Análise de Algoritmos
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- Maria Eduarda Faria
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1 Algoritmos p. 1/28 Análise de Algoritmos Parte destes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina.
2 Algoritmos p. 2/28 Análise de Algoritmos CLRS 7 Essas transparências foram adaptadas das transparências do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina.
3 Algoritmos p. 3/28 Partição Problema: Rearranjar um dado vetor A[p..r] e devolver um índice q tal que p q r e A[p..q 1] A[q] < A[q +1..r] Entra: p A r
4 Algoritmos p. 3/28 Partição Problema: Rearranjar um dado vetor A[p..r] e devolver um índice q tal que p q r e A[p..q 1] A[q] < A[q +1..r] Entra: p A r Sai: p q r A
5 Algoritmos p. 4/28 Particione p r A
6 Algoritmos p. 4/28 Particione A
7 Algoritmos p. 4/28 Particione A
8 Algoritmos p. 4/28 Particione A A
9 Algoritmos p. 4/28 Particione A A A
10 Algoritmos p. 4/28 Particione A A A
11 Algoritmos p. 4/28 Particione A A A
12 Algoritmos p. 4/28 Particione A A A A
13 Algoritmos p. 4/28 Particione A A A A A
14 Algoritmos p. 4/28 Particione A A A A i j x A
15 Algoritmos p. 4/28 Particione A A A A i j A
16 Algoritmos p. 4/28 Particione A A A A i j A p q r A
17 Algoritmos p. 5/28 Particione Rearranja A[p..r] de modo que p q r e A[p..q 1] A[q] < A[q+1..r] PARTICIONE (A, p, r) 1 x A[r] x é o pivô 2 i p 1 3 para j p até r 1 faça 4 se A[j] x 5 então i i+1 6 A[i] A[j] 7 A[i+1] A[r] 8 devolva i+1 Invariantes: no começo de cada iteração de 3 6, (i0) A[p..i] x (i1) A[i+1..j 1] > x (i2) A[r] = x
18 Algoritmos p. 6/28 Consumo de tempo Quanto tempo consome em função de n := r p+1? linha consumo de todas as execuções da linha 1-2 = 2Θ(1) 3 = Θ(n) 4 = Θ(n) 5-6 = 2O(n) 7-8 = 2Θ(1) Conclusão: total = Θ(2n+4)+O(2n) = Θ(n) O algoritmo PARTICIONE consome tempo Θ(n).
19 Algoritmos p. 7/28 Quicksort Rearranja A[p.. r] em ordem crescente. QUICKSORT (A, p, r) 1 se p < r 2 então q PARTICIONE(A,p,r) 3 QUICKSORT(A,p,q 1) 4 QUICKSORT(A,q +1,r) p A r
20 Algoritmos p. 8/28 Quicksort Rearranja A[p.. r] em ordem crescente. QUICKSORT (A, p, r) 1 se p < r 2 então q PARTICIONE(A,p,r) 3 QUICKSORT(A,p,q 1) 4 QUICKSORT(A,q +1,r) p q r A No começo da linha 3, A[p..q 1] A[q] A[q+1..r]
21 Algoritmos p. 9/28 Quicksort Rearranja A[p.. r] em ordem crescente. QUICKSORT (A, p, r) 1 se p < r 2 então q PARTICIONE(A,p,r) 3 QUICKSORT(A,p,q 1) 4 QUICKSORT(A,q +1,r) p q r A
22 Algoritmos p. 10/28 Quicksort Rearranja A[p.. r] em ordem crescente. QUICKSORT (A, p, r) 1 se p < r 2 então q PARTICIONE(A,p,r) 3 QUICKSORT(A,p,q 1) 4 QUICKSORT(A,q +1,r) p q r A
23 Algoritmos p. 11/28 Quicksort Rearranja A[p.. r] em ordem crescente. QUICKSORT (A, p, r) 1 se p < r 2 então q PARTICIONE(A,p,r) 3 QUICKSORT(A,p,q 1) 4 QUICKSORT(A,q +1,r) No começo da linha 3, Consumo de tempo? A[p..q 1] A[q] A[q+1..r]
24 Algoritmos p. 11/28 Quicksort Rearranja A[p.. r] em ordem crescente. QUICKSORT (A, p, r) 1 se p < r 2 então q PARTICIONE(A,p,r) 3 QUICKSORT(A,p,q 1) 4 QUICKSORT(A,q +1,r) No começo da linha 3, Consumo de tempo? A[p..q 1] A[q] A[q+1..r] T(n) := consumo de tempo no pior caso sendo n := r p+1
25 Algoritmos p. 12/28 Consumo de tempo Quanto tempo consome em função de n := r p+1? linha consumo de todas as execuções da linha 1 =? 2 =? 3 =? 4 =? total =????
26 Algoritmos p. 13/28 Consumo de tempo Quanto tempo consome em função de n := r p+1? linha consumo de todas as execuções da linha 1 = Θ(1) 2 = Θ(n) 3 = T(k) 4 = T(n k 1) total = T(k)+T(n k 1)+Θ(n+1) 0 k := q p n 1
27 Algoritmos p. 14/28 Recorrência T(n) := consumo de tempo máximo quando n = r p+1 T(n) = T(k)+T(n k 1)+Θ(n)
28 Algoritmos p. 14/28 Recorrência T(n) := consumo de tempo máximo quando n = r p+1 T(n) = T(k)+T(n k 1)+Θ(n) Recorrência grosseira: T(n) é Θ(???). T(n) = T(0)+T(n 1)+Θ(n)
29 Algoritmos p. 14/28 Recorrência T(n) := consumo de tempo máximo quando n = r p+1 T(n) = T(k)+T(n k 1)+Θ(n) Recorrência grosseira: T(n) = T(0)+T(n 1)+Θ(n) T(n) é Θ(n 2 ). Demonstração:... Exercício!
30 Algoritmos p. 15/28 Recorrência cuidadosa T(n) := consumo de tempo máximo quando n = r p+1 T(n) = max {T(k)+T(n k 1)}+Θ(n) 0 k n 1
31 Algoritmos p. 15/28 Recorrência cuidadosa T(n) := consumo de tempo máximo quando n = r p+1 T(n) = max {T(k)+T(n k 1)}+Θ(n) 0 k n 1 Versão simplificada: T(0) = 1 T(1) = 1 T(n) = max {T(k)+T(n k 1)}+n para n = 2,3,4,... 0 k n 1 n T(n)
32 Algoritmos p. 15/28 Recorrência cuidadosa T(n) := consumo de tempo máximo quando n = r p+1 T(n) = max {T(k)+T(n k 1)}+Θ(n) 0 k n 1 Versão simplificada: T(0) = 1 T(1) = 1 T(n) = max {T(k)+T(n k 1)}+n para n = 2,3,4,... 0 k n 1 n T(n) Vamos mostrar que T(n) n 2 +1 para n 0.
33 Algoritmos p. 16/28 Demonstração Prova: Trivial para n 1. Se n 2 então { T(n) = hi max 0 k n 1 max 0 k n 1 { T(k)+T(n k 1) } +n k 2 +1+(n k 1) 2 +1 } +n = = n 2 n+3 n Prove que T(n) 1 2 n2 para n 1.
34 Algoritmos p. 17/28 Algumas conclusões T(n) é Θ(n 2 ). O consumo de tempo do QUICKSORT no pior caso é O(n 2 ). O consumo de tempo do QUICKSORT é O(n 2 ).
35 Algoritmos p. 18/28 Quicksort no melhor caso M(n) := consumo de tempo mínimo quando n = r p+1 M(n) = min {M(k)+M(n k 1)}+Θ(n) 0 k n 1
36 Algoritmos p. 18/28 Quicksort no melhor caso M(n) := consumo de tempo mínimo quando n = r p+1 M(n) = min {M(k)+M(n k 1)}+Θ(n) 0 k n 1 Versão simplificada: M(0) = 1 M(1) = 1 M(n) = min {M(k)+M(n k 1)}+n para n = 2,3,4,... 0 k n 1
37 Algoritmos p. 18/28 Quicksort no melhor caso M(n) := consumo de tempo mínimo quando n = r p+1 M(n) = min {M(k)+M(n k 1)}+Θ(n) 0 k n 1 Versão simplificada: M(0) = 1 M(1) = 1 M(n) = min {M(k)+M(n k 1)}+n para n = 2,3,4,... 0 k n 1 Mostre que M(n) (n+1)lg(n+1) para n 1.
38 Algoritmos p. 18/28 Quicksort no melhor caso M(n) := consumo de tempo mínimo quando n = r p+1 M(n) = min {M(k)+M(n k 1)}+Θ(n) 0 k n 1 Versão simplificada: M(0) = 1 M(1) = 1 M(n) = min {M(k)+M(n k 1)}+n para n = 2,3,4,... 0 k n 1 Mostre que M(n) (n+1)lg(n+1) para n 1. Isto implica que no melhor caso o QUICKSORT é Ω(nlgn),
39 Algoritmos p. 18/28 Quicksort no melhor caso M(n) := consumo de tempo mínimo quando n = r p+1 M(n) = min {M(k)+M(n k 1)}+Θ(n) 0 k n 1 Versão simplificada: M(0) = 1 M(1) = 1 M(n) = min {M(k)+M(n k 1)}+n para n = 2,3,4,... 0 k n 1 Mostre que M(n) (n+1)lg(n+1) para n 1. Isto implica que no melhor caso o QUICKSORT é Ω(nlgn), que é o mesmo que dizer que o QUICKSORT é Ω(nlgn).
40 Algoritmos p. 19/28 Mais algumas conclusões M(n) é Θ(nlgn). O consumo de tempo do QUICKSORT no melhor caso é Ω(nlogn). Na verdade... O consumo de tempo do QUICKSORT no melhor caso é Θ(nlogn).
41 Algoritmos p. 20/28 Análise de caso médio do Quicksort Apesar do consumo de tempo de pior caso do QUICKSORT ser Θ(n 2 ), sua performance na prática é comparável (e em geral melhor) a de outros algoritmos cujo consumo de tempo no pior caso é O(nlgn). Por que isso acontece?
42 Algoritmos p. 21/28 Exercício Considere a recorrência T(1) = 1 T(n) = T( n/3 )+T( 2n/3 )+n para n = 2,3,4,... Solução assintótica: T(n) é O(???), T(n) é Θ(???)
43 Algoritmos p. 21/28 Exercício Considere a recorrência T(1) = 1 T(n) = T( n/3 )+T( 2n/3 )+n para n = 2,3,4,... Solução assintótica: T(n) é O(???), T(n) é Θ(???) Vamos olhar a árvore da recorrência.
44 Algoritmos p. 22/28 Árvore da recorrência n n 3 2n 3 n 9 2n 9 2n 9 4n 9 4n 27 4n 27 8n 27 total de níveis log 3/2 n
45 Algoritmos p. 23/28 Árvore da recorrência soma em cada horizontal n número de níveis log 3/2 n T(n) = a soma de tudo T(n) n log 3/2 n }{{} log 3/2 n T(n) é O(nlgn).
46 Algoritmos p. 24/28 De volta a recorrência T(1) = 1 T(n) = T( n/3 )+T( 2n/3 )+n para n = 2,3,4,... n T(n) = = = 12
47 Algoritmos p. 24/28 De volta a recorrência T(1) = 1 T(n) = T( n/3 )+T( 2n/3 )+n para n = 2,3,4,... n T(n) = = = 12 Vamos mostrar que T(n) 20nlgn para n = 2,3,4,5,6,...
48 Algoritmos p. 24/28 De volta a recorrência T(1) = 1 T(n) = T( n/3 )+T( 2n/3 )+n para n = 2,3,4,... n T(n) = = = 12 Vamos mostrar que T(n) 20nlgn para n = 2,3,4,5,6,... Para n = 2 temos T(2) = 4 < 20 2 lg2. Para n = 3 temos T(3) = 8 < 20 3 lg3. Suponha agora que n > 3. Então...
49 Algoritmos p. 25/28 Continuação da prova T(n) = T( n 3 )+T( 2n 3 )+n hi 20 n 3 lg n n 3 lg 2n 3 +n 20 n+2 3 < 20 n+2 3 = 20 n+2 3 lg n n 3 lg 2n 3 +n (lg n 3 +1)+202n 3 lg 2n 3 +n lg 2n n 3 lg 2n 3 +n = 20 n 3 lg 2n lg 2n n 3 lg 2n 3 +n
50 Algoritmos p. 26/28 Continuação da continuação da prova < 20nlg 2n 3 +14lg 2n 3 +n = 20nlgn+20nlg lgn+14lg 2 3 +n < 20nlgn+20n( 0.58)+14lgn+14( 0.58)+n < 20nlgn 11n+14lgn 8+n = 20nlgn 10n+14lgn 8 < 20nlgn 10n+7n 8 < 20nlgn Iiiéééééssss!
51 Algoritmos p. 27/28 De volta à intuição Certifique-se que a conclusão seria a mesma qualquer que fosse a proporção fixa que tomássemos. Por exemplo, resolva o seguinte...
52 Algoritmos p. 27/28 De volta à intuição Certifique-se que a conclusão seria a mesma qualquer que fosse a proporção fixa que tomássemos. Por exemplo, resolva o seguinte... Exercício: Considere a recorrência T(1) = 1 T(n) = T( n/10 )+T( 9n/10 )+n para n = 2,3,4,... e mostre que T(n) é O(nlgn).
53 Algoritmos p. 27/28 De volta à intuição Certifique-se que a conclusão seria a mesma qualquer que fosse a proporção fixa que tomássemos. Por exemplo, resolva o seguinte... Exercício: Considere a recorrência T(1) = 1 T(n) = T( n/10 )+T( 9n/10 )+n para n = 2,3,4,... e mostre que T(n) é O(nlgn). Note que, se o QUICKSORT fizer uma boa partição a cada, digamos, 5 níveis da recursão, o efeito geral é o mesmo, assintoticamente, que ter feito uma boa partição em todos os níveis.
54 Algoritmos p. 28/28 Outros comentários Espaço extra consumido pelo mergesort Espaço extra consumido pelo quicksort: recursão de cauda Espaço extra consumido pelo heapsort
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