Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.1/15

Transcrição

1 Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes VIII SBSeg - Set/08 Fábio Borges - LNCC Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.1/15

2 Introdução Problema da Fatoração de Inteiros n = p e 1 1 pe i i n = pq Complexidade subexponencial Computação Clássica Base da segurança de muitos sistemas computacionais Depende da escolha de p e q Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.2/15

3 Trabalhos Relacionados método de Fermat p i 1 de Pollard método de Lenstra multiple polynomial quadratic sieve (MPQS) general number field sieve (GNFS) Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.3/15

4 PhD Comics Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.4/15

5 Idéia Central A idéia central do algoritmo é encontrar m tal que mdc (pq mod m, pq) > 1 Observe que pq mod m ((p mod m) (q mod m)) mod m Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.5/15

6 Princípio pq mod q 1 = p(q 1) + p mod q 1 = p p(q s) + sp mod q s = sp sempre que sp < q s Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.6/15

7 Exemplo 973 = tem: 17 soluções consecutivas entre 121 e soluções no total Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.7/15

8 Fatorando Podemos fatorar procurando um número m = q s tal que mdc (pq mod m, pq) > 1 se m = 139 então mdc (0, 7 139) = 973, mas se m = 138 então mdc (7 139 mod 138, 7 139) = 7. Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.8/15

9 Encontrando fatores distantes 1. while true do 2. m = PRNG() 3. v = n mod m; 4. if (mdc (v, n) > 1) then 5. Return(mdc (v, n)); Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.9/15

10 Encontrando fatores distantes 1. i = 1; v = 1; r = [ n]; 2. while mdc (v, n) = 1 and m < 3r do 3. i = nextprime(i); 4. for m from r to 3r by [3r/i] do 5. v = n mod m; 6. if (mdc (v, n) > 1) then 7. Return(mdc (v, n)); Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.10/15

11 Aumentando a probabilidade p < q Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.11/15

12 Aumentando a probabilidade p < q pq < q < pq único divisor Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.11/15

13 Aumentando a probabilidade p < q pq < q < pq único divisor pq < mdc (X1, pq) < < mdc (X i, pq) < pq Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.11/15

14 Aumentando a probabilidade p < q pq < q < pq único divisor pq < mdc (X1, pq) < < mdc (X i, pq) < pq pq < mdc (pq mod X1, pq) < < mdc (pq mod X j, pq) < pq Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.11/15

15 Aumentando a probabilidade p < q pq < q < pq único divisor pq < mdc (X1, pq) < < mdc (X i, pq) < pq pq < mdc (pq mod X1, pq) < < mdc (pq mod X j, pq) < pq i < j, pois pq mod px = pq kpx = py Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.11/15

16 Teste n = passos = p = q = Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.12/15

17 Relação entre s e d p(s 1) + s < d d cresce muito mais rápido que s s < q p+1 Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.13/15

18 Conclusão Quanto maior for s, maior a distância d e melhor será o algoritmo. Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.14/15

19 Último Slide Obrigado. Quaisquer sugestões serão bem-vindas. borges Um novo algoritmo probabilístico para fatoração de inteiros com primos relativamente distantes p.15/15