PK - Public Key RSA. Segurança RSA
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- Leonor Nina Mendes Felgueiras
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1 Introdução à Chave Pública PK - Public Key RSA Exponenciação rápida Segurança RSA
2 Compartilhamento de chaves Algoritmo de chave simétrica Necessário compartilhar uma chave secreta previamente Chave que encripta é a mesma que decripta Problema: como compartilhar a chave? Algoritmo de chaves assimétricas Temos 2 chaves: chave pública encripta) e chave privada decripta) Fácil compartilhar a chave que encripta Chave que encripta pode ser vista por qualquer um Necessário guardar em segredo somente a chave privada
3 RSA Criação por Rivest, Shamir, Adleman 1977) Define: algoritmo de encriptação Enc pubk m) e de decriptação Dec seck c) É o sistema de chave pública mais popular Existem 3 tipos de sistemas assimétricos principais Patenteado nos EUA, expirado em 2000.
4 Algoritmo RSA Geração de chave: necessário computar o par K pub, K pr ) Algoritmo: 1. Escolher primos p, q grandes 2. n = p q 3. φn) = p 1)q 1) função de Euler) 4. Escolher K pub = e {1, 2,..., φn) 1} tal que 5. Computar K pr = d tal que mdce, φn)) = 1 d e = 1 mod φn) 6. Resultado: K pub = n, e) e K pr = d)
5 Função de Euler φ Z n = {0, 1,..., n 1} φn) =Quantos números em Z n são coprimos com n? x é coprimo com n se mdcn, x) = 1 Exemplo n = 6, Z n = {0, 1, 2, 3, 4, 5} mdc0, 6) = 6, mdc1, 6) = 1, mdc2, 6) = 2, mdc3, 6) = 3, mdc4, 6) = 2, mdc5, 6) = 1 φ6) = 2 Como computar φn) eficientemente? Se n = p e 1 1 pe2 2 pe k k então φn) = Π k i=1p e i i p e i 1 i 1 ) Se n = p q com p, q primos, φn) = p 1)q 1) Se os fatores primos de n não forem conhecidos, não é possível computar φn) eficientemente
6 O problema RSA Se p, q são conhecidos: então Φn) pode ser computado então d = e 1 mod Φn) pode ser computado então possível computar e-ésima raízes módulo n Se p, q não são conhecidos então, computar Φn) é tão difícil quanto computar n então computar d é tão difícil quanto fatorar n
7 Algoritmo RSA: observações p, q n Nível de segurança está relacionado a n Nem todos números são difíceis de fatorar Metade dos números são par 1/3 dos números são divisíveis por 3 Os números mais difíceis são produtos de 2 primos de tamanhos parecidos É fácil testar se um número é primo artigo: PRIMES in in P)
8 RSA: encriptação e decriptação Encriptação Dados Kpub = n, e), x Z n = {0, 1,..., n 1} y = e Kpub x) = x e mod n Decriptação Dados Kpr = d, y Z n x = d Kpr y) = y d mod n
9 Exemplo Preparação: p = 3, q = 11, n = 33, φn) = 3 1) 11 1) = 20 Escolher e = 3 concidência que é igual a p) d = e 1 = 7 mod 20 Verificando: d e = 7 3 = 1 mod 20 Transmite K pub = n, e) = 33, 3) Encriptação: Quer transmitir x = 4 y = 4 3 = 64 mod 33 = 31 Transmite y texto cifrado) Decriptação: x = y d = 31 7 = 4 mod = 2) 7 mod 33 = 128 mod mod 33 = mod 33 = 4
10 RSA: prova de corretude Esquema RSA:
11 RSA: prova de corretude Esquema RSA: EncKpub =n,e)x) = y = x e mod n
12 RSA: prova de corretude Esquema RSA: EncKpub =n,e)x) = y = x e mod n DecKpriv =n,d)y) = x = y d mod n
13 RSA: prova de corretude Esquema RSA: EncKpub =n,e)x) = y = x e mod n DecKpriv =n,d)y) = x = y d mod n Provar que d Kpr e Kpub ) x e ) d x ed x mod n
14 RSA: prova de corretude Esquema RSA: EncKpub =n,e)x) = y = x e mod n DecKpriv =n,d)y) = x = y d mod n Provar que d Kpr e Kpub ) x e ) d x ed x Por definição temos: d e 1 mod Φn) mod n
15 RSA: prova de corretude Esquema RSA: EncKpub =n,e)x) = y = x e mod n DecKpriv =n,d)y) = x = y d mod n Provar que d Kpr e Kpub ) x e ) d x ed x Por definição temos: d e 1 mod Φn) Para remover o mod, usamos um inteiro t d e = 1 + t Φn) mod n
16 RSA: prova de corretude Esquema RSA: EncKpub =n,e)x) = y = x e mod n DecKpriv =n,d)y) = x = y d mod n Provar que d Kpr e Kpub ) x e ) d x ed x Por definição temos: d e 1 mod Φn) Para remover o mod, usamos um inteiro t d e = 1 + t Φn) mod n Ou seja, escrito de outra forma queremos provar: d Kpr y) = x de x mod n x 1+tΦn) x mod n
17 RSA: prova de corretude Esquema RSA: EncKpub =n,e)x) = y = x e mod n DecKpriv =n,d)y) = x = y d mod n Provar que d Kpr e Kpub ) x e ) d x ed x Por definição temos: d e 1 mod Φn) Para remover o mod, usamos um inteiro t d e = 1 + t Φn) mod n Ou seja, escrito de outra forma queremos provar: d Kpr y) = x de x mod n x 1+tΦn) x mod n E, de maneira equivalente, x mod n = x Φn)) t x mod n
18 RSA: prova de corretude: continuação 1 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n
19 RSA: prova de corretude: continuação 1 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usamos o teorema de Euler: mdca, b) = 1 a Φb) 1 mod b
20 RSA: prova de corretude: continuação 1 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usamos o teorema de Euler: mdca, b) = 1 a Φb) 1 mod b Equivalente a: a Φb)) t 1 t mod b 1 mod b t é int)
21 RSA: prova de corretude: continuação 1 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usamos o teorema de Euler: mdca, b) = 1 a Φb) 1 mod b Equivalente a: a Φb)) t 1 t mod b 1 mod b t é int) Dois casos:
22 RSA: prova de corretude: continuação 1 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usamos o teorema de Euler: mdca, b) = 1 a Φb) 1 mod b Equivalente a: a Φb)) t 1 t mod b 1 mod b t é int) Dois casos: Caso 1 mais fácil): se mdcx, n) = 1, aplicar Teo. Euler: x Φn)) t 1 mod n
23 RSA: prova de corretude: continuação 1 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usamos o teorema de Euler: mdca, b) = 1 a Φb) 1 mod b Equivalente a: a Φb)) t 1 t mod b 1 mod b t é int) Dois casos: Caso 1 mais fácil): se mdcx, n) = 1, aplicar Teo. Euler: x Φn)) t 1 mod n e multiplicar por x em ambos lados da equivalência: x x Φn)) t x 1 mod n provado caso 1!
24 RSA: prova de corretude: continuação 1 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usamos o teorema de Euler: mdca, b) = 1 a Φb) 1 mod b Equivalente a: a Φb)) t 1 t mod b 1 mod b t é int) Dois casos: Caso 1 mais fácil): se mdcx, n) = 1, aplicar Teo. Euler: x Φn)) t 1 mod n e multiplicar por x em ambos lados da equivalência: Caso 2... continua... x x Φn)) t provado x 1 mod n caso 1!
25 RSA: prova de corretude: continuação 2 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n
26 RSA: prova de corretude: continuação 2 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Caso 2: quando mdcx, n) = mdcx, p q) 1.
27 RSA: prova de corretude: continuação 2 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Caso 2: quando mdcx, n) = mdcx, p q) 1. Como x < n e p, q são primos, então para inteiros r, s < p, q temos
28 RSA: prova de corretude: continuação 2 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Caso 2: quando mdcx, n) = mdcx, p q) 1. Como x < n e p, q são primos, então para inteiros r, s < p, q temos x = r p ou x = s q
29 RSA: prova de corretude: continuação 2 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Caso 2: quando mdcx, n) = mdcx, p q) 1. Como x < n e p, q são primos, então para inteiros r, s < p, q temos x = r p ou x = s q Se usarmos que x = r p, então mdcx, q) = 1
30 RSA: prova de corretude: continuação 2 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Caso 2: quando mdcx, n) = mdcx, p q) 1. Como x < n e p, q são primos, então para inteiros r, s < p, q temos x = r p ou x = s q Se usarmos que x = r p, então mdcx, q) = 1 Quando x = s q, a prova é similar
31 RSA: prova de corretude: continuação 2 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Caso 2: quando mdcx, n) = mdcx, p q) 1. Como x < n e p, q são primos, então para inteiros r, s < p, q temos x = r p ou x = s q Se usarmos que x = r p, então mdcx, q) = 1 Quando x = s q, a prova é similar Então, com o teo. Euler: x Φq) 1 mod q x Φq)) t 1 mod q
32 RSA: prova de corretude: continuação 2 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Caso 2: quando mdcx, n) = mdcx, p q) 1. Como x < n e p, q são primos, então para inteiros r, s < p, q temos x = r p ou x = s q Se usarmos que x = r p, então mdcx, q) = 1 Quando x = s q, a prova é similar Então, com o teo. Euler: x Φq) 1 mod q x Φq)) t 1 mod q Voltando ao termo x Φn) ) t temos, manipulando algebricamente essa equação, que: x Φn)) t x q 1)p 1)) t x Φq)) t ) p 1 1 p 1) 1 mod q
33 RSA: prova de corretude: continuação 2 Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Caso 2: quando mdcx, n) = mdcx, p q) 1. Como x < n e p, q são primos, então para inteiros r, s < p, q temos x = r p ou x = s q Se usarmos que x = r p, então mdcx, q) = 1 Quando x = s q, a prova é similar Então, com o teo. Euler: x Φq) 1 mod q x Φq)) t 1 mod q Voltando ao termo x Φn) ) t temos, manipulando algebricamente essa equação, que: x Φn)) t x q 1)p 1)) t x Φq)) t ) p 1 1 p 1) 1 mod q Usaremos então que x Φn)) t 1 mod q
34 RSA: prova de corretude: continuação 3 caso 2) Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n
35 RSA: prova de corretude: continuação 3 caso 2) Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usaremos então que x Φn)) t 1 mod q
36 RSA: prova de corretude: continuação 3 caso 2) Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usaremos então que x Φn)) t 1 mod q Da definição de mod temos para um inteiro u: x Φn)) t = 1 + uq
37 RSA: prova de corretude: continuação 3 caso 2) Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usaremos então que x Φn)) t 1 mod q Da definição de mod temos para um inteiro u: x Φn)) t = 1 + uq Arrumando algebricamente:
38 RSA: prova de corretude: continuação 3 caso 2) Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usaremos então que x Φn)) t 1 mod q Da definição de mod temos para um inteiro u: x Φn)) t = 1 + uq Arrumando algebricamente: x x Φn)) t = 1 + uq) x
39 RSA: prova de corretude: continuação 3 caso 2) Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usaremos então que x Φn)) t 1 mod q Da definição de mod temos para um inteiro u: x Φn)) t = 1 + uq Arrumando algebricamente: x x Φn)) t = 1 + uq) x x x Φn)) t = x + xuq
40 RSA: prova de corretude: continuação 3 caso 2) Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usaremos então que x Φn)) t 1 mod q Da definição de mod temos para um inteiro u: x Φn)) t = 1 + uq Arrumando algebricamente: x x Φn)) t = 1 + uq) x x x Φn)) t = x + xuq x x Φn)) t = x + rpuq, usando x = r p
41 RSA: prova de corretude: continuação 3 caso 2) Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usaremos então que x Φn)) t 1 mod q Da definição de mod temos para um inteiro u: x Φn)) t = 1 + uq Arrumando algebricamente: x x Φn)) t = 1 + uq) x x x Φn)) t = x + xuq x x Φn)) t = x + rpuq, usando x = r p x x Φn) ) t = x + run, usando n = p q
42 RSA: prova de corretude: continuação 3 caso 2) Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usaremos então que x Φn)) t 1 mod q Da definição de mod temos para um inteiro u: x Φn)) t = 1 + uq Arrumando algebricamente: x x Φn)) t = 1 + uq) x x x Φn)) t = x + xuq x x Φn)) t = x + rpuq, usando x = r p ) x x Φn) t = x + run, usando n = p q Voltando ao mod n
43 RSA: prova de corretude: continuação 3 caso 2) Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usaremos então que x Φn)) t 1 mod q Da definição de mod temos para um inteiro u: x Φn)) t = 1 + uq Arrumando algebricamente: x x Φn)) t = 1 + uq) x x x Φn)) t = x + xuq x x Φn)) t = x + rpuq, usando x = r p ) x x Φn) t = x + run, usando n = p q Voltando ao mod n ) x x Φn) t x + run mod n
44 RSA: prova de corretude: continuação 3 caso 2) Queremos provar: x mod n = x Φn)) t x mod n Usaremos então que x Φn)) t 1 mod q Da definição de mod temos para um inteiro u: x Φn)) t = 1 + uq Arrumando algebricamente: x x Φn)) t = 1 + uq) x x x Φn)) t = x + xuq x x Φn)) t = x + rpuq, usando x = r p ) x x Φn) t = x + run, usando n = p q Voltando ao mod n ) x x Φn) t x + run mod n ) x x Φn) t provado x mod n caso 2!
45 Exponenciação rápida Problema na prática é fazer y = x e mod n encriptação) x = y d mod n decriptação) com número extensos
46 Exemplo x 4 =? Uma forma x x = x 2 x 2 x = x 3 x 3 x = x 4 Usamos 3 multiplicações Outra forma x x = x 2 x 2 x 2 = x 4 Usamos 2 multiplicações E para x 8 =? E para x =?
47 Algoritmo quadrado e multiplicar método binário ou exponenciação esquerda para direita Exemplo: x 26 =? x x = x 2 quadrado) x x 2 = x 3 multiplicar) x 3 x 3 = x 6 quadrado) x 6 x 6 = x 12 quadrado) x x 12 = x 13 multiplicar) x 13 x 13 = x 26 quadrado) Usar a representação binária do expoente para escolher a operação certa x 26 = x 11010b x 1 x 1 = x 10b x 1 x 10b = x 11b x 11b ) 2 = x 110b x 110b ) 2 = x 1100b x x 1100b = x 1101b x 1101b ) 2 = x 11010b
48 Algoritmo quadrado e multiplicar Uma iteração por bit do exponente A cada iteração usar operação quadrado Se bit atual do exponente for 1b então multiplicar
49 Gerando números primos Seja p um número aleatório ímpar de n bits A chance de p ser primo é Exemplo: p P p é primo) 2 ln p) p é primo com prob. 2 ln2 512 ) = ln2) Para cada 177 números aleatórios ímpares de 512 bits, esperamos achar 1 primo
50 Como verificar se p é primo? Para testar de p não é necessário fatorar Algoritmos eficientes atuais afirmam: com certeza que números não são primos e com alta probabilidade que são primos Parâmetro de segurança do teste determina a probabilidade de ser primo Teste de primalidade de Fermat Teste de Miller-Rabin
51 Teste de primalidade de Fermat Algorithm 1 Algoritmo de teste de primalidade de Fermat Require: candidato a primo p, parâmetro de segurança s Ensure: afirma se p é composto ou provavelmente primo 1: for i 1... s do 2: Sortear a {2, 3,... p 2} 3: if a p 1 1 mod p then Pequeno teorema de Fermat 4: return p é composto 5: end if 6: end for 7: return provavelmente p é primo
52 Pequeno teorema de Fermat Se p é primo e a é um inteiro, então a p 1 1 mod p Também escrito como a p a mod p Porém para alguns p compostos números de Carmichael), isso também é verdade
53 Teste de Miller-Rabin Considere a seguinte decomposição de p, um ímpar candidato a primo, usando um r inteiro ímpar e um u inteiro qualquer: p 1 = 2 u r Se for possível achar inteiro a tal que a r 1 mod p e a r2j p 1 mod p para todo j = {0, 1,..., u = 1}, então p é composto, senão, provavelmente é primo.
54 Teste de Miller-Rabin Algorithm 2 Algoritmo de teste de primalidade de Miller-Rabin Require: candidato a primo p = r2 u + 1, parâmetro de seg. s Ensure: afirma se p é composto ou provavelmente primo 1: for i 1... s do 2: Sortear a {2, 3,... p 2} 3: z a r mod p 4: if z 1 e z p 1 then 5: for j 1... u 1 do 6: z z 2 mod p 7: if z 1 then p 1) 2 = p p 1 mod p 8: return p é composto 9: end if 10: end for 11: if z p 1 then 12: return p é composto 13: end if 14: end if 15: end for 16: return provavelmente p é primo
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