Paralelização Eficiente para o Algoritmo Binário de Exponenciação Modular

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1 Paralelização Eficiente para o Algoritmo Binário de Exponenciação Modular Pedro Carlos da Silva Lara Fábio Borges de Oliveira Renato Portugal Laboratório Nacional de Computação Científica

2 Índice 1 Introdução 2 Algoritmo Binário de Exponenciação Complexidade Computacional 3 Paralelização do Algoritmo Binário Análise de Complexidade 4 Acelerando o Algoritmo 5 Trabalhos Correlatos 6 Conclusões

3 Introdução Neste trabalho é considerado o problema de calcular g e mod m, onde g, e Z m. A exponenciação modular é utilizada em grande parte dos algoritmos de criptografia assimétrica e testes de primalidade. O desempenho do algoritmo de exponenciação modular possui forte impacto no desempenho de muitos criptossistemas assimétricos.

4 Introdução Foi utilizado o conceito de paralelismo de tarefas para acelerar o calculo de g e mod m sendo g, e Z m. A técnica proposta está baseada no algoritmo binário de exponenciação modular.

5 Algoritmo Binário Também referenciado com square-and-multiply o algoritmo binário de exponenciação modular pode ser descrito recursivamente como: 1 se e = 0 g e = (g e/2 ) 2 se e é par g e 1 g se e é ímpar

6 Algoritmo Binário Algoritmo 1: Algoritmo binário versão esquerda para direita. Entrada: Inteiro g Z m e e = k i=0 2i b i onde b i {0,1} (representação em base binária). Saída: g e mod m. início a 1; para i = k até 0 faça a a 2 mod m; se b i = 1 então a a g mod m; 7 8 retorna a; fim

7 Complexidade Custo Computacional O algoritmo anterior, no caso médio, executa log 2 e + 1 elevações ao quadrado e log 2 e +1 2 multiplicações modulares. Custo Computacional Sendo E o custo para uma elevação ao quadrado, M o custo para uma multiplicação e j = log 2 e + 1 T(j) = je + j 2 M

8 Paralelização do Algoritmo Binário e = (b k b k 1 b k 2...b k/2 b k/2 1...b 2 b 1 b 0 ), b i {0, 1}, i {0,...,k} Fazendo e = 2 r e 1 + e 0 com r = k/2. e 1 {}}{{}}{ e = ( b k b k 1 b k 2...b k/2 b k/2 1...b 2 b 1 b 0 ) e 0 = (b k/2 1...b 1 b 0 ) e e 1 = (b k b k 1...b k/2 ) e 0

9 Paralelização do Algoritmo Binário Desta forma O cálculo de g e = g 2r e 1 +e 0 = g 2r e 1 g e 0. g e = g 2r e 1 g e 0 poderá ser executado em paralelo. log 2 e 0 log 2 e 2 e log 2 e 1 log 2 e 2

10 Paralelização do Algoritmo Binário e = ( ) Região Paralela 1 e 1 = (10011) 2 Região Paralela 2 e 2 = (11010) 2 a 1 = g e1 a 2 = g 25 e2 g e = a 1 a 2

11 Paralelização do Algoritmo Binário Algoritmo 2: Paralelização do algoritmo binário. Entrada: Inteiro g Z m e e = P k i=0 2i b i onde b i {0, 1} (representação em base binária). Saída: g e mod m. início e 0 (b r+1... b 1 b 0 ) 2 ; e 1 (b k... b r 1 b r) 2 ; início [Região Paralela 1] a 0 g e 0 mod m; fim início [Região Paralela 2] fim a 1 g 2r ; a 1 a e 1 1 mod m; fim retorna a 0 a 1 mod m;

12 Generalização Poderiamos fazer e = 2 rn e n + 2 r n 1 e n r 1 e 1 + e 0. Com log 2 e i = log 2 e n+1 e r i = i log e n+1 para i {0,...,n}. Logo g e = g 2rn e n+2 r n 1e n r 1e 1 +e 0 g e = (g en ) 2rn (g e n 1 ) 2r n 1...g e 0.

13 Generalização (Exemplo) Exemplo e = ( ) j = log 2 e + 1 = 32 e = ( }{{} }{{} }{{} }{{}) e 3 e 2 e 1 e 0 e = ( r r r ) r 1 = 8, r 2 = 16, r 3 = 24 e = 2 r 3 e r 2 e r 1 e 1 + e 0

14 Custo Computacional Para duas linhas o custo computacional é determinado pelo cálculo da expressão (g e 1 ) 2r sendo r = log 2 e Como log 2 e 1 log 2 e 2 e fazendo j = log 2 e + 1, para calcular (g e 1 ) 2r é necessário: Complexidade ( ) j T 2 (j) = je M

15 Custo Computacional (Caso Geral) Neste caso a complexidade fica determinada pelo termo onde r i é máximo, ou seja, (g e k) 2rn. Como log 2 e i = log 2 e n+1, i {0,...,n} e r n = n log 2 e n+1. Complexidade ( ) j T n (j) = je + 2n + n 1 M

16 Análise de Complexidade Comparação Sequencial T(j) = je + j 2 M Paralelo, usando n linhas paralelas ( ) j T n (j) = je + 2n + n 1 M j = log 2 e + 1

17 Análise de Complexidade Considerações Não houve redução no número de elevações ao quadrado. É necessário estudar o comportamento da função a medida que n cresce. γ(n, j) = j 2n + n 1 Esta função está associada ao número de multiplicações modulares, no caso médio.

18 Análise de Complexidade Considerando j constante, a fim de minimizar o número de multiplicações, considere a derivada parcial γ n = j 2n (1) Igualando (1) a zero e resolvendo na variável n, temos a seguinte relação entre o número de linhas paralelas n e o tamanho do expoente j. j n = (2) 2 Como 2 γ n 2 = j n 3 > 0 a expressão (2) é um mínimo global.

19 Acelerando o Algoritmo Algoritmo 3: Paralelização da multiplicação final. Entrada: Inteiros a 1, a 2,...,a n Z p Saída: O produtório n i=1 a i mod p. início enquanto n 1 faça para cada processador i = 1 até n/2 faça em paralelo A i a 2i 1 a 2i mod p; n n/2; para i = 1 até n faça a i A i ; retorna A 1 ; fim

20 Análise de Complexidade Este algoritmo computa γ = log 2 n multiplicações. Assim o custo computacional total fica ( ) j + 1 T(j) = (j + 1)E + 2n + log 2 n M. Neste caso, o número de multiplicações modulares é Desta forma, resolvendo µ(j, n) = j + 1 2n + log 2 n. µ(j, n) n = 0 n = ln 2 2 (j + 1).

21 Resultados Experimentais Recursos Utilizados Sistema operacional Open SuSE Linux kernel x86/64. O hardware utilizado foram 8 nós Sun Blade x6250. Cada nó com 2 processadores Intel Xeon E5440 Quad Core 3GHz e 16GB de memória física interligados por um barramento InfiniBand. GMP (GNU Multiple Precision), aritmética de precisão múltipla. OpenMPI, paralelismo usando memória compartilhada.

22 Resultados Experimentais (512 bits) 300 Execution time speed on 512 bits 250 microseconds number of processes 12 Speedup on 512 bits speedup number of processes Figura: Tempo de execução e speedup para até 64 unsado 512 bits

23 Resultados Experimentais (1024 bits) 1800 Execution time speed on 1024 bits microseconds number of processes 18 Speedup on 1024 bits speedup number of processes Figura: Tempo de execução e speedup para até 64 unsado 1024 bits

24 Resultados Experimentais (2048 bits) Execution time speed on 2048 bits microseconds number of processes 30 Speedup on 2048 bits speedup number of processes Figura: Tempo de execução e speedup para até 64 unsado 2048 bits

25 Resultados Experimentais (Comparação) 2500 Time speed comparison on 1024 bits Algoritmo 2 Algoritmo microseconds number of processes Figura: Comparativo entre os algoritmo de paralelização apresentados.

26 Trabalhos Correlatos Grande parte dos autores posicionam seu trabalho em problemas de base-fixa, e. g., Diffie-Hellman. A versão multi-prima do RSA junto com o Teorema do Resto Chinês possui uma paralelização direta e eficiente.

27 Trabalhos Futuros Utilizar GPGPU (General-Purpose computing on Graphics Processing Units). Trabalhar com algoritmos mais interessantes do ponto de vista de desempenho, e. g., Janela Deslizante. Ajustar o ponto de partição, de forma a balancear a carga entre os processadores.

28 Conclusões Este trabalho descreveu uma técnica de paralelismo para o cálculo da exponenciação modular para o caso geral. A paralelização final do algoritmo mostrou-se mais escalável e como menor custo computacional que o algoritmo original. Somente foi possível diminuir o número de multiplicações modulares. O número de elevações ao quadrado foi mantido inalterado.

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