Teste à Primalidade. (Método de Monte Carlo) Geração de Números Primos (Grandes)

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1 Teste à Primalidade (Método de Monte Carlo) Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 1 Geração de Números Primos (Grandes) Como se pode obter um número primo grande? Gerando números grandes e testando se são primos. Se π(n) denotar o número de primos que não excedem n, π(n) lim n + n ln n = 1. Exemplo: π(10 9 ) = e 10 9 ln A probabilidade de um número n escolhido aleatoriamente ser primo pode ser aproximada por 1 ln n. Será necessário testar cerca de ln n 2 n para encontrar um que seja primo. números í m p a r e s próximos de Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 2

2 Aritmética Modular Propriedade 1 (P1) ((a mod k) (b mod k)) mod k = (a b) modk Propriedade 2 (P2) Se a b e a mod k = b mod k, então: (a b) modk =0. Propriedade 3 (P3) Se p é um número primo e (a b) modp = 0, então: a mod p = 0 ou b mod p =0. Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 3 Lema de Fermat Se p é um número primo e x é um inteiro positivo tal que x mod p = 0, então 0 x mod p 1 x mod p (p 1) x mod p é uma permutação de 0 1 (p 1). Demonstração Se existissem i e j (0 i<j p 1) tais que ixmod p = jxmod p, por (P2), (j i) x mod p =0 e, por (P3), (j i) modp = 0 ou x mod p =0. Mas (j i) modp = 0, porque 0 < (j i) <p, e x mod p = 0, por hipótese. Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 4

3 Teorema de Fermat [1640] Sejam p um número primo e x um inteiro positivo tal que x mod p = 0. Então, x p 1 mod p =1. Demonstração Pelo Lema de Fermat, (1x mod p) ((p 1) x mod p) = (p 1)! [(1 x mod p) ((p 1) x mod p)] mod p = (p 1)! mod p (P1) [(1 x) (p 1) x] modp = (p 1)! mod p (p 1)! x p 1 mod p = (p 1)! mod p (P2) [(p 1)! x p 1 (p 1)!] mod p = 0 (p 1)! (x p 1 1) mod p = 0 (x p 1 1) mod p = 0 (P3) (mod) x p 1 mod p = 1 Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 5 Pseudo-primos Seja p 3 um número inteiro. p é um número pseudo-primo se: p não for primo; e existir uma base x {2,...,p 1 tal que x p 1 mod p =1. Exemplos: 341, 561, 645, 1105 (base 2). p é um número de Carmichael [1912] se: p não for primo; e para qualquer base x {1, 2,...,p 1 tal que m.d.c.(x, p) =1 (c.f. Anexo A), x p 1 mod p =1. Exemplos: 561, 1105, Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 6

4 Potência Modular int modpower( int b, int e, int n ) // β =max(b, e, n). { int base = b; int exp = e; int result = 1; while (exp> 0) { // Cycle invariant: (base exp result) mod n = b e mod n. while (exp%2==0) { base = base base % n; exp = exp / 2; result = result base % n; exp = exp 1; return result; Complexidade: O(log e) oper. aritméticas; O(log 3 β) oper. com bits. Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 7 Teste de Fermat // If this method returns true, p is definitely composite; // if it returns false, p can be composite or prime. // Pre-condition: p>2 is an odd integer and 2 x p 1. boolean iswitnessf( int p, int x ) { return modpower(x, p 1, p) = 1; Complexidade: O(log p) oper. aritméticas; O(log 3 p) oper. com bits. Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 8

5 Erro do Teste de Fermat Há apenas 22 números pseudo-primos para os quais o teste de Fermat falha com a base 2 em {2,..., Seja p um número com α algarismos. Estima-se que a probabilidade do teste de Fermat falhar com a base 2 não excede: [Pomerance 1981] 10 6, quando α = 50; 10 13, quando α = 100. Há apenas 255 números de Carmichael em {2,..., Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 9 Como Reduzir o Erro Testar a primalidade de números grandes. A probabilidade de um número aleatório ser um pseudo-primo tende para zero, quando o número de algarismos tende para infinito [Pomerance 1981]. Testar com várias bases. Os números de Carmichael são extremamente raros. Complementar o teste de Fermat com o teste proposto por Miller [1976] e refinado por Rabin [1980]. À combinação dos dois testes chama-se teste de Miller-Rabin. Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 10

6 Teste de Miller-Rabin Sejam p um número primo e x um inteiro positivo tal que x 2 mod p =1. Então, x mod p =1 ou x mod p = p 1. Demonstração x 2 mod p =1 (mod) (x 2 1) mod p =0 (x 1)(x + 1) mod p =0 (x 1) mod p = 0 ou (x + 1) mod p =0 (P3) (mod) x mod p = 1 ou x mod p = p 1 Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 11 Teste de Miller-Rabin // Pre-condition: p 1=2 k f, where k 1 and f is odd; 2 x p 1. boolean iswitnessmr( int p, int k, int f, int x ) { int result = modpower(x, f, p); // result = x f 20 mod p. for ( int i = 1; i k; i++ ) { int base = result; result = result result % p; // result = x f 2i mod p. if ( result == 1 && base = 1 && base = p 1) return true; return result = 1; // Miller-Rabin test. // Fermat test. Complexidade: O(log p) oper. aritméticas; O(log 3 p) oper. com bits. Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 12

7 Decompor n da forma 2 k f, com k 1ef ímpar // Pre-condition: n 2 is an even integer. int[] decompose( int n ) { int f = n; int k = 0; while ( f %2==0) { // Cycle invariant: f 2 k = n. f = f / 2; k = k + 1; return new int[] {k, f; Complexidade: O(log n) oper. aritméticas; O(log 2 n) oper. com bits. Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 13 Teste à Primalidade // Pre-condition: p>2 is an odd integer and t>0. boolean isprime( int p, int t ) { int[] dec = decompose(p 1); for ( int i = 0; i<t; i++ ) { int x = randomint(2, p 1); // 2 x p 1. if ( iswitnessmr(p, dec[0], dec[1], x) ) return true; return false; Complexidade: O(t log p) oper. aritméticas; O(t log 3 p) oper. com bits. Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 14

8 Erro de isprime A probabilidade do teste de Miller-Rabin falhar é inferior a: 1 4 = 4 1. Se t for o número de bases testadas, a probabilidade do algoritmo isprime falhar é inferior a: 4 t. Exemplo: se a probabilidade de ocorrer um erro de hardware numa máquina que execute 1 milhão de instruções por segundo for 4 40, espera-se que ocorra um erro em cada 30 mil milhões de anos. Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 15 Alguns Números Pseudo-primos e de Carmichael Número Fermat Miller- % Testado m.d.c. = 1 m.d.c. = 1 -Rabin Sucesso Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 16

9 Anexo A Para qualquer inteiro positivo n, sejam: a b (mod n) a mod n = b mod n; [a] n = {b Z a b (mod n); Z n = {[0] n, [1] n,...,[n 1] n ; Z + n = {[1] n,...,[n 1] n ; Z n = {[a] n Z n m.d.c.(a, n) =1. Proposições (Z n, + n ) e (Z n, n) são grupos comutativos. Se n for primo, Z n = Z + n. Se n não for primo, Zn <n 1. Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 17 Anexo A Justificação da Definição de Número de Carmichael Proposição Se n não for primo e x Z + n \ Z n (ou seja, m.d.c.(x, n) = 1), x n 1 mod n = 1. Margarida Mamede, DI FCT/UNL APD, 2010/11, Teste à Primalidade 18