TESTES DE PRIMALIDADE

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1 TESTES DE PRIMALIDADE

2 MOTIVACAO Testes de primalidade são ingredientes essenciais em sistemas de segurança computadorizados. Há uma série de sistemas de segurança que contam com a suposição que é difícil fatorar números, ou seja, dado um número composto, encontrar seus fatores primos é uma tarefa complicada.

3 AS TRANCAS MATEMÁTICAS Funções Unidirecionais Trancas matemáticas ou funções unidirecionais são procedimentos matemáticos faceis de realizar e difíceis de se reverter. Porquê são importantes? São a base de toda e qualquer criptografia. São estes procedimentos que possibilitam que uma mensagem possa ser enviada em um meio de comunicação público, de forma segura.

4 POR EXEMPLO: Se pegamos aleatoriamente dois números primos tais como P1 = 709 e P2 = 733 e multiplicá-los para obtermos: N = P1 * P2. N = 709 * 733 = (isso é fácil de calcular) Temos duas coisas: um número grande (519697) e a fatoração prima deste número grande (709 * 733). Agora, imagine que eu esconda a fatoração prima e forneça apenas o seguinte: =? *? (isso é difícil de calcular)

5 É REALMENTE DIFÍCIL Se eu te pedir para encontrar a fatoração primária, por onde você começaria? Para encontrar a solução, é necessário fazer um monte de testes de tentativa e erro. A multiplicação é rápida (fácil) de calcular, enquanto a fatoração primária é lenta (difícil). Este simples fato forma a base do esquema de criptografia RSA.

6 É FÁCIL PEGAR DOIS PRIMOS GRANDES QUAISQUER? Escolher dois primos grandes e aleatorios é uma tarefa fácil? Se pensarmos um pouco, é importante saber se um número, por exemplo, , é primo ou composto.

7 P x NP P = Um problema pode ser RESOLVIDO em tempo polinomial. NP = Um problema pode ser VERIFICADO em tempo polinomial P = NP De modo simplificado, o problema pergunta se existem problemas matemáticos cuja resposta pode ser verificada em tempo polinomial, que não possam ser resolvidos (diretamente, sem se ter um candidato à solução) em tempo polinomial. Ilustrando: se alguém lhe disser que o número pode ser escrito como o produto de dois outros inteiros, você provavelmente demorará para provar isso; contudo, se lhe assoprarem que ele é o produto de por 3.803, você seria capaz de muito rapidamente verificar tal fato.

8 DIVISAO POR TENTATIVA Vamos começar com o teste mais simples e menos eficiente.

9 TESTANDO Para verificarmos se um número é primo usando o TESTE DA DIVISAO POR TENTATIVA, temos que dividir o número até encontrarmos o primeiro (ou menor) divisor. Sabendo que qualquer número composto é formado por dois ou mais primos, no pior caso teremos que testar para a raiz quadrada do número em questão (arredondada para cima).

10 EXEMPLO: Por exemplo, vamos tentar determinar se 103 é primo ou não. A raiz quadrada de 103 arredondada para cima é 11. Os números primos entre 2 e 11 são 3, 5 e 7 e 11. Já os números 4, 6, 8 e 10 são pares e o 9 é um múltiplo de 3, que é um número primo, então podemos omiti-los.

11 EXEMPLO: Ao fazer isso, nos diminuímos a lista de fatores que precisam ser testados para apenas 4 números! Nenhum dos números 3, 5, 7 ou 11 divide o 103 de forma inteira, então sabemos que o 103 é primo.

12 CRIVO DE ERASTOSTENES Uma outra abordagem

13 ENCONTRANDO COMPOSTOS Resolver o problema de econtrar números primos é o mesmo problema de encontrar números compostos. Como todo primo é não composto, encontrar os compostos nos dá os primos. É uma abordagem bem mais custosa, mas que funciona pra casos pequenos.

14 NA PRÁTICA Definimos um limite similar ao procedimento de DIVISÃO POR TENTATIVA. Criamos uma lista de números que esteja entre 2 até o valor limite. Encontramos o primeiro primo da lista. Ele é um primo, 2. Removemos da lista os múltiplos de 2. Repitimos o procedimento.

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16 TESTE DE PRIMALIDADE DE FERMAT Oferece um teste simples e eficiente para ignorar números nãoprimos.

17 SOBRE O TESTE Tecnicamente, o teste é para os números compostos, não primos. Isso acontece porque o teste pode determinar com segurança se um numero dado é composto ou não, mas pode dizer apenas com certa precisão de esse número é primo. Esse teorema é útil quando a divisão por tentativa for inviável e quando uma lista dos números que são exceções do teorema estiver disponível.

18 TEOREMA Seja mdc(a,b) o Máximo Divisor comum de a e b. Se b é primo, então para qualquer a cujo mdc(a,b) = 1, temos: a b 1 = 1 (mod b)

19 EXEMPLO: Escolhemos um número n = 100; Escolhemos outro número no intervalo [2, n-1]; Vamos escolher o 3 neste exemplo: Calculamos a n mod n mod 100 = 1; Verificamos se a n mod n = a mod n. Se sim, n é composto! Se não, n pode ser primo... No nosso exemplo, 3100 (mod 100) = 1 e 100 (mod 100) = 0. Podemos dizer que 100 é composto.

20 PORQUE PODE SER? Infelizmente existem números que passam o teste de Fermat para todas as bases para as quais são relativamente primos São os chamados números de Carmichael, e são infinitos Pseudoprimo

21 TESTE DE MILLER- RABIN O teste de Miller-Rabin é parecido com o Pequeno Teorema de Fermat, mas ele funciona melhor com exceções, como os números de Carmichael.

22 NA PRÁTICA Escolhemos um número n ímpar. Vamos escolher n = 321 Expressamos n-1 como 2 s x d, onde d é ímpar. Podemos expressar n como 2 6 x 5. Escolhemos um número aleatório a entre 2 e n. Vamos escolher 100.

23 NA PRÁTICA Calculamos a d mod n. Se o resultado for 1 ou -1, o número n passa no teste e provavelmente é primo. Pra nosso exemplo: a d mod n = (mod 321) = 313 Como nós ainda não obtivemos 1 ou -1, não podemos dizer que n é provavelmente primo ainda. Entretanto, ainda há o que fazer,

24 NA PRÁTICA Se o resultado não for 1 ou -1, calculamos a 2d, a 4d,... e assim por diante até a 2s-1d. Ou seja, calculamos a elevado a d vezes potências de 2 até 2 s-1. Se um desses números for 1 ou -1 (mod n), então n passa no teste de Miller-Rabin e é provavelmente um número primo. Se n não passar em nenhum desses testes, ele é composto.

25 VOLTANDO AO EXEMPLO No nosso exemplo, o valor do a é 100, o de s é 6 e o valor de d é 5. Nós continuaríamos o teste da seguinte forma: 100 2d = 10 = (mod 321) = 64. Então continuamos d = 20 = (mod 321) = =/= 1 or -1. Aqui podemos parar. s - 1 = 6-1 = 5. Nós chegamos em 4d = 2 2 e não existem mais potências de 2 vezes d abaixo de 5d. Como nenhum dos nossos cálculos deu 1 ou -1, podemos dizer com segurança que n = 321 é composto.

26 CONFIABILIDADE Se você descobrir que o seu valor de n é primo, tente de novo com um outro valor aleatório para a para melhorar a confiabilidade do resultado do teste. Se n é realmente primo, ele vai passar no teste para qualquer outro valor de a. Se n for composto, ele não vai passar em pelo menos três quartos dos valores de a. Isso dá a esse método uma confiabilidade maior que o Pequeno Teorema de Fermat oferece, onde certos números compostos (os números de Carmichael) podem passar para qualquer valor de a.

27 PROBLEMAS CONHECIDOS COM PRIMOS Densidade Quantos primos existem entre {1... n}? Listagem Liste todos os primos entre {1... n}. Teste Dado um inteiro n, este n é primo? Aleatório Escolha um primo aleatório entre {1... n}.

28 Obrigado