algoritmos p. 18
23 Algoritmo de Multi-DC Algoritmo recebe inteiros X[1..n] e Y [1..n] e devolve X Y. MULT (X,Y,n) 1 se n = 1 devolva X Y 2 q n/2 3 A X[q + 1..n] B X[1..q] 4 C Y [q + 1..n] D Y [1..q] 5 E MULT(A, C, n/2 ) 6 F MULT(B,D, n/2 ) 7 G MULT(A,D, n/2 ) 8 H MULT(B,C, n/2 ) 9 R E 10 n + (G + H) 10 n/2 + F 10 devolva R T(n) = consumo de tempo do algoritmo para multiplicar dois inteiros com n algarismos. Algoritmos p. 19
24 Consumo de tempo linha todas as execuções da linha 1 = Θ(1) 2 = Θ(1) 3 = Θ(n) 4 = Θ(n) 5 = T( n/2 ) 6 = T( n/2 ) 7 = T( n/2 ) 8 = T( n/2 ) 9 = Θ(n) 10 = Θ(n) total = T( n/2 ) + 3T( n/2 ) + Θ(n) Algoritmos p. 20
25 Consumo de tempo Sabemos que T(n) = T( n/2 ) + 3T( n/2 ) + Θ(n) está na mesma classe Θ que a solução de T (1) = 1 T (n) = 4T (n/2) + n para n = 2, 2 2, 2 3,... n T (n) Algoritmos p. 21
26 Conclusões T (n) é Θ(n 2 ). T(n) é Θ(n 2 ). O consumo de tempo do algoritmo MULT é Θ(n 2 ). Tanto trabalho por nada... Será?!? Algoritmos p. 22
27 Pensar pequeno Olhar para números com 2 algarismos (n=2). Suponha X = ab e Y = cd. Se cada multiplicação custa R$ 1,00 e cada soma custa R$ 0,01, quanto custa X Y? Algoritmos p. 23
28 Pensar pequeno Olhar para números com 2 algarismos (n=2). Suponha X = ab e Y = cd. Se cada multiplicação custa R$ 1,00 e cada soma custa R$ 0,01, quanto custa X Y? Eis X Y por R$ 4,03: X a b Y c d X Y ad bd ac bc ac ad + bc bd X Y = ac (ad + bc) bd Algoritmos p. 23
29 Pensar pequeno Olhar para números com 2 algarismos (n=2). Suponha X = ab e Y = cd. Se cada multiplicação custa R$ 1,00 e cada soma custa R$ 0,01, quanto custa X Y? Eis X Y por R$ 4,03: X a b Y c d X Y ad bd ac bc ac ad + bc bd X Y = ac (ad + bc) bd Solução mais barata? Algoritmos p. 23
30 Pensar pequeno Olhar para números com 2 algarismos (n=2). Suponha X = ab e Y = cd. Se cada multiplicação custa R$ 1,00 e cada soma custa R$ 0,01, quanto custa X Y? Eis X Y por R$ 4,03: X a b Y c d X Y ad bd ac bc ac ad + bc bd X Y = ac (ad + bc) bd Solução mais barata? Gauss faz por R$ 3,06! Algoritmos p. 23
31 X Y por apenas R$ 3,06 X a b Y c d ac ad bc bd X Y ac ad + bc bd Algoritmos p. 24
32 X Y por apenas R$ 3,06 X a b Y c d ac ad bc bd X Y ac ad + bc bd (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd ad + bc = (a + b)(c + d) ac bd g = (a + b)(c + d) e = ac f = bd h = g e f X Y (por R$ 3,06) = e h f Algoritmos p. 24
33 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a + b)(c + d) =? Algoritmos p. 25
34 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a + b)(c + d) =? X = 21 Y = 23 X Y =? ac =? bd =? (a + b)(c + d) =? Algoritmos p. 25
35 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a + b)(c + d) =? X = 21 Y = 23 X Y =? ac =? bd =? (a + b)(c + d) =? X = 2 Y = 2 X Y = 4 Algoritmos p. 25
36 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a + b)(c + d) =? X = 21 Y = 23 X Y =? ac = 4 bd =? (a + b)(c + d) =? Algoritmos p. 26
37 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a + b)(c + d) =? X = 21 Y = 23 X Y =? ac = 4 bd =? (a + b)(c + d) =? X = 1 Y = 3 X Y = 3 Algoritmos p. 26
38 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a + b)(c + d) =? X = 21 Y = 23 X Y =? ac = 4 bd = 3 (a + b)(c + d) =? Algoritmos p. 27
39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a + b)(c + d) =? X = 21 Y = 23 X Y =? ac = 4 bd = 3 (a + b)(c + d) =? X = 3 Y = 5 X Y = 15 Algoritmos p. 27
40 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a + b)(c + d) =? X = 21 Y = 23 X Y = 483 ac = 4 bd = 3 (a + b)(c + d) = 15 Algoritmos p. 28
41 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd =? (a + b)(c + d) =? Algoritmos p. 29
42 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd =? (a + b)(c + d) =? X = 33 Y = 12 X Y =? ac =? bd =? (a + b)(c + d) =? Algoritmos p. 29
43 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd =? (a + b)(c + d) =? X = 33 Y = 12 X Y = 396 ac = 3 bd = 6 (a + b)(c + d) = 18 Algoritmos p. 29
44 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd = 396 (a + b)(c + d) =? Algoritmos p. 30
45 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd = 396 (a + b)(c + d) =? X = 54 Y = 35 X Y =? ac =? bd =? (a + b)(c + d) =? Algoritmos p. 30
46 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd = 396 (a + b)(c + d) =? X = 54 Y = 35 X Y = 1890 ac = 15 bd = 20 (a + b)(c + d) = 72 Algoritmos p. 30
47 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd = 396 (a + b)(c + d) = 1890 Algoritmos p. 31
48 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y = ac = 483 bd = 396 (a + b)(c + d) = 1890 Algoritmos p. 31
49 Algoritmo Multi Algoritmo recebe inteiros X[1..n] e Y [1..n] e devolve X Y (Karatsuba e Ofman). KARATSUBA (X, Y, n) 1 se n 3 devolva X Y 2 q n/2 3 A X[q + 1..n] B X[1..q] 4 C Y [q + 1..n] D Y [1..q] 5 E KARATSUBA(A, C, n/2 ) 6 F KARATSUBA(B, D, n/2 ) 7 G KARATSUBA(A + B,C + D, n/2 + 1) 8 H G F E 9 R E 10 n + H 10 n/2 + F 10 devolva R T(n) = consumo de tempo do algoritmo para multiplicar dois inteiros com n algarismos. Algoritmos p. 32
50 Consumo de tempo linha todas as execuções da linha 1 = Θ(1) 2 = Θ(1) 3 = Θ(n) 4 = Θ(n) 5 = T( n/2 ) 6 = T( n/2 ) 7 = T( n/2 +1) 8 = Θ(n) 9 = Θ(n) 10 = Θ(n) total = T( n/2 ) + T( n/2 ) + T( n/2 + 1) + Θ(n) Algoritmos p. 33
51 Consumo de tempo Sabemos que T(n) = T( n/2 ) + T( n/2 ) + T( n/2 + 1) + Θ(n) está na mesma classe Θ que a solução de T (1) = 1 T (n) = 3T (n/2) + n para n = 2, 2 2, 2 3,... n T (n) Algoritmos p. 34
52 Considere a recorrência Recorrência R(1) = 1 R(2) = 1 R(3) = 1 R(n) = 3R( n 2 + 1) + n para n = 4, 5, 6... n T(n) R(n) Algoritmos p. 35
53 Considere a recorrência Recorrência R(1) = 1 R(2) = 1 R(3) = 1 R(n) = 3R( n 2 + 1) + n para n = 4, 5, 6... n T(n) R(n) Vamos mostra que R(n) é O(n lg 3 ). Isto implica que T(n) é O(n lg 3 ). Algoritmos p. 35
54 Solução assintótica da recorrência Vou mostrar que R(n) 31 (n 3) lg 3 6n para n = 4, 5, 6,... n R(n) (n 3) lg 3 6n Algoritmos p. 36
55 Solução assintótica da recorrência Vou mostrar que R(n) 31 (n 3) lg 3 6n para n = 4, 5, 6,... n R(n) (n 3) lg 3 6n Prova: Se n = 4, então R(n) = 7 = 31(n 3) lg 3 6n. Algoritmos p. 36
56 Solução assintótica da recorrência Prova: (continuação) Se n 5 vale que R(n) = 3R( n/2 + 1) + n hi 3(31( n/ ) lg 3 6( n/2 + 1)) + n (n + 1) 3(31( 2) lg 3 6( n )) + n (n 3) = 3(31( ) lg 3 3n 6) + n 2 (n 3)lg 3 = 3(31 2 lg 3 3n 6) + n (n 3)lg 3 = n 18 + n 3 = 31(n 3) lg 3 6n 2n 18 < 31(n 3) lg 3 6n = Θ(n lg 3 ) Algoritmos p. 37
57 Conclusões R(n) é Θ(n lg 3 ). Logo T(n) é Θ(n lg 3 ). O consumo de tempo do algoritmo KARATSUBA é Θ(n lg 3 ) (1,584 < lg 3 < 1,585). Algoritmos p. 38
58 Mais conclusões Consumo de tempo de algoritmos para multiplicação de inteiros: Jardim de infância Θ(n 10 n ) Ensino fundamental Θ(n 2 ) Karatsuba e Ofman 60 O(n ) Toom e Cook 63 O(n ) (divisão e conquista; generaliza o acima) Schönhage e Strassen 71 O(n lg n lg lg n) (FFT em aneis de tamanho específico) Fürer 07 O(n lg n 2 O(log n) ) Algoritmos p. 39
59 Ambiente experimental A plataforma utilizada nos experimentos é um PC rodando Linux Debian?.? com um processador Pentium II de 233 MHz e 128MB de memória RAM. Os códigos estão compilados com o gcc versão e opção de compilação -O2. As implementações comparadas neste experimento são as do algoritmo do ensino fundamental e do algoritmo KARATSUBA. O programa foi escrito por Carl Burch: cburch/251/karat/. Algoritmos p. 40
60 Resultados experimentais n Ensino Fund. KARATSUBA Tempos em 10 3 segundos. Algoritmos p. 41
61 Multiplicação de matrizes Problema: Dadas duas matrizes X[1..n, 1..n] e Y [1..n, 1..n] calcular o produto X Y. Os algoritmo tradicional de multiplicação de matrizes consome tempo Θ(n 3 ). ( ) ( ) ( ) a b e f r s = c d g h t u Solução custa R$ 8,04 r = ae + bg s = af + bh t = ce + dg u = cf + dh (1) Algoritmos p. 42
62 Divisão e conquista X Y A B E F R S x = C D G H T U R = AE + BG S = AF + BH T = CE + DG U = CF + DH (2) Algoritmos p. 43
63 Algoritmo de Multi-Mat Algoritmo recebe inteiros X[1..n] e Y [1..n] e devolve X Y. MULTI-M (X,Y,n) 1 se n = 1 devolva X Y 2 (A,B,C,D) PARTICIONE(X,n) 3 (E,F,G,H) PARTICIONE(Y,n) 4 R MULTI-M(A,E,n/2) + MULTI-M(B,G,n/2) 5 S MULTI-M(A, F, n/2) + MULTI-M(B, H, n/2) 6 T MULTI-M(C,E,n/2) + MULTI-M(D,G,n/2) 7 U MULTI-M(C,F,n/2) + MULTI-M(D,H,n/2) 8 P CONSTRÓI-MAT(R,S,T,U) 9 devolva P T(n) = consumo de tempo do algoritmo para multiplicar duas matrizes de n linhas e n colunas. Algoritmos p. 44
64 Consumo de tempo linha todas as execuções da linha 1 = Θ(1) 2 = Θ(n 2 ) 3 = Θ(n 2 ) 4 = T(n/2) + T(n/2) 5 = T(n/2) + T(n/2) 6 = T(n/2) + T(n/2) 7 = T(n/2) + T(n/2) 8 = Θ(n 2 ) 9 = Θ(n 2 ) total = 8T(n/2) + Θ(n 2 ) Algoritmos p. 45
65 Consumo de tempo As dicas no nosso estudo de recorrências sugeri que a solução da recorrência T(n) = 8T(n/2) + Θ(n 2 ) está na mesma classe Θ que a solução de T (1) = 1 T (n) = 8T (n/2) + n 2 para n = 2, 2 2, 2 3,... n T (n) Algoritmos p. 46
66 Solução assintótica da recorrência Considere a recorrência R(1) = 1 R(n) = 8R( n 2 ) + n 2 para n = 2, 3, 4,... Verifique por indução que R(n) 20(n 1) 3 2n 2 para n = 2, 3, 4... n R(n) (n 1) 3 2n Algoritmos p. 47
67 Conclusões R(n) é Θ(n 3 ). Conclusão anterior+exercício T(n) é Θ(n 3 ). O consumo de tempo do algoritmo MULTI-M é Θ(n 3 ). Algoritmos p. 48
68 Strassen: X Y por apenas R$ 7,18 ( a b c d ) ( e f g h ) = ( r s t u ) Algoritmos p. 49
69 Strassen: X Y por apenas R$ 7,18 ( a b c d ) ( e f g h ) = ( r s t u ) p 1 = a(f h) = af ah p 2 = (a + b)h = ah + bh p 3 = (c + d)e = ce + de p 4 = d(g e) = dg de p 5 = (a + d)(e + h) = ae + ah + de + dh p 6 = (b d)(g + h) = bg + bh dg dh p 7 = (a c)(e + f) = ae + af ce cfd (4) Algoritmos p. 49
70 Strassen: X Y por apenas R$ 7,18 p 1 = a(f h) = af ah p 2 = (a + b)h = ah + bh p 3 = (c + d)e = ce + de p 4 = d(g e) = dg de p 5 = (a + d)(e + h) = ae + ah + de + dh p 6 = (b d)(g + h) = bg + bh dg dh p 7 = (a c)(e + f) = ae + af ce cfd r = p 5 + p 4 p 2 + p 6 = ae + bg s = p 1 + p 2 = af + bh t = p 3 + p 4 = ce + dg u = p 5 + p 1 p 3 p 7 = cf + dh Algoritmos p. 50
71 Algoritmo de Strassen STRASSEN (X,Y,n) 1 se n = 1 devolva X Y 2 (A,B,C,D) PARTICIONE(X,n) 3 (E,F,G,H) PARTICIONE(Y,n) 4 P 1 STRASSEN(A,F H,n/2) 5 P 2 STRASSEN(A + B,H,n/2) 6 P 3 STRASSEN(C + D,E,n/2) 7 P 4 STRASSEN(D,G E,n/2) 8 P 5 STRASSEN(A + D,E + H,n/2) 9 P 6 STRASSEN(B D,G + H,n/2) 10 P 7 STRASSEN(A C,E + F,n/2) 11 R P 5 + P 4 P 2 + P 6 12 S P 1 + P 2 13 T P 3 + P 4 14 U P 5 + P 1 P 3 P 7 15 devolva P CONSTRÓI-MAT(R,S,T,U) Algoritmos p. 51
72 Consumo de tempo linha todas as execuções da linha 1 = Θ(1) 2-3 = Θ(n 2 ) 4-10 = 7,T(n/2) + Θ(n 2 ) = Θ(n 2 ) 15 = Θ(n 2 ) total = 7T(n/2) + Θ(n 2 ) Algoritmos p. 52
73 Consumo de tempo As dicas no nosso estudo de recorrências sugeri que a solução da recorrência T(n) = 7T(n/2) + Θ(n 2 ) está na mesma classe Θ que a solução de T (1) = 1 T (n) = 7T (n/2) + n 2 para n = 2, 2 2, 2 3,... n T (n) Algoritmos p. 53
74 Solução assintótica da recorrência Considere a recorrência R(1) = 1 R(n) = 7R( n 2 ) + n 2 para n = 2, 3, 4,... Verifique por indução que R(n) 19(n 1) lg 7 2n 2 para n = 2, 3, ,80 < lg 7 < 2,81 n R(n) (n 1) lg 7 2n Algoritmos p. 54
75 Conclusões R(n) é Θ(n lg 7 ). T(n) é Θ(n lg 7 ). O consumo de tempo do algoritmo STRASSEN é Θ(n lg 7 ) (2,80 < lg 7 < 2,81). Algoritmos p. 55
76 Mais conclusões Consumo de tempo de algoritmos para multiplicação de matrizes: Ensino fundamental Θ(n 3 ) Strassen Θ(n 2.81 ) Coppersmith e Winograd Θ(n 2.38 ) Algoritmos p. 56
Análise de Algoritmos
Algoritmos p. 1/39 Análise de Algoritmos Parte destes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 2/39 Multiplicação de inteiros gigantescos KT
Multiplicação de inteiros gigantescos
Multiplicação de inteiros gigantescos n := número de algarismos. Problema: Dados dois números inteiros X [1.. n] e Y [1.. n], calcular o produto X Y. Entra: Exemplo com n = 12 12 1 X 9 2 3 4 5 5 4 5 6
Aula 2. Divisão e conquista. Exemplo 1: Número de inversões de uma permutação (problema 2-4 do CLRS; veja também sec 5.4 do KT)
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