Respostas de Exercícios Propostos

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1 Respostas de Exercícios Propostos Capítulo 1: 1 a) Não é associativa É comutativa ( ) x+y x + y 2 + z (x y) z z x + y + 2z ( ) y + z x (y z) x x + x+y 2 2x + y + z x y x + y y + x y x 2 2 b) Não é associativa Não é comutativa (x y) z (x+xy) z x+xy +(x+xy)z x+xy +xz +xyz x (y z) x (y + yz) x + x(y + yz) x + xy + xyz x y x + xy y + yx y x c) Não é associativa Não é comutativa ( ) x x y (x y) z z y z x yz ( y ) x (y z) x x y xz z z y x y x y y x y x d) Não é associativa É comutativa (x y) z (x 2 + y 2 ) z (x 2 + y 2 ) 2 + z 2 x (y z) x (y 2 + z 2 ) x 2 + (y 2 + z 2 ) 2 x y x 2 + y 2 y 2 + x 2 y x 2 a) É associativa É comutativa [(a, b) (x, y)] (z, w) (ax, 0) (z, w) (axz, 0) (a, b) [(x, y) (z, w)] (a, b) (xz, 0) (axz, 0) (a, b) (x, y) (ax, 0) (xa, 0) (x, y) (a, b) b) É associativa É comutativa [(a, b) (x, y)] (z, w) (a+x, b+y) (z, w) (a+x+z, b+y+w) (a, b) [(x, y) (z, w)] (a, b) (x+z, y+w) (a+x+z, b+y+w) (a, b) (x, y) (a + x, b + y) (x + a, y + b) (x, y) (a, b)

2 c) É associativa É comutativa [(a, b) (x, y)] (z, w) (a + x, by) (z, w) (a + x + z, byw) (a, b) [(x, y) (z, w)] (a, b) (x + z, y + w) (a + x + z, byw) (a, b) (x, y) (a + x, by) (x + a, yb) (x, y) (a, b) d) É associativa É comutativa [(a, b) (x, y)] (z, w) (ax by, ay + bx) (z, w) ([ax by]z [ay + bx]w, [ax by]w + [ay + bx]z) (a, b) [(x, y) (z, w)] (a, b) (xz yw, xw + yz) (a[xz yw] b[xw + yz], a[xw + yz] + b[xz yw]) (a, b) (x, y) (ax by, ay + bx) (x, y) (a, b) (xa yb, xb + ya) 3 a) Para quaisquer x, y, z Z, a operação será associativa se: Daí concluímos que: x (y z) (x y) z x (my + nz) (mx + ny) z mx + n(my + nz) m(mx + ny) + nz mx + nmy + n 2 z m 2 x + mny + nz m m 2, nm nm, n 2 n Logo, m 0 ou m 1 e n 0 ou n 1 b) Para quaisquer x, y Z a operação será comutativa: x y y x mx + ny my + nx Logo, m e n podem ser quaisquer inteiros tal que m n 4 f 3 (x) (f f f)(x) f(f(f(x))), ou seja, f(f(f(x))) f(f(2x + 3)) f(2(2x + 3) + 3) f(4x + 9) 2(4x + 9) 8x a) É associativa (x y) z x + y z (x + y) + z x (y z) x y + z x + (y + z) (x + y) + z

3 b) É comutativa x y xy yx y x 6 É associativa (a, b, c) [(x, y, z) (w, t, k)] (a, b, c) (xw, yt, zk) (axw, byt, czk) [(a, b, c) (x, y, z)] (w, t, k) (ax, by, cz) (w, t, k) (axw, byt, czk) 7 É associativa Não é comutativa ([ ] [ ]) [ ] [ [ a b e c d g h k l f i j (ae + bg) (ce + dg) (aei + bgi + afk + bhk) (aej + bgj + afl + bhl) (cei + dgi + cfk + dhk) (cej + dgj + cfl + dhl) (af + bh) (cf + dh) ] ] [ i k j l ] [ a c [ b d ] ([ e f g h ] [ i k (aei + bgi + afk + bhk) (cei + dgi + cfk + dhk) j l ]) [ a b c d ] [ (aej + bgj + afl + bhl) (cej + dgj + cfl + dhl) (ei + fk) (gi + hk) ] (ej + fl) (gj + hl) ] a c b d e g f h ae + bg ce + dg af + bh cf + dh e g f h a c b d ea + fc ga + hc eb + fd gb + hd 8 Observe que 1, 2 Z +, mas / Z + 9 Sejam A 1 0, B 1 0, C D e i) G é fechado, pois: AA A, AB BA B, AC CA C, AD DA D,BB A, BC CB D, BD DB C, CC A, CD DC B, DD A

4 ii) Já é fato que a multiplicação de matrizes usual é associativa X, Y, Z G (XY )Z X(Y Z) iii) Sendo A a matriz identidade, A é o elemento neutro de G iv) Toda matriz em G é inversa dela mesma, isto porque: AA A, BB A, CC A e DD A 10 Por definição, o inversode A é uma matriz A 1 GL 2 (R) tal que A 1 A I 2, onde I Logo, sendo A 1 x y z w temos: x o que nos leva a: z y w x 2y z 2w x 5y 3z 5w ,, donde segue os sistemas: x 2y 1 3x 5y 0 e z 2w 0 3z 5w 1 Cuja solução é x 5, y 3, z 2 e w 1 Portanto, o inverso da matriz A 1 3 é a matriz A A prova se dará por indução em n BI - Para n 1 temos: (ab) 1 ab a 1 b 1 Portanto, a igualdade é verdadeira para n 1 HI - Suponha que a igualdade seja verdadeira para n k, ou seja, (ab) k a k b k

5 PI - Vamos verificar se a igualdade é também verdadeira para n k + 1, ou seja, vamos verificar se Temos então que: (ab) k+1 a k+1 b k+1 (ab) k+1 (ab) k ab HI a k b k ab abeliano a k ab k b a k+1 b k+1 Logo, a igualdade é verdadeira para n k+1 e, consequentemente, a igualdade é verdadeira para todo a, b G e para todo n N 12 Suponhamos que para todo x G tem-se x 2 e, ou seja, xx e Como o elemento inverso é único, vem que x x 1 Sendo assim, para todo a, b G temos a a 1 e b b 1 Logo, como ab G, temos: (ab) 2 e ab (ab) 1 b 1 a 1 ba Portanto, G é abeliano 13 Claramente x b a 1 é uma solução da equação x a b, pois, (b a 1 ) a b (a 1 a) b e b Por outro lado, se x 0 é uma solução da equação, então x 0 a b Donde obtemos, x 0 x 0 e x 0 (a a 1 ) (x 0 a) a 1 b a 1 Logo, x a b possui uma única solução em G, que é x b a 1 14 Se (ab) 2 a 2 b 2 para todo a, b G, então G é abeliano De fato: (ab) 2 a 2 b 2 abab aabb a 1 abab a 1 aabb bab abb babb 1 abbb 1 ba ab 15 i) R é fechado segundo a operação, pois, para todo a, b R: a b a + b 3 R

6 ii) A operação é associativa De fato, para todo a, b, c R: a (b c) a (b + c 3) a + (b + c 3) 3 a + b + c 6 (a b) c (a + b 3) c (a + b 3) + c 3 a + b + c 6 iii) Verifiquemos se existe elemento neutro em R, com relação à operação Para todo a R temos: a e a a + e 3 a e 3 Portanto, o elemento neutro existe e é igual a 3 iv) Verifiquemos se existe elemento inverso em R, com relação à operação Para todo a R temos: a a 1 e a + a a 1 6 a Portanto, todo elemento a R possui elemento inverso em R, o qual é dado por a 1 6 a v) R é abeliano segundo a operação De fato, sendo a, b R: a b a + b 3 b + a 3 b a Potanto, (R, ) é um grupo abeliano 16 Sejam u, v, w R 2 tal que u (a, b), v (x, y), w (s, t) Então: i) O conjunto (R 2, +) é fechado, pois, u+v (x+a, y +b) R 2 ii) A soma de vetores usual é associativa u + (v + w) (a, b) + ((x, y) + (s, t)) iii) Seja e R 2 tal que e (x, y) (a, b) + (x + s, y + t) (a + (x + s), b + (y + t)) ((a + x) + s, (b + y) + t) (a + x, b + y) + (s, t) ((a, b) + (x, y)) + (s, t) (u + v) + w u+e u (a, b)+(x, y) (a, b) (a+x, b+y) (a, b) Logo, a + x a e b + y b, o que nos leva a x 0 e y 0, ou seja, e (0, 0)

7 iv) Seja u 1 R 2 tal que u 1 (x, y) u+u 1 e (a, b)+(x, y) (0, 0) (a+x, b+y) (0, 0) Logo, a + x 0 e b + y 0, o que nos leva a x a e y b, ou seja, u 1 ( a, b) ( ) ( ) ( ) 17 a) φ 2 φφ x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 3 e ( ) ( ) ( ) ( ) b) ψ 3 c) Como o elemento inverso é único e ψ 3 ψ 2 ψ e, vem que ψ 1 ψ 2 d) φψ ψ 1 φ De fato, sendo ψ 1 ψ 2, temos: ( ) ( ) ( ) ψ 1 x 2 x 1 x 3 x 3 x 2 x 1 ( ) ( ) ( ) φψ x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 ( ) ( ) ( ) ψ 1 φ x 3 x 2 x 1 x 1 x 3 x 2 18 T a é injetora, pois, sendo x, y G: T a (x) T a (y) ax ay x y T a é sobrejetora De fato, para todo y G: Portanto, T a é bijetora T a (x) y ax y x a 1 y 19 Mostremos que Q 8 é um grupo Primeiramente, note que a operação considerada sobre Q 8 é a multiplicação e, consequentemente, 1 é o elemento neutro de Q 8 Também, por hipótese, as propriedades apresentadas mostram que Q 8 é fechado, ou seja, para todo a, b Q 8 implica que ab Q 8 É fácil ver que a propriedade associativa é verdadeira, e das igualdades i 2 1, j 2 1 e k 2 1 podemos concluir que i 1 i, j 1 j e k 1 k Além disso, ( 1) 1 1 Portanto, Q 8 é um grupo

8 20, 21 Por simplicidade, tratemos o caso geral Para qualquer natural n 3, o conjunto D n é o conjunto de todas as simetrias do polígono regular P de n lados Em outras palavras, fixado o polígono regular P de n lados, D n é o conjunto das bijeções de R 2 em R 2 que deixam P invariante, ou seja, D n {φ : R 2 R 2 φ é uma bijeção e φ(p) P} O conjunto D n é um grupo com relação à composição de funções, e é chamado de Grupo Diedral de Ordem n De fato: i) Como a composição de funções bijetoras ainda é uma função bijetora, D n é fechado ii) Naturalmente, a composição de funções é associativa iii) A função identidade i R 2 : R 2 R 2 é uma bijeção tal que i R 2(P) P Logo, e i R 2 D n iv) Se φ D n, então φ é uma bijeção e, portanto, φ é invertível, ou seja, φ possui elemento inverso, que é a função inversa φ 1 Na verdade, as bijeções de R 2 em R 2 que deixam o polígono regular P de n lados invariante, são somente as rotações e reflexões de P, que denotamos respectivamente por r e s Sendo assim, D n é constituído por exatamente n rotações distintas de P, que são e, r, r 2,, r n 1, uma vez que, obviamente, após efetuarmos n rotações do polígono regular P de n lados, que é r n, este volta à sua posição original Por outro lado, se s é a reflexão em torno de um eixo de simetria, então todas as outras reflexões são da forma r k s, com k 1, 2,, n 1 Portanto, D n {e, r, r 2,, r n 1, s, rs, r 2 s,, r n 1 s} onde r n e, s 2 e e sr r n 1 s, e todas as outras composições podem ser calculadas a partir destas igualdades Em particular, fazendo n 3 e n 4 obtemos, respectivamente, o Grupo Diedral de Ordem 3 e Grupo Diedral de Ordem 4 que são: D 3 {e, r, r 2, s, rs, r 2 s} e D 4 {e, r, r 2, r 3, s, rs, r 2 s, r 3 s} 22 Sejam x, y, z E Digamos: x a 1 +b 1 2 0, y a2 +b 2 2 0, z a3 +b i) Já é sabido que a operação multiplicação sobre R é associativa

9 ii) E é fechado De fato, xy (a 1 + b 1 2)(a2 + b 2 2) a 1 a 2 + a 1 b b1 a b1 b 2 (a 1 a 2 + 2b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) 2 E iii) é o elemento neutro de E iv) Como x a 1 + b temos: xx 1 1 x 1 1 x 1 a 1 + b (a 1 b 1 2) a 1 + b 1 2 (a 1 b 1 2) a 1 b 1 a E 2b2 1 a b2 1 v) xy yx De fato, xy (a 1 + b 1 2)(a2 + b 2 2) a 1 a 2 + a 1 b b1 a b1 b 2 (a 1 a 2 + 2b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) 2 yx (a 2 + b 2 2)(a1 + b 1 2) a 2 a 1 + a 2 b b2 a b2 b 1 (a 1 a 2 + 2b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) 2 23 A soma de polinômios é evidentemente um polinômio e, além disso, é associativa O elemento neutro de P n é o polinômio nulo, e para todo p(x) P n o elemento inverso p 1 (x) p(x) 24, 25 A 2, B 2 e η 3 26 Para k 0, k 5 e k 5 temos mdc(5, k) 5, consequentemente, a k 5 1 Para os outros valores de k entre 8 mdc(5, k) e 8 temos mdc(5, k) 1, ou seja, a k 5 27 Pelo Lema 119 temos: a G e se, e somente se, a divide G