Projeto e Análise de Algoritmos

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1 Projeto e Análise de Algoritmos Conceitos básicos Metodo de provas: Indução Diane Castonguay diane@inf.ufg.br Instituto de Informática Universidade Federal de Goiás

2 Notações = para todo = existe! = único = produto = soma = implica = se e somente se = divide tq = tal que

3 Notações N = conjunto dos inteiros naturais = {0, 1, 2,...} Z = conjunto dos inteiros = {0, ±1, ±2,...} Q = conjunto dos números racionais = {x : a, b Z, (b 0) tal que x=a b} = {x : a, b Z, (b 0) tal que bx=a} R = conjunto dos números reais N * = conjunto dos naturais positivos = {1, 2,...} R + = conjunto dos números reais não-negativos = { x R : x 0}

4 Funções: Pisos e Tetos Seja x R. Denotamos o maior inteiro menor que ou igual a x por x (piso) e o menor inteiro maior que ou igual a x por x (teto). x-1 < x x x < x+1

5 Funções: Pisos e Tetos Propriedades Seja n Z. n/2 + n/2 = n Sejam x R +, a, b N *. n/a /b = n/ab n/a /b = n/ab a/b (a + (b-1))/b a/b (a - (b-1))/b

6 Funções: Aritmética modular Teorema: Sejam a Z e n N *.! q Z e r N, 0 r < n tais que a = qn + r, O quociente da divisão de a por n, q, é o piso de a/n. Notação: a div n = q = a/n O resto da divisão de a por n, r, é dado por a- a/n *n Notação: a mod n = r = a- a/n *n

7 Funções: Fatoriais Definição recursiva de n! 0! = 1 (n+1)! = (n+1)*n! para n 0 Exemplo 3! = 3*2! = 3*2*1! = 3*2*1*0! = 3*2*1*1 3! = 6

8 Funções: Exponenciais Para todos os valores a 0, m, n reais, temos as seguintes identidades a 0 = 1 a 1 = a a -1 = 1/a (a m ) n = a mn = (a n ) m a m a n = a m+n

9 Funções: Exponenciais e x =1 x x 2 2! x3 3!...= i=0 Temos que: e x 1+x para x 1, 1+x e x 1+x+x 2 e x =1+x+ (x 2 ) lim n 1 x n n =e x x i i!

10 Funções: Logaritmos Notações lg n = log 2 n (logaritmo binário) ln n = log e n (logaritmo natural) lg k n = (lg n) k (exponenciação) lg lg n = lg(lg n) (composição)

11 Funções: Logaritmos Notações { n se i = 0 lg (i) n = lg(lg (i-1) n) se i > 0 e lg (i-1) n > 0 indefinido se i > 0 e lg (i-1) n < 0 ou lg (i-1) n é indefinido lg * n = min{i 0 : lg (i) n 1} (log estrela)

12 Funções: Logaritmos Propriedades Para todo a > 0, b > 0, c > 0 e n a = b log a b log c (ab) = log c a + log c b log b a n = n log b a log b a = log c a /log c b a log b n = n log b a

13 Funções: Somatórias n i=1 i 2 i = n 1 2 k 1 2, para k 1 n H n = i=1 1 i H n é o k ésimo número harmonico ln n H n 1 ln n n i=1 H i = n 1 H n n

14 Funções: Somatórias n = j=1 Expandindo e Contraindo Somas n S 2 = k =1 n n 1 j 1 j 2 n k 2 = j=1 n k= j n = 1 2 j=1 k n n n 1 j=1 j j 2 S 2 = 1 2 n n 1 2 n S 2 S 2 = 1 6 n 2n 1 n 1

15 Funções: Somatórias Dividindo as Somas n k=n 0 n k 2 = k=1 n 0 1 k 2 k=1 = 1 6 n 2n 1 n n n n 0 = 1 6 [ n n 1 2n 1 n 0 n n 0 1 ] k 2

16 Notação Assintótica: Definição O Sejam f, g : R R (ou N N) duas funções. Dizemos que: f(n) О(g(n)) se exitem duas constantes positivas c, n 0 > 0 tais que f(n) c g(n) n n 0.

17 Notação Assintótica: Definição Sejam f, g : R R (ou N N ) duas funções. Dizemos que: f(n) (g(n)) se exitem duas constantes positivas c, n 0 > 0 tais que c g(n) f(n) n n 0.

18 Notação Assintótica: Definição Sejam f, g : R R (ou N N ) duas funções. Dizemos que: f(n) (g(n)) se f(n) О(g(n)) e f(n) (g(n)) Notação: Por abuso de linguagem, dizemos que f(n) = (g(n))

19 Notação Assintótica: Polinômios Um polinômio em n de grau d é dado da forma d P n = i=0 a i n i, a d 0 Observação: P(n) = (n d ) Dizemos que uma função é limitada polinomialmente se f(n) = O(n k ) para alguma constante k

20 Notação Assintótica: Polinômios e Exponenciais Para todas constantes reais a e b, a >1, temos lim n n b a n =0 Conclusão n b = O(a n )

21 Notação Assintótica: Fatorial e log n! = O(n n ) n! = (2 n ) log(n!) = (n log n) para qualquer a > 0. lg n = O(n a ) lg k n = (lg n) k = O(n a ) para qualquer k

22 Notação Assintótica: Somatórias Dividindo as Somas n k=n 0 n k 2 = k=1 n 0 1 k 2 k=1 = 1 6 n 2n 1 n n n n 0 k 2 = 1 6 [ n n 1 2n 1 n 0 n n 0 1 ]

23 Metodos de provas: p q Prova direita p q Prova por contraposição p q Prova por contradição ( p q )

24 Metodos de provas Prova por Construção Contre-exemplo Prova por casos INDUÇÃO

25 Prova direita: p q Teorema Sejam f, g, h : R R (ou N N) três funções. Se f(n) О(g(n)) e g(n) О(h(n)) então f(n) О(h(n)) Prova feita em sala de aula.

26 Prova por contraposta: p q Reformulação du Teorema Sejam f, g, h : R R (ou N N) três funções. Se f(n) О(h(n)) então f(n) О(g(n)) OU g(n) О(h(n))

27 Prova por contradição: (p q) Teorema: O número 2 é irracional Prova feita em sala de aula.

28 Prova por Construção Teorema Existem s e t dois inteiros tais que 5s+7t=1.

29 Contre-exemplo Afirmação falsa Sejam f, g: R R (ou N N) duas funções. Se f(n) О(g(n)) então g(n) О(f(n)). Prova feita em sala de aula.

30 Prova por casos max(a, b) a

31 Prova por Indução Problema: Seja P uma propriedade. Queremos ver que P(n) é verdadeira para todo os inteiros naturais n.

32 Prova por Indução BASE Prove que P(1) é verdadeira HIPOTESIS DE INDUÇÃO Suponha que P(k) é verdadeiro para algum PASSO DE INDUÇÃO Mostre que P(k+1) é verdadeira

33 INDUÇÃO Teorema Seja n um inteiro positivo então n < 2 n.

34 Corolario lg n o(n) provar por contradição que n O(lg n)

35 /* * Ordena um vetor. * O comprimento do vetor é denotado por comprimento[a]. */ INSERTION-SORT(A) 1. para j 2 até comprimento[a] faça 2. chave A[j] 3. // Inserir A[j] na seqüência ordenada A[1..j-1] 4. i j-1 5. enquanto i > 0 e A[i] > chave faça 6. A[i+1] A[i] 7. i i-1 8. fim-enquanto 9. A[i+1] chave 10. fim-para

36 Linha Custo Vezes 1. para j 2 até n c1 n 2. chave A[j] c2 n-1 3. // Comentário 0 n-1 4. i j-1 c4 n-1 5. enquanto i > 0 e A[i] > chave faça c5 j t j 6. A[i+1] A[i] 7. i i-1 c6 c7 j (t j -1) 8. fim-enquanto 0 j t j 9. A[i+1] chave c9 n fim-para 0 n-1

37 SELEÇÃO-SORT(A) 1. para i 1 até comprimento[a]-1 faça 2. //achamos o iesimo menor valor do vetor 3. menor i 4. para j i+1 até comprimento[a] faça 5. se V[j] < V[menor] 6. então menor j 7. fim-se 8. fim-para 9. se menor i 10. //trocamos os valores de V[menor] e V[i] 11. então aux V[menor] 12. V[menor] V[i] 13. V[i] aux 14. fim-se 15. fim-para

38 BOLHA(A) 1. para i 1 até comprimento[a]-1 faça 2. para j 1 até comprimento[a]-i faça 3. se A[j] > A[j+1]) 4. //troca A[j] com A[j+1] 5. então aux A[j] 6. A[j] A[j+1] 7. A[j+1] aux 8. fim-se 9. fim-para 10. fim-para

39 BOLHA-MELHOR(A) 1. ultimatroca comprimento[a] 2. troca 1 3. enquanto ultimatroca > 1 faça 2. para j 1 até ultimatroca-1 faça 3. se A[j] > A[j+1] 4. //troca A[j] com A[j+1] 5. então aux A[j] 6. A[j] A[j+1] 7. A[j+1] aux 8. troca j 8. fim-se 9. fim-para 10. ultimatroca troca 11. troca fim-enquanto