Tabelas de Dispersão. Tabela de Dispersão
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- Linda Campos Porto
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1 Tabelas de Dispersão Sumário Definição. Características. Resolução de colisões: dispersão aberta e dispersão fechada. Teste quadrático. Desempenho de tabelas de dispersão. Interface de tabela de dispersão. Implementação de tabela de dispersão fechada com teste quadrático. HASH - 1 Árvores binárias simples Tabela de Dispersão pior caso nas operações de manipulação é O(N) pior caso surge sistematicamente em usos correntes (ex: elementos previamente ordenados) Tabela de dispersão pesquisa baseada na geração de um inteiro a partir da chave tempo médio constante para inserção, remoção e pesquisa não requer gestão de memória especial nem comparação de elementos ocorrência do pior caso tem probabilidade muito baixa HASH - 2 Cristina Ribeiro Hash- 1
2 Resolver colisões - dispersão com listas Manter lista de elementos colocados na mesma entrada 1 lista com cabeçalho em cada entrada da tabela escolhe-se inserção a ocorrer na cabeça ou na cauda da lista HASH - 3 Resolver colisões - dispersão aberta Perante colisão procura-se célula alternativa Tenta-se sequência de células H 0 (x), H 1 (x), H 2 (x),... H i (x) = ( hash(x) + f(i) ) mod TamanhoTabela Teste linear: procurar sequencialmente a partir de H 0 primeira posição livre a seguir à inicial H 0 é usada - tenta-se H 0 +1, H 0 +2,... pesquisa dá a volta no fim da tabela Teste quadrático procurar próxima posição livre a seguir a H com passo quadrático - tenta-se H 0 +1, H , H ,... é preciso garantir que se pode percorrer a tabela toda Necessário garantir expansão dinâmica da tabela HASH - 4 Cristina Ribeiro Hash- 2
3 Desempenho na dispersão com listas Factor de carga λ razão entre o número de elementos na tabela e o tamanho da tabela Dispersão com listas comprimento médio de cada lista é λ tempo médio de pesquisa: avaliação da função de dispersão + percurso na lista - pesquisa sem sucesso: número médio de ligações a percorrer é λ - pesquisa com sucesso: número médio de ligações a percorrer é 1 + λ/2 bom desempenho para λ próximo de 1 HASH - 5 Desempenho na Dispersão Aberta Dispersão aberta com função linear - número de tentativas para inserção e para pesquisa sem sucesso: 1/2 ( 1 + 1/(1- λ) 2 ) - número de tentativas para pesquisa com sucesso: 1/2 ( 1 + 1/(1- λ) ) caso ideal (sem clustering) - número de tentativas para inserção e para pesquisa sem sucesso: 1/(1- λ) - número de tentativas para pesquisa com sucesso: 1/ λ ln (1/(1- λ) ) função quadrática elimina clustering primário - na prática, eficiência próxima do caso ideal λ= 0.2 Ins, Falha: 1.3 Sucesso: 1.1 λ= 0.8 Ins, Falha: 13 Sucesso: 3 λ= 0.2 Ins, Falha: 1.3 Sucesso: 1.1 λ= 0.8 Ins, Falha: 5.0 Sucesso: 2.0 HASH - 6 Cristina Ribeiro Hash- 3
4 Dispersão com Teste Quadrático Teorema Usando teste quadrático e uma tabela cujo tamanho é um número primo, um novo elemento pode sempre ser inserido se a tabela não estiver preenchida a mais de 50% -Mostra-se que as primeiras Tam/2 posições alternativas são todas distintas, por redução ao absurdo h(x) + i 2 (mod Tam) = h(x) + j 2 (mod Tam) com i j e 0 < i,j < Tam/2 h(x) + i 2 = h(x) + j 2 (mod Tam) i 2 = j 2 (mod Tam) i 2 - j 2 = 0 (mod Tam) ( i-j )( i+j ) = 0 (mod Tam) (o mesmo que ( i-j )( i+j ) = k Tam) Sendo Tam número primo, ( i-j ) ou ( i+j ) tem de ser 0 (mod Tam). Sendo i e j distintos, ( i-j ) não é 0; sendo 0 < i,j < Tam/2, ( i+j ) também não é 0. Então as primeirastam/2 posições alternativas são distintas HASH - 7 Dispersão com Teste Quadrático Teorema A geração de posições alternativas no teste quadrático pode ser feita com apenas uma multiplicação Seja H 0 a posição inicial, H i-1 a última posição calculada e H i a próxima H i = H 0 + i 2 (mod Tam) H i-1 = H 0 + (i-1) 2 (mod Tam) H i - H i-1 = i 2 - (i-1) 2 (mod Tam) H i = H i-1 + 2i - 1 (mod Tam) O valor de H i pode assim ser obtido sem operações pesadas de multiplicação Para calcular o mod: 2i-1 é menor que Tam H i-1 + 2i - 1 ou é menor que Tam (caso em que o mod se dispensa) ou é pouco maior que Tam (caso em que o mod se reduz a subtrair Tam) HASH - 8 Cristina Ribeiro Hash- 4
5 package weiss.util; import java.io.serializable; public class HashSet extends AbstractCollection implements Set private static final int DEFAULT_TABLE_SIZE = 101; private int currentsize = 0; private int occupied = 0; private int modcount = 0; private HashEntry [ ] array; public HashSet( ) allocatearray( DEFAULT_TABLE_SIZE ); clear( ); public HashSet( Collection other ) allocatearray( other.size( ) * 2 ); clear( ); Iterator itr = other.iterator( ); while( itr.hasnext( ) ) add( itr.next( ) ); HASH - 9 public int size( ) return currentsize; * This method is not part of standard Java 1.2. * Like contains, it checks if x is in the set. * If it is, it returns the reference to the matching * object; otherwise it returns null. public Object getmatch( Object x ) int currentpos = findpos( x ); if( array[ currentpos ] == null ) return null; return array[ currentpos ].element; HASH - 10 Cristina Ribeiro Hash- 5
6 * Tests if some item is in this collection. x any object. true if this collection contains an item equal to x. public boolean contains( Object x ) return isactive( array, findpos( x ) ); * Tests if item in pos is active. pos a position in the hash table. arr the HashEntry array (can be oldarray during rehash). true if this position is active. private static boolean isactive( HashEntry [ ] arr, int pos ) return arr[ pos ]!= null && arr[ pos ].isactive; HASH - 11 * Adds an item to this collection. public boolean add( Object x ) int currentpos = findpos( x ); if( isactive( array, currentpos ) ) return false; array[ currentpos ] = new HashEntry( x, true ); currentsize++; occupied++; modcount++; if( occupied > array.length / 2 ) rehash( ); return true; HASH - 12 Cristina Ribeiro Hash- 6
7 * Private routine to perform rehashing. * Can be called by both add and remove. private void rehash( ) HashEntry [ ] oldarray = array; // Create a new, empty table allocatearray( nextprime( 4 * size( ) ) ); currentsize = 0; occupied = 0; // Copy table over for( int i = 0; i < oldarray.length; i++ ) if( isactive( oldarray, i ) ) add( oldarray[ i ].element ); HASH - 13 * Removes an item from this collection. public boolean remove( Object x ) int currentpos = findpos( x ); if(!isactive( array, currentpos ) ) return false; array[ currentpos ].isactive = false; currentsize--; modcount++; if( currentsize < array.length / 8 ) rehash( ); return true; HASH - 14 Cristina Ribeiro Hash- 7
8 public void clear( ) currentsize = occupied = 0; modcount++; for( int i = 0; i < array.length; i++ ) array[ i ] = null; public Iterator iterator( ) return new HashSetIterator( ); HASH - 15 private class HashSetIterator implements Iterator private int expectedmodcount = modcount; private int currentpos = -1; private int visited = 0; public boolean hasnext( ) if( expectedmodcount!= modcount ) throw new ConcurrentModificationException( ); return visited!= size( ); HASH - 16 Cristina Ribeiro Hash- 8
9 public Object next( ) if(!hasnext( ) ) throw new NoSuchElementException( ); do currentpos++; while( currentpos < array.length &&!isactive( array, currentpos ) ); visited++; return array[ currentpos ].element; HASH - 17 public void remove( ) if( expectedmodcount!= modcount ) throw new ConcurrentModificationException( ); if( currentpos == -1!isActive( array, currentpos ) ) throw new IllegalStateException( ); array[ currentpos ].isactive = false; currentsize--; visited--; modcount++; expectedmodcount++; HASH - 18 Cristina Ribeiro Hash- 9
10 private static class HashEntry implements Serializable public Object element; // the element public boolean isactive; // false if marked deleted public HashEntry( Object e ) this( e, true ); public HashEntry( Object e, boolean i ) element = e; isactive = i; HASH - 19 private int findpos( Object x ) int collisionnum = 0; int currentpos = ( x == null )? 0 : Math.abs( x.hashcode( ) % array.length ); while( array[ currentpos ]!= null ) if( x == null ) if( array[ currentpos ].element == null ) break; else if( x.equals( array[ currentpos ].element ) ) break; currentpos += 2 * ++collisionnum - 1; // Compute ith probe if( currentpos >= array.length ) // Implement the mod currentpos -= array.length; return currentpos; HASH - 20 Cristina Ribeiro Hash- 10
11 private void allocatearray( int arraysize ) array = new HashEntry[ arraysize ]; private static int nextprime( int n ) if( n % 2 == 0 ) n++; for( ;!isprime( n ); n += 2 ) ; return n; HASH - 21 private static boolean isprime( int n ) if( n == 2 n == 3 ) return true; if( n == 1 n % 2 == 0 ) return false; for( int i = 3; i * i <= n; i += 2 ) if( n % i == 0 ) return false; return true; HASH - 22 Cristina Ribeiro Hash- 11
pior caso nas operações de manipulação é O(N) pior caso surge sistematicamente emusos correntes (ex: elementos previamente ordenados)
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