Melhores momentos AULA 1. Algoritmos p.38/86
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- Ruth Ferretti
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1 Melhores momentos AULA 1 Algoritmos p.38/86
2 Definições x := inteiro i tal que i x < i + 1 x := inteiro j tal que j 1 < x j Exercício A1.B Mostre que n 1 2 n 2 n 2 e n 2 n 2 n para qualquer inteiro n 1. Algoritmos p.39/86
3 Ordenação por inserção Algoritmo rearranja A[1.. n] em ordem crescente ORDENA-POR-INSERÇÃO (A, n) 1 para j 2 até n faça 2 chave A[j] 3 i j 1 4 enquanto i 1 e A[i] > chave faça 5 A[i + 1] A[i] desloca 6 i i 1 7 A[i + 1] chave insere Algoritmos p.40/86
4 O algoritmo faz o que promete? Correção de algoritmos iterativos e invariantes Relação invariante chave: (i0) na linha 1 vale que: A[1.. j 1] é crescente. 1 j n Supondo que a invariante vale. Correção do algoritmo é evidente! No início da última iteração das linhas 1 7 tem-se que j = n + 1. Da invariante concluí-se que A[1.. n] é crescente. Algoritmos p.41/86
5 Consumo de tempo Se a execução de cada linha de código consome 1 unidade de tempo o consumo total é: linha todas as execuções da linha 1 = n 2 = n 1 3 = n n = (n 1)(n + 2)/ (n 1) = n(n 1)/ (n 1) = n(n 1)/2 7 = n 1 total (3/2)n 2 + (7/2)n 4 Algoritmos p.42/86
6 (3/2)n 2 + (7/2)n 4 versus (3/2)n 2 n (3/2)n 2 + (7/2)n 4 (3/2)n (3/2)n 2 domina os outros termos Algoritmos p.43/86
7 Consumo de tempo Se a execução da linha i consome t i unidades de tempo, para i = 1,..., 7, o consumo totalde tempo é: linha todas as execuções da linha 1 = n t 1 2 = n 1 t 2 3 = n 1 t n = (n 1)(n + 2)/2 t (n 1) = n(n 1)/2 t (n 1) = n(n 1)/2 t 6 7 = n 1 t 7 total ((t 4 + t 5 + t 6 )/2) n 2 + (t 1 + t 2 + t 3 + t 4 /2 t 5 /2 t 6 /2 + t 7 ) n (t 2 + t 3 + t 4 + t 7 ) Algoritmos p.44/86
8 Consumo de tempo linha todas as execuções da linha 1 = n t 1 2 = n 1 t 2 3 = n 1 t n = (n 1)(n + 2)/2 t (n 1) = n(n 1)/2 t (n 1) = n(n 1)/2 t 6 7 = n 1 t 7 total c 2 n 2 + c 1 n + c 0 c 2, c 1, c 0 são constantes que dependem da máquina. n 2 é para sempre! Esta nas entranhas do algoritmo! Algoritmos p.45/86
9 Notação assintótica CLRS 3.1 AU 3.4, p (muito bom!) Algoritmos p.46/86
10 Funções de n 5n 2 9n 4n + 8 n/ n n 3 lg n (= log 2 n) Qual é maior: n 2 9 ou 4n + 8? Algoritmos p.47/86
11 Funções de n 5n 2 9n 4n + 8 n/ n n 3 lg n (= log 2 n) Qual é maior: n 2 9 ou 4n + 8? Depende do valor de n! Algoritmos p.47/86
12 Funções de n 5n 2 9n 4n + 8 n/ n n 3 lg n (= log 2 n) Qual é maior: n 2 9 ou 4n + 8? Depende do valor de n! Qual cresce mais? Algoritmos p.47/86
13 Funções de n 5n 2 9n 4n + 8 n/ n n 3 lg n (= log 2 n) Qual é maior: n 2 9 ou 4n + 8? Depende do valor de n! Qual cresce mais? Comparação assintótica, ou seja, para n ENORME. Algoritmos p.47/86
14 Funções de n 5n 2 9n 4n + 8 n/ n n 3 lg n (= log 2 n) Qual é maior: n 2 9 ou 4n + 8? Depende do valor de n! Qual cresce mais? Comparação assintótica, ou seja, para n ENORME. lg n 2 n + 7 n/ n + 8 5n 2 9n 2 n 3 Algoritmos p.47/86
15 Intuitivamente... Notação O O(f(n)) funções q não crescem mais rápido que f(n) funções menores ou iguais a um múltiplo de f(n) n 2 (3/2)n n 2 n 2 /1000 etc. crescem todas com a mesma velocidade Algoritmos p.48/86
16 Intuitivamente... Notação O O(f(n)) funções q não crescem mais rápido que f(n) funções menores ou iguais a um múltiplo de f(n) n 2 (3/2)n n 2 n 2 /1000 etc. crescem todas com a mesma velocidade n n é O(n 2 ) 33n 2 é O(n 2 ) 9n + 2 é O(n 2 ) 0,00001n 3 200n 2 não é O(n 2 ) Algoritmos p.48/86
17 Definição Sejam T (n) e f(n) funções dos inteiros no reais. Dizemos que T (n) é O(f(n)) se existem constantes positivas c e n 0 tais que T (n) c f(n) para todo n n 0. consumo de tempo acements c f(n) T (n) n 0 tamanho da entrada Algoritmos p.49/86
18 Mais informal T (n) é O(f(n)) se existe c > 0 tal que T (n) c f(n) para todo n suficientemente GRANDE. consumo de tempo acements c f(n) T (n) n 0 tamanho da entrada Algoritmos p.50/86
19 Exemplos T (n) é O(f(n)) lê-se T (n) é O de f(n) ou T (n) é da ordem de f(n) Algoritmos p.51/86
20 Exemplos T (n) é O(f(n)) lê-se T (n) é O de f(n) ou T (n) é da ordem de f(n) Exemplo 1 Se T (n) 500f(n) para todo n 10, então T (n) é O(f(n)). Algoritmos p.51/86
21 Exemplos T (n) é O(f(n)) lê-se T (n) é O de f(n) ou T (n) é da ordem de f(n) Exemplo 1 Se T (n) 500f(n) para todo n 10, então T (n) é O(f(n)). Prova: Aplique a definição com c = 500 e n 0 = 10. Algoritmos p.51/86
22 Exemplos T (n) é O(f(n)) lê-se T (n) é O de f(n) ou T (n) é da ordem de f(n) Exemplo 1 Se T (n) 500f(n) para todo n 10, então T (n) é O(f(n)). Prova: Aplique a definição com c = 500 e n 0 = 10. Exemplo 2 10n 2 é O(n 3 ). Algoritmos p.51/86
23 Exemplos T (n) é O(f(n)) lê-se T (n) é O de f(n) ou T (n) é da ordem de f(n) Exemplo 1 Se T (n) 500f(n) para todo n 10, então T (n) é O(f(n)). Prova: Aplique a definição com c = 500 e n 0 = 10. Exemplo 2 10n 2 é O(n 3 ). Prova: Para n 0, temos que 0 10n 2 10 n 3. Outra prova: Para n 10, temos 0 10n 2 n n 2 = 1 n 3. Algoritmos p.51/86
24 Mais exemplos Exemplo 3 lg n é O(n). Algoritmos p.52/86
25 Mais exemplos Exemplo 3 lg n é O(n). Prova: Para n 1, tem-se que lg n 1 n. Algoritmos p.52/86
26 Mais exemplos Exemplo 3 lg n é O(n). Prova: Para n 1, tem-se que lg n 1 n. Exemplo 4 20n n log n + 5 é O(n 3 ). Algoritmos p.52/86
27 Mais exemplos Exemplo 3 lg n é O(n). Prova: Para n 1, tem-se que lg n 1 n. Exemplo 4 20n n log n + 5 é O(n 3 ). Prova: Para n 1, tem-se que 20n n lg n n n 3 + 5n 3 = 35 n 3. Outra prova: Para n 10, tem-se que 20n 3 +10n lg n+5 20n 3 +n n lg n+n 20n 3 +n 3 +n 3 = 22 n 3. Algoritmos p.52/86
28 Exemplo 5 3 lg n + lg lg n é O(lg n). Mais exemplos ainda Algoritmos p.53/86
29 Mais exemplos ainda Exemplo 5 3 lg n + lg lg n é O(lg n). Prova: Para n 2, tem-se que 3 lg n + lg lg n 3 lg n + lg n = 4 lg n. [Note que lg lg n não é definida para n = 1.] Algoritmos p.53/86
30 Mais exemplos ainda Exemplo 5 3 lg n + lg lg n é O(lg n). Prova: Para n 2, tem-se que 3 lg n + lg lg n 3 lg n + lg n = 4 lg n. [Note que lg lg n não é definida para n = 1.] Exemplo é O(1). Algoritmos p.53/86
31 Mais exemplos ainda Exemplo 5 3 lg n + lg lg n é O(lg n). Prova: Para n 2, tem-se que 3 lg n + lg lg n 3 lg n + lg n = 4 lg n. [Note que lg lg n não é definida para n = 1.] Exemplo é O(1). Prova: Para n 1, tem-se que = n 0 = [Note que n não precisa aparecer, já que estamos lidando com funções constantes.] Algoritmos p.53/86
32 Uso da notação O O(f(n)) = {T (n) : existem c e n 0 tq T (n) cf(n), n n 0 } T (n) é O(f(n)) deve ser entendido como T (n) O(f(n)). T (n) = O(f(n)) deve ser entendido como T (n) O(f(n)). T (n) O(f(n)) é feio. T (n) O(f(n)) não faz sentido! T (n) é g(n) + O(f(n)) significa que existe constantes positivas c e n 0 tais que para todo n n 0. T (n) g(n) + c f(n) Algoritmos p.54/86
33 Nomes de classes O classe nome O(1) constante O(lg n) logarítmica O(n) linear O(n lg n) n log n O(n 2 ) quadrática O(n 3 ) cúbica O(n k ) com k >= 1 polinomial O(2 n ) exponencial[1mm] O(a n ) com a > 1 exponencial Algoritmos p.55/86
34 Exercícios Exercício 2.A Prove que n n + 20 = O(n 2 ) Exercício 2.B Prove que 300 = O(1) Exercício 2.C Prove que n/3 = O(n) É verdade que n = O( n/3 )? Exercício 2.D Prove que lg n = O(log 10 n) Exercício 2.E Prove que n = O(2 n ) Exercício 2.F Prove que lg n = O(n) Exercício 2.G Prove que n/1000 não é O(1) Exercício 2.H Prove que 1 2 n2 não é O(n) Algoritmos p.56/86
35 Mais exercícios Exercício 2.I Suponha T definida para n = 0, 1,... Se T (n) = O(1), mostre que existe c tal que T (n) c para todo n 0. Se T (n) = O(n), mostre que existe c tal que T (n) c n para todo n 1. Exercício 2.J Prove que n n = O(n 2 ). Exercício 2.K Prove que 1 2 n(n + 1) = O(n2 ). Exercício 2.L É verdade que n2 999n 9999 = O(n)? Justifique. Exercício 2.M Suponha que f(n) = n 2 quando n é par e f(n) = n 3 quando n é ímpar. É verdade que f(n) = O(n 2 )? É verdade que f(n) = O(n 3 )? É verdade que n 2 = O(f(n))? É verdade que n 3 = O(f(n))? Algoritmos p.57/86
36 Mais exercícios ainda Exercício 2.N É verdade que n 2 = O(2 n )? Exercício 2.O É verdade que lg n = O( n)? Exercício 2.P Suponha f(n) = 64n lg n e g(n) = 8n 2, com n inteiro positivo. Para que valores de n temos f(n) g(n)? Exercício 2.Q (bom!) Suponha T e f definidas para n = 1, 2,... Mostre que se T (n) = O(f(n)) e f(n) > 0 para n 1 então existe c tal que T (n) c f(n) para todo n 1. Exercício 2.R (bom!) Faz sentido dizer T (n) = O(n 2 ) para n 3? Algoritmos p.58/86
37 Mais exercícios ainda ainda Exercício 2.S É verdade que 2 n = O(n)? É verdade que n = O(lg n)? Justifique. Exercício 2.T É verdade que n + n é O(n)? É verdade que n é O( n)? É verdade que n 2/3 é O( n)? É verdade que n é O(n)? Exercício 2.U É verdade que lg n = O(n 1/2 )? É verdade que n = O(lg n)? É verdade que lg n = O(n 1/3 )? Justifique. (Sugestão: prove, por indução, que lg x x para todo número real x 1.) Exercício 2.V É verdade que lg n = O(lg n)? Algoritmos p.59/86
38 Análise com notação O CLRS AU 3.3, 3.6 (muito bom) Algoritmos p.60/86
39 Ordenação por inserção Algoritmo rearranja A[p.. r] em ordem crescente ORDENA-POR-INSERÇÃO (A, p, r) 1 para j p + 1 até r faça 2 chave A[j] 3 i j 1 4 enquanto i p e A[i] > chave faça 5 A[i + 1] A[i] desloca 6 i i 1 7 A[i + 1] chave insere Quanto tempo o algoritmo consome? Algoritmos p.61/86
40 Ordenação por inserção Algoritmo rearranja A[p.. r] em ordem crescente ORDENA-POR-INSERÇÃO (A, p, r) 1 para j p + 1 até r faça 2 chave A[j] 3 i j 1 4 enquanto i p e A[i] > chave faça 5 A[i + 1] A[i] desloca 6 i i 1 7 A[i + 1] chave insere Quanto tempo o algoritmo consome? Tamanho do problema: n := r p + 1 Algoritmos p.61/86
41 Consumo de tempo linha consumo de todas as execuções da linha 1? 2? 3? 4? 5? 6? 7? total? Algoritmos p.62/86
42 Consumo de tempo linha consumo de todas as execuções da linha 1 O(n) 2 O(n) 3 O(n) 4 no(n) = O(n 2 ) 5 no(n) = O(n 2 ) 6 no(n) = O(n 2 ) 7 O(n) total O(3n 2 + 4n) = O(n 2 ) Algoritmos p.63/86
43 Justificativa Bloco de linhas 4 6 é executado n vezes; cada execução consome O(n); todas juntas consomem no(n). Algoritmos p.64/86
44 Justificativa Bloco de linhas 4 6 é executado n vezes; cada execução consome O(n); todas juntas consomem no(n). Êpa! Quem garante que no(n) = O(n 2 )? Quem garante que O(n 2 ) + O(n 2 ) + O(n 2 ) = O(3n 2 )? Quem garante que O(3n 2 + 4n) = O(n 2 )? Veja exercícios de Mais notação O. Algoritmos p.64/86
45 Justificativa Bloco de linhas 4 6 é executado n vezes; cada execução consome O(n); todas juntas consomem no(n). Êpa! Quem garante que no(n) = O(n 2 )? Quem garante que O(n 2 ) + O(n 2 ) + O(n 2 ) = O(3n 2 )? Quem garante que O(3n 2 + 4n) = O(n 2 )? Veja exercícios de Mais notação O. Conclusão: O algoritmo consome O(n 2 ) unidades de tempo. Notação O cai como uma luva! Algoritmos p.64/86
46 Análise da intercalação Problema: Dados A[p.. q] e A[q+1.. r] crescentes, rearranjar A[p.. r] de modo que ele fique em ordem crescente. Para que valores de q o problema faz sentido? Entra: p q r A Algoritmos p.65/86
47 Análise da intercalação Problema: Dados A[p.. q] e A[q+1.. r] crescentes, rearranjar A[p.. r] de modo que ele fique em ordem crescente. Para que valores de q o problema faz sentido? Entra: p q r A Sai: p q r A Algoritmos p.65/86
48 Intercalação p q r A B Algoritmos p.66/86
49 Intercalação A k i B j Algoritmos p.67/86
50 Intercalação A 11 k i B j Algoritmos p.68/86
51 Intercalação A k i B j Algoritmos p.69/86
52 Intercalação A k i B j Algoritmos p.70/86
53 Intercalação A k i B j Algoritmos p.71/86
54 Intercalação A k i B j Algoritmos p.72/86
55 Intercalação A k i B j Algoritmos p.73/86
56 Intercalação A k B i j Algoritmos p.74/86
57 Intercalação A k i=j B Algoritmos p.75/86
58 Intercalação A j i B Algoritmos p.76/86
59 Intercalação INTERCALA (A, p, q, r) 00 B[p.. r] é um vetor auxiliar 01 para i p até q faça 02 B[i] A[i] 03 para j q + 1 até r faça 04 B[r + q + 1 j] A[j] 05 i p 06 j r 07 para k p até r faça 08 se B[i] B[j] 09 então A[k] B[i] 10 i i senão A[k] B[j] 12 j j 1 Algoritmos p.77/86
60 Consumo de tempo Se a execução de cada linha de código consome 1 unidade de tempo o consumo total é: linha todas as execuções da linha 1? 2? 3? 4? 5? 6? 7? 8? 9 12? total? Algoritmos p.78/86
61 Mais notação assintótica CLRS 3.1 AU 3.5, p Algoritmos p.79/86
62 Exercícios Exercício 4.A Interprete e prove a afirmação O(n 2 ) + O(n 2 ) + O(n 2 ) = O(3n 2 ). Exercício 4.B Interprete e prove a afirmação no(n) = O(n 2 ). Exercício 4.C Interprete e prove a afirmação O(3n 2 + 4n) = O(n 2 ). Exercício 4.D (propriedade transitiva) Suponha T (n) = O(f(n)) e f(n) = O(g(n)). Mostre que T (n) = O(g(n)). Dê um exemplo interessante. Exercício 4.E (regra da soma, caso especial) Suponha que T (n) = O(f(n)) e mostre que T (n) + f(n) = O(f(n)). Dê um exemplo interessante. Exercício 4.E (regra da soma, geral) Suponha T 1 (n) = O(f 1 (n)) e T 2 (n) = O(f 2 (n)). Se f 1 (n) = O(f 2 (n)), mostre que T 1 (n) + T 2 (n) = O(f 2 (n)). Algoritmos p.80/86
63 Mais exercícios Exercício 4.F O que significa T (n) = n 2 + O(n)? Mostre que se T (n) = n 2 + O(n) então T (n) = O(n 2 ). Exercício 4.G O que significa T (n) = no(lg n)? Mostre que T (n) = no(lg n) se e só se T (n) = O(n lg n). Exercício 4.H Interprete e prove a afirmação 7 O(n) = O(n). Exercício 4.I Interprete e prove a afirmação O(n) + O(n) = O(n). Exercício 4.J Prove que O(n) = O(n 2 ). É verdade que O(n 2 ) = O(n)? Exercício 4.K Interprete e prove a afirmação (n + 2) O(1) = O(n). Algoritmos p.81/86
64 Mais exercícios ainda Exercício 4.L Interprete e prove a afirmação O(1) + + O(1) }{{} n+2 Exercício 4.M Prove que O(1) + O(1) + O(1) = O(1). É verdade que O(1) = O(1) + O(1) + O(1)? = O(n). Exercício 4.N Interprete e prove a afirmação O(f) + O(g) = O(f + g). Algoritmos p.82/86
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