Aula 23. Ivan Sendin. 31 de outubro de FACOM - Universidade Federal de Uberlandia TSeg.

Transcrição

1 Segurança da Informação Aula 23 FACOM - Universidade Federal de Uberlandia ivansendin@yahoo.com,sendin@ufu.br 31 de outubro de 2018

2 ou Criptografia de Chave Publica PK e SK PK cifra, publica,... SK decifra, privada c = C(p, PK) Possiblidade de busca exaustiva no espaço de texto claro!

3 Divisibilidade a b a divide b a b b = a.k, k I 3 21, 21 = 3.7 Alguns lemas: a b + c, a b a c

4 Números Primos Constroem os compostos São infinitos

5 Infinitos...(aquecimento!) Por contradição Existe um último primo p k Podemos obter: p 1 p 2 p k e ainda: p 1 p 2 p k + 1 que é primo...certo? cqd.

6 Triangulo de Pascal

7 Triangulo de Pascal

8 Linhas primos dividem todos os termos 1

9 Primes is in P ou AKS Õ(n 12 )

10 Pequeno teorema de Fermat Pequeno teorema de Fermat (o Último é o mais famoso...) Usado para testar a primalidade de um numero Se p é primo, então p X p X

11 Pequeno Teorema - Exemplo p = 7 é primo? x = 2 (sorteio) x p x

12 Pequeno Teorema - Prova por Indução Base X = 1 x p x p 0

13 Pequeno Teorema - Prova por Indução Passo de Indução p x p x p (x + 1) p (x + 1) (x + 1) p = ( ) ( ) p p x p + x p 1 + x p p 1 p 2 ( ) p X x p + ( ) p p 1 x p 1 + ( p p 2 Fato: p ( p p k) (Certo?) x p + 1 (x + 1) x p + 1 x 1 x p x (Verdade pela hipótese) ) x p ( p 1) X + 1 (x + 1)

14 Pequeno Teorema - Aplicação Podemos testar a divisibilidade de X p X por p para testar se p é primo bool ehprimo(p): x= randomint() temp = x**p - x retorna (temp % p)==0 FIM?

15 Pequeno Teorema Podemos testar a divisibilidade de X p X por p para testar se p é primo Ops... Se/Então Alguns compostos podem ser aceitos (falsos primos) Tente de novo (mudando x) até ficar satisfeito Miller-Rabin. Solovay-Strassen

16 É demorado testar a primalidade de um numero probabilisticos AKS polinomial /Exato Apesar do teste ser polinomial, fatorar ainda é muito demorado Algoritmo de Shor Fatorou (2012) Criptografia Pós-Quantica

17 Pequeno Teorema - Cozinhando... p x p x x p x = x(x p 1 1) p x(x p 1 1) SE p x p (x p 1 1) p quase divide x p 1... fica sobrando 1 x p 1 1 (mod p)

18 Pequeno Teorema - Cozinhado... x p 1 1 (mod p) s.x p 1 s (mod p) Escolho e e d tal que: e + d = p 1 s.x e s (mod p) s parece um numero aleatório entre 1 e p 1 Se alguem multiplicar s por x d s.x d (mod p) s.x e.x d (mod p) s.x e+d (mod p) s.x p 1 (mod p) s (mod p)

19 Pequeno Teorema - Cozinhado... Resumo: Alice conhece p,e,d (com e + d = p) Bob conhece s, p e d Faz: s s.x e (mod p) Envia s para Alice s.x d (mod p) (s.x e.x d (mod p)) (s.x e+d (mod p)) (s.x p 1 (mod p)) s (mod p) Eva??

20 Cifrador Assimétrico Par de chaves com alguma correlação Z n n = pq com 4k bits

21 Rivest Shamir Adleman Clifford Cocks Communications-Electronics Security Group (CESG)/MI Segurança esta atrelada a dificuldade de fatoração de números (grandes) 1024/2048/4096 (Quase) Padrão para ciframento assimétrico Usado em assinaturas

22 1 Gerar p e q primos (grandes) Biblioteca de Inteiros Grandes (int*) Teste de Primalidade 2 Gerar n = pq (Fácil) 3 Gerar φ(n) = (p 1)(q 1) (Fácil) 4 Descarte de p e q 5 Gerar e aleatório 6 Gerar d, tal que mdc(ed, φ(n)) == 1 d e 1 (mod φ) Algoritmo extendido de Euclides

23 Pequeno Teorema de Fermat (Re-cozinhado...) a (ed) = (a e ) d a (mod n), a (e, n) é a chave publica (d, n) é a chave privada Guarda de forma segura (d, n) Publica de forma segura (?) (e, n) cifrar o texto x: x e (mod n)

24 Para enviar x de forma segura para o dono de (e, n) c: x e (mod n) conhece (d, n), faz c d (mod n) (x e ) d (mod n) x ed (mod n) x (mod n)

25 p= 23 (sorteio) q= 31 (sorteio) n= pq = = 713 phi = (p-1)(q-1)= 660 (descarta p e q!!) e/publica= 263 (Aleatorio) d/privada= 527 ( mdc(ed,phi)=1)

26 O = 79 e=263 79**263 = L n=713 (79**263) % 713 = 168

27 [ O, l, a ] [168L, 151L, 405L] d=527 (168**527)% 713 = 79 [ O, l, a ]

28 A representação dos numeros faz a busca exaustiva tomar tempo exponencial: ordem de (mod 713) = (mod 713) = (mod 713) = O numero de operações de exponenciações é linear no expoente para o usuário do :... x 16 = x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x = (((x 2 ) 2 ) 2 ) 2

29 A segurança do esta baseada na dificuldade em fatorar n (público) Quem conseguir fatorar n consegue voltar ao primeiro passo da criação das chaves... Pesquisa intensa: algoritmos, metodos matematicos, computação distribuida, quantica,... Existem primos mais seguros... Existem muitos caminhos...a chave precisa ser grande! Factoring Challenge (768 bits)

30 O trabalha em blocos que dependem do tamanho da chave É muito lento O processador nao trabalha com inteiros grandes (bibliotecas) Gargalo/impedimento para dispositivos muito pequenos: celulares, raspberry, IoT... Elliptic curve cryptography (ECC)

31 Sistema Hibrido O sistem simetrico possui uma limitação operacional O sistema assimétrico é muito lento Sistema hibrido: melhor dos dois mundos Alice sorteia uma chave k (simetrico) Usando um cifrador assimetrico, envia (de forma segura) k para Bob Alice/Bob utilizam a chave k Melhor dos dois mundos!