Análise de Algoritmos
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- Theodoro Figueiroa Arantes
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1 Análise de Algoritmos Estes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1
2 Aula 3 Transformada rápida de Fourier Secs 30.1 e 30.2 do CLRS e 5.6 do KT. Algoritmos p. 2
3 Produto de polinômios Problema: Dados dois polinômios a(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 e b(x) = b 0 + b 1 x + + b n 1 x n 1, calcular o polinômio p(x) = a(x) b(x). Algoritmos p. 3
4 Produto de polinômios Problema: Dados dois polinômios a(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 e b(x) = b 0 + b 1 x + + b n 1 x n 1, calcular o polinômio p(x) = a(x) b(x). Lembre-se que p(x) = a(x) b(x) = c 0 + c 1 x + + c 2n 2 x 2n 2, onde para k = 0, 1,..., 2n 2. c k = a o b k + a 1 b k a k b 0, Algoritmos p. 3
5 Produto de polinômios Problema: Dados dois polinômios a(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 e b(x) = b 0 + b 1 x + + b n 1 x n 1, calcular o polinômio p(x) = a(x) b(x). Lembre-se que p(x) = a(x) b(x) = c 0 + c 1 x + + c 2n 2 x 2n 2, onde para k = 0, 1,..., 2n 2. c k = a o b k + a 1 b k a k b 0, O vetor c é a convolução de a e b, às vezes denotada por a b. Algoritmos p. 3
6 Produto de polinômios De novo há um algoritmo O(n 2 ) óbvio para calcular p(x), ou seja, para calcular c 0,c 1,...,c 2n 2. Algoritmos p. 4
7 Produto de polinômios De novo há um algoritmo O(n 2 ) óbvio para calcular p(x), ou seja, para calcular c 0,c 1,...,c 2n 2. Queremos algo melhor! Algoritmos p. 4
8 Produto de polinômios De novo há um algoritmo O(n 2 ) óbvio para calcular p(x), ou seja, para calcular c 0,c 1,...,c 2n 2. Queremos algo melhor! Queremos um algoritmo O(n lg n)! Algoritmos p. 4
9 Produto de polinômios De novo há um algoritmo O(n 2 ) óbvio para calcular p(x), ou seja, para calcular c 0,c 1,...,c 2n 2. Queremos algo melhor! Queremos um algoritmo O(n lg n)! Qual é a ideia do algoritmo? Algoritmos p. 4
10 Produto de polinômios De novo há um algoritmo O(n 2 ) óbvio para calcular p(x), ou seja, para calcular c 0,c 1,...,c 2n 2. Queremos algo melhor! Queremos um algoritmo O(n lg n)! Qual é a ideia do algoritmo? Dados n pares (x 0,y 0 ),...,(x n 1,y n 1 ), existe um único polinômio q(x) de grau menor que n tal que q(x i ) = y i para i = 0,...,n 1. Algoritmos p. 4
11 Produto de polinômios De novo há um algoritmo O(n 2 ) óbvio para calcular p(x), ou seja, para calcular c 0,c 1,...,c 2n 2. Queremos algo melhor! Queremos um algoritmo O(n lg n)! Qual é a ideia do algoritmo? Dados n pares (x 0,y 0 ),...,(x n 1,y n 1 ), existe um único polinômio q(x) de grau menor que n tal que q(x i ) = y i para i = 0,...,n 1. Prova na aula... Algoritmos p. 4
12 Produto de polinômios De novo há um algoritmo O(n 2 ) óbvio para calcular p(x), ou seja, para calcular c 0,c 1,...,c 2n 2. Queremos algo melhor! Queremos um algoritmo O(n lg n)! Qual é a ideia do algoritmo? Dados n pares (x 0,y 0 ),...,(x n 1,y n 1 ), existe um único polinômio q(x) de grau menor que n tal que q(x i ) = y i para i = 0,...,n 1. Prova na aula... Representações alternativas de polinômios de grau n 1: seus n coeficientes, ou seu valor em n pontos distintos. Algoritmos p. 4
13 Ideia do algoritmo O(n lg n) Entrada: a = (a 0,...,a n 1 ) e b = (b 0,...,b n 1 ). Obter pares (x 0,y a 0 ),...,(x 2n 2,y a 2n 2 ) e (x 0,y b 0 ),...,(x 2n 2,y b 2n 2 ) onde x i x j para i j, e onde y a i = a(x i) e y b i = b(x i) para i = 0,...,2n 2. Algoritmos p. 5
14 Ideia do algoritmo O(n lg n) Entrada: a = (a 0,...,a n 1 ) e b = (b 0,...,b n 1 ). Obter pares (x 0,y a 0 ),...,(x 2n 2,y a 2n 2 ) e (x 0,y b 0 ),...,(x 2n 2,y b 2n 2 ) onde x i x j para i j, e onde y a i = a(x i) e y b i = b(x i) para i = 0,...,2n 2. Obter pares (x 0,q 0 ),...,(x 2n 2,q 2n 2 ) onde q i = yi a yb i para i = 0,...,2n 2. Algoritmos p. 5
15 Ideia do algoritmo O(n lg n) Entrada: a = (a 0,...,a n 1 ) e b = (b 0,...,b n 1 ). Obter pares (x 0,y a 0 ),...,(x 2n 2,y a 2n 2 ) e (x 0,y b 0 ),...,(x 2n 2,y b 2n 2 ) onde x i x j para i j, e onde y a i = a(x i) e y b i = b(x i) para i = 0,...,2n 2. Obter pares (x 0,q 0 ),...,(x 2n 2,q 2n 2 ) onde q i = yi a yb i para i = 0,...,2n 2. Determinar q(x) tal que q(x i ) = q i para i = 0,...,2n 2. Algoritmos p. 5
16 Ideia do algoritmo O(n lg n) Entrada: a = (a 0,...,a n 1 ) e b = (b 0,...,b n 1 ). Obter pares (x 0,y a 0 ),...,(x 2n 2,y a 2n 2 ) e (x 0,y b 0 ),...,(x 2n 2,y b 2n 2 ) onde x i x j para i j, e onde y a i = a(x i) e y b i = b(x i) para i = 0,...,2n 2. Obter pares (x 0,q 0 ),...,(x 2n 2,q 2n 2 ) onde q i = yi a yb i para i = 0,...,2n 2. Determinar q(x) tal que q(x i ) = q i para i = 0,...,2n 2. O passo do meio consome tempo O(n) trivialmente. Algoritmos p. 5
17 Ideia do algoritmo O(n lg n) Dado a = (a 0,...,a n 1 ), como calcular o valor de a em 2n 1 pontos em O(n lg n)? Algoritmos p. 6
18 Ideia do algoritmo O(n lg n) Dado a = (a 0,...,a n 1 ), como calcular o valor de a em 2n 1 pontos em O(n lg n)? Dado x, quanto tempo levamos para calcular a(x)? Algoritmos p. 6
19 Ideia do algoritmo O(n lg n) Dado a = (a 0,...,a n 1 ), como calcular o valor de a em 2n 1 pontos em O(n lg n)? Dado x, quanto tempo levamos para calcular a(x)? Θ(n). Algoritmos p. 6
20 Ideia do algoritmo O(n lg n) Dado a = (a 0,...,a n 1 ), como calcular o valor de a em 2n 1 pontos em O(n lg n)? Dado x, quanto tempo levamos para calcular a(x)? Θ(n). Então se escolhermos x 0,...,x 2n 2 arbitrariamente, levaremos tempo Θ(n 2 ) nesta etapa. Algoritmos p. 6
21 Ideia do algoritmo O(n lg n) Dado a = (a 0,...,a n 1 ), como calcular o valor de a em 2n 1 pontos em O(n lg n)? Dado x, quanto tempo levamos para calcular a(x)? Θ(n). Então se escolhermos x 0,...,x 2n 2 arbitrariamente, levaremos tempo Θ(n 2 ) nesta etapa. Que pontos escolher então? Algoritmos p. 6
22 Ideia do algoritmo O(n lg n) Dado a = (a 0,...,a n 1 ), como calcular o valor de a em 2n 1 pontos em O(n lg n)? Dado x, quanto tempo levamos para calcular a(x)? Θ(n). Então se escolhermos x 0,...,x 2n 2 arbitrariamente, levaremos tempo Θ(n 2 ) nesta etapa. Que pontos escolher então? Pontos muito especiais... as raízes da unidade! Algoritmos p. 6
23 Ideia do algoritmo O(n lg n) Dado a = (a 0,...,a n 1 ), como calcular o valor de a em 2n 1 pontos em O(n lg n)? Dado x, quanto tempo levamos para calcular a(x)? Θ(n). Então se escolhermos x 0,...,x 2n 2 arbitrariamente, levaremos tempo Θ(n 2 ) nesta etapa. Que pontos escolher então? Pontos muito especiais... as raízes da unidade! Quem são estas?? Algoritmos p. 6
24 Raízes da unidade São definidas para cada n. Algoritmos p. 7
25 Raízes da unidade São definidas para cada n. As raízes n-ésimas da unidade são as raízes da equação x n = 1. (São números complexos! Lembra deles?) Algoritmos p. 7
26 Raízes da unidade São definidas para cada n. As raízes n-ésimas da unidade são as raízes da equação x n = 1. (São números complexos! Lembra deles?) Existem exatamente n raízes da unidade. Algoritmos p. 7
27 Raízes da unidade São definidas para cada n. As raízes n-ésimas da unidade são as raízes da equação x n = 1. (São números complexos! Lembra deles?) Existem exatamente n raízes da unidade. Seja ω n = e 2πi/n = cos(2π/n) + i sen(2π/n). Raízes n-ésimas da unidade: para k = 0, 1,...,n 1, ωn k = e 2πki/n. Algoritmos p. 7
28 Raízes da unidade Para n = 8 temos ω 2 8 ω 3 8 ω 1 8 ω 4 8 ω 0 8 ω 5 8 ω 7 8 ω 6 8 Algoritmos p. 8
29 Raízes da unidade Para n = 8 temos ω 3 8 ω 2 8 ω 1 8 ω 4 8 ω 0 8 ω8 0 = e 0 = 1 ω8 5 ω8 1 = e πi/4 = cos(π/4) + i sen(π/4) ω8 2 = e πi/2 = cos(π/2) + i sen(π/2) = i ω8 3 = e 3πi/4 = cos(3π/4) + i sen(3π/4) ω8 4 = e πi = cos(π) + i sen(π) = 1 ω8 5 = e 5πi/4 = cos(5π/4) + i sen(5π/4) ω8 6 = e 3πi/2 = cos(3π/2) + i sen(3π/2) = i ω8 7 = e 7πi/4 = cos(7π/4) + i sen(7π/4) ω 6 8 ω 7 8 Algoritmos p. 9
30 Transformada discreta de Fourier Seja ω n = e 2πi/n. Raízes n-ésimas da unidade: para k = 0, 1,...,n 1, ω k n = e 2πki/n. Dado um vetor a = (a 0,a 1,...,a n 1 ), representando os coeficientes de um polinômio que denotamos por a(x), a transformada discreta de Fourier (DFT) de ordem n de a é o vetor y = (y 0,y 1,...,y n 1 ) onde y k = a(ω k n) para k = 0, 1,...,n 1. Objetivo: programa que, dado um vetor a = (a 0,...,a n 1 ), determina a sua DFT de ordem n em tempo Θ(n lg n). Algoritmos p. 10
31 Voltando ao produto de polinômios... Lembre-se... queremos... Obter pares (x 0,y a 0 ),...,(x 2n 2,y a 2n 2 ) e (x 0,y b 0 ),...,(x 2n 2,y b 2n 2 ) onde x i x j para i j, e onde y a i = a(x i) e y b i = b(x i) para i = 0,...,2n 2. Obter pares (x 0,q 0 ),...,(x 2n 2,q 2n 2 ) onde q i = yi a yb i para i = 0,...,2n 2. Determinar q(x) tal que q(x i ) = q i para i = 0,...,2n 2. Algoritmos p. 11
32 Voltando ao produto de polinômios... Lembre-se... queremos... Obter pares (x 0,y a 0 ),...,(x 2n 2,y a 2n 2 ) e (x 0,y b 0 ),...,(x 2n 2,y b 2n 2 ) onde x i x j para i j, e onde y a i = a(x i) e y b i = b(x i) para i = 0,...,2n 2. Obter pares (x 0,q 0 ),...,(x 2n 2,q 2n 2 ) onde q i = yi a yb i para i = 0,...,2n 2. Determinar q(x) tal que q(x i ) = q i para i = 0,...,2n 2. Primeira etapa: dados vetores a = (a 0,...,a n 1 ) e b = (b 0,...,b n 1 ), estendemos tais vetores adicionando n zeros em cada um, obtendo a = (a 0,...,a 2n 1 ) e b = (b 0,...,b 2n 1 ), e calculamos DFT 2n (a) e DFT 2n (b). Algoritmos p. 11
33 Transformada rápida de Fourier Como calcular a DFT 2n (a) em tempo O(n lg n)? Algoritmos p. 12
34 Transformada rápida de Fourier Como calcular a DFT 2n (a) em tempo O(n lg n)? Por divisão e conquista! Algoritmos p. 12
35 Transformada rápida de Fourier Como calcular a DFT 2n (a) em tempo O(n lg n)? Por divisão e conquista! Considere a 0 (x) = a 0 + a 2 x + a 4 x a 2n 2 x n 1 e Considere a 1 (x) = a 1 + a 3 x + a 5 x a 2n 1 x n 1. Algoritmos p. 12
36 Transformada rápida de Fourier Como calcular a DFT 2n (a) em tempo O(n lg n)? Por divisão e conquista! Considere a 0 (x) = a 0 + a 2 x + a 4 x a 2n 2 x n 1 e Considere a 1 (x) = a 1 + a 3 x + a 5 x a 2n 1 x n 1. Observe que a(x) = a 0 (x 2 ) + xa 1 (x 2 ). Algoritmos p. 12
37 Transformada rápida de Fourier Como calcular a DFT 2n (a) em tempo O(n lg n)? Por divisão e conquista! Considere a 0 (x) = a 0 + a 2 x + a 4 x a 2n 2 x n 1 e Considere a 1 (x) = a 1 + a 3 x + a 5 x a 2n 1 x n 1. Observe que a(x) = a 0 (x 2 ) + xa 1 (x 2 ). Com isso, calcular a(ω2n k ) para k = 0,...,2n 1 reduz-se a calcular a 0 e a 1 em (ω2n k )2 para k = 0,...,2n 1. Algoritmos p. 12
38 Transformada rápida de Fourier Como calcular a DFT 2n (a) em tempo O(n lg n)? Por divisão e conquista! Considere a 0 (x) = a 0 + a 2 x + a 4 x a 2n 2 x n 1 e Considere a 1 (x) = a 1 + a 3 x + a 5 x a 2n 1 x n 1. Observe que a(x) = a 0 (x 2 ) + xa 1 (x 2 ). Com isso, calcular a(ω2n k ) para k = 0,...,2n 1 reduz-se a calcular a 0 e a 1 em (ω2n k )2 para k = 0,...,2n 1. Beleza das raízes da unidade: os quadrados das raízes de ordem 2n são exatamente as raízes de ordem n! Cada raiz de ordem n aparece duas vezes. Algoritmos p. 12
39 Raízes da unidade Propriedades: (ω k+n 2n )2 = ω 2k 2n ω2n 2n = ω2k 2n = (ωk 2n )2 Algoritmos p. 13
40 Raízes da unidade Propriedades: (ω k+n 2n )2 = ω 2k 2n ω2n 2n = ω2k 2n = (ωk 2n )2 ω 2k 2n = e2πi(2k)/(2n) = e 2πik/n = ω k n Algoritmos p. 13
41 Raízes da unidade Propriedades: (ω k+n 2n )2 = ω 2k 2n ω2n 2n = ω2k 2n = (ωk 2n )2 ω 2k 2n = e2πi(2k)/(2n) = e 2πik/n = ω k n ω k+n 2n = ω k 2n Algoritmos p. 13
42 Raízes da unidade Propriedades: (ω k+n 2n )2 = ω 2k 2n ω2n 2n = ω2k 2n = (ωk 2n )2 ω 2k 2n = e2πi(2k)/(2n) = e 2πik/n = ω k n ω k+n 2n = ω k 2n Algoritmo de divisão e conquista para calcular DFT 2n (a): Divisão: Dado a = (a 0,...,a 2n 1 ), calcular a 0 e a 1. Algoritmos p. 13
43 Raízes da unidade Propriedades: (ω k+n 2n )2 = ω 2k 2n ω2n 2n = ω2k 2n = (ωk 2n )2 ω 2k 2n = e2πi(2k)/(2n) = e 2πik/n = ω k n ω k+n 2n = ω k 2n Algoritmo de divisão e conquista para calcular DFT 2n (a): Divisão: Dado a = (a 0,...,a 2n 1 ), calcular a 0 e a 1. Conquista: Recursivamente calcular y 0 = DFT n (a 0 ) e y 1 = DFT n (a 1 ). Algoritmos p. 13
44 Raízes da unidade Propriedades: (ω k+n 2n )2 = ω 2k 2n ω2n 2n = ω2k 2n = (ωk 2n )2 ω 2k 2n = e2πi(2k)/(2n) = e 2πik/n = ω k n ω k+n 2n = ω k 2n Algoritmo de divisão e conquista para calcular DFT 2n (a): Divisão: Dado a = (a 0,...,a 2n 1 ), calcular a 0 e a 1. Conquista: Recursivamente calcular y 0 = DFT n (a 0 ) e y 1 = DFT n (a 1 ). Combinação: Para k = 0,...,n 1, calcular y k = y 0 k + ωk 2n y1 k, e para k = n,...,2n 1, calcular y k = y 0 k n + ωk 2n y1 k n. Algoritmos p. 13
45 Transformada rápida de Fourier DFT (a,n) n é uma potência de 2 1 se n = 1 2 então devolva a 3 a 0 (a 0,a 2,...,a n 2 ) 4 a 1 (a 1,a 3,...,a n 1 ) 5 y 0 DFT (a 0,n/2) 6 y 1 DFT (a 1,n/2) 7 ω n e 2πi/n 8 ω 1 9 para k 0 até n/2 1 faça 10 y k y 0 k + ωy1 k 11 y k+n/2 y 0 k ωy1 k 12 ω ω ω n 13 devolva y Algoritmos p. 14
46 Consumo de tempo O consumo de tempo do algoritmo é dado pela recorrência T(n) = 2T(n/2) + O(n). Portanto é O(n lg n). Algoritmos p. 15
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