Tabelas de Dispersão. Estrutura de Dados e Algoritmos

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1 Tabelas de Dispersão

2 Tabelas de Dispersão Sumário Definição. Características. Resolução de colisões: dispersão com listas e dispersão aberta. Teste quadrático. Desempenho de tabelas de dispersão. Interface de tabela de dispersão. Implementação de tabela de dispersão fechada com teste quadrático.

3 Tabela de Dispersão items de informação guardados num vector[tamanho] cada chave é mapeada num inteiro entre 0 e Tamanho-1 usada como índice do vector mapeamento é designado por função de hash a função deverá ser fácil de calcular e atribuir a chaves diferentes células diferentes. como o número de chaves é em geral maior que Tamanho o problema torna-se mais complicado O problema reside então em escolher Tamanho, a função de hash e decidir como resolver os casos em que mais que uma chave são mapeadas na mesma célula colisão

4 Tabelas de Dispersão versus Árvores binárias Árvores binárias simples pior caso nas operações de manipulação é O(N) pior caso surge sistematicamente em usos correntes (ex: elementos previamente ordenados) Tabela de dispersão pesquisa baseada na geração de um inteiro a partir da chave tempo médio constante para inserção, remoção e pesquisa não requer gestão de memória especial nem comparação de elementos ocorrência do pior caso tem probabilidade muito baixa Aplicações tabelas de símbolos dos compiladores

5 Resolver colisões - dispersão com listas de encadeamento Manter lista de elementos colocados na mesma entrada 1 lista com cabeçalho em cada entrada da tabela escolhe-se inserção a ocorrer na cabeça ou na cauda da lista

6 Resolver colisões - dispersão aberta Perante colisão procura-se célula alternativa Tenta-se sequência de células H0 (x), H 1 (x), H 2 (x),... Hi (x) = (hash(x) + f(i)) mod TamanhoTabela Teste linear: procurar sequencialmente a partir de H 0 primeira posição livre a seguir à inicial H 0 é usada tenta-se H 0+1, H 0+2,... pesquisa dá a volta no fim da tabela Teste quadrático procurar próxima posição livre a seguir a H com passo quadrático tenta-se H 0+1, H 0+2 2, H 0+3 2,... é preciso garantir que se pode percorrer a tabela toda Hashing duplo usar f(x) = i*hash2 (x)

7 Desempenho com Dispersão com listas de encadeamento Factor de carga λ razão entre o número de elementos na tabela e o tamanho da tabela Dispersão com listas de encadeamento comprimento médio de cada lista é λ tempo médio de pesquisa: avaliação da função de dispersão + percurso na lista pesquisa sem sucesso: número médio de ligações a percorrer é λ pesquisa com sucesso: número médio de ligações a percorrer é 1 + λ/2 bom desempenho para λ próximo de 1

8 Desempenho com Dispersão aberta Dispersão aberta com função linear número de tentativas para inserção e para pesquisa sem sucesso: 1/2 (1 + 1/(1- λ)2) número de tentativas para pesquisa com sucesso: 1/2 (1 + 1/(1- λ)) caso ideal (sem clustering) número de tentativas para inserção e para pesquisa sem sucesso: 1/(1- λ) número de tentativas para pesquisa com sucesso: 1/ λ ln (1/(1- λ)) função quadrática elimina clustering primário na prática, eficiência próxima do caso ideal clustering secundário λ= 0.2 Ins, Falha: 1.3 Sucesso: 1.1 λ= 0.8 Ins, Falha: 13 Sucesso: 3 λ= 0.2 Ins, Falha: 1.3 Sucesso: 1.1 λ= 0.8 Ins, Falha: 5.0 Sucesso: 2.0

9 Dispersão com Teste Linear exemplo hash(x) = x mod 10 f(i) = i vazia após 89 após 18 após 49 após 58 após Data Structures & Algorithm Analysis in Java, Weiss

10 Dispersão com Teste Quadrático Teorema Usando teste quadrático e uma tabela cujo tamanho é um número primo, um novo elemento pode sempre ser inserido se a tabela não estiver preenchida a mais de 50% Mostra-se que as primeiras Tam/2 posições alternativas são todas distintas, por redução ao absurdo h(x) + i 2 (mod Tam) = h(x) + j 2 (mod Tam) com i j e 0 < i,j < Tam/2 h(x) + i 2 = h(x) + j 2 (mod Tam) i 2 = j 2 (mod Tam) i 2 - j 2 = 0 (mod Tam) (i-j)(i+j) = 0 (mod Tam) (o mesmo que (i-j)(i+j) = k Tam) Sendo Tam número primo, (i-j) ou (i+j) tem de ser 0 (mod Tam). Sendo i e j distintos, (i-j) não é 0; sendo 0 < i,j < Tam/2, (i+j) também não é 0. Então as primeiras Tam/2 posições alternativas são distintas

11 Dispersão com Teste Quadrático Teorema A geração de posições alternativas no teste quadrático pode ser feita com apenas uma multiplicação Seja H 0 a posição inicial, H i 1 a última posição calculada e H i a próxima H i = H 0 + i 2 (mod Tam) H i 1 = H 0 + (i-1) 2 (mod Tam) H i - H i 1 = i 2 - (i-1) 2 (mod Tam) H i = H i 1 + 2i - 1 (mod Tam) O valor de H i pode assim ser obtido sem operações pesadas de multiplicação Para calcular o mod: 2i-1 é menor que Tam H i 1 + 2i - 1 ou é menor que Tam (caso em que o mod se dispensa) ou é pouco maior que Tam (caso em que o mod se reduz a subtrair Tam)

12 Dispersão com Teste Quadrático exemplo hash(x) = x mod 10 f(i) = i 2 vazia após 89 após 18 após 49 após 58 após Data Structures & Algorithm Analysis in Java, Weiss

13 Dispersão com Teste Quadrático exemplo hash(x) = x mod 10 ; f(i) = i* hash 2(x) ; hash 2(x)= 7 - (x mod 7) vazia após 89 após 18 após 49 após 58 após Data Structures & Algorithm Analysis in Java, Weiss

14 Rehasing aumentar o tamanho da tabela para o menor número primo superior a 2 * tamanho actual preciso copiar todos os elementos não removidos para o novo vector com a nova função (O(N)) o programador não se preocupa com o tamanho da tabela é preciso estabelecer um critério para decidir quando copiar

15 Interface de Tabela de Dispersão public interface HashTable{ /* * Insert into the hash table. If the item is * already present, then replace it with the new item. */ void insert(hashable x); /* Remove from the hash table */ void remove(hashable x) throws ItemNotFound; /* Find an item in the hash table */ Hashable find(hashable x) throws ItemNotFound; void makeempty();

16 Entrada de Tabela de Dispersão class HashEntry{ Hashable element; // the element boolean isactive; // false is deleted public HashEntry(Hashable e){ this(e, true); public HashEntry(Hashable e, boolean i){ element = e; isactive = i;

17 Implementação de Tabela de Dispersão public abstract class ProbingHashTable implements HashTable{ private static final int DEFAULT TABLE SIZE = 11; protected HashEntry [] array; // The array of elements private int currentsize; // The number of occupied cells /** * Abstract method that performs collision resolution. * Each class must override this method only. */ protected abstract int findpos(hashable x); public ProbingHashTable(){ allocatearray(default TABLE SIZE); makeempty();

18 Implementação de Tabela de Dispersão public final void insert(hashable x){ int currentpos = findpos(x); array[currentpos] = new HashEntry(x, true); if(++currentsize < array.length / 2) return; // REHASHING CODE // Save old table HashEntry [] oldarray = array; // Create a new double-sized, empty table allocatearray(nextprime(2 * oldarray.length)); currentsize = 0; // Copy table over for(int i = 0; i < oldarray.length; i++) if(oldarray[ i ]!= null && oldarray[ i ].isactive) insert(oldarray[ i ].element); return;

19 Implementação de Tabela de Dispersão public final void remove(hashable x) throws ItemNotFound{ int currentpos = findpos(x); assertfound(currentpos, ProbingHashTable remove ); array[currentpos].isactive = false; public final Hashable find(hashable x) throws ItemNotFound{ int currentpos = findpos(x); assertfound(currentpos, ProbingHashTable find ); return array[currentpos].element; private final void assertfound(int currentpos, String message) throws ItemNotFound{ if(array[currentpos] == null!array[currentpos].isactive) throw new ItemNotFound(message);

20 Implementação de Tabela de Dispersão public final void makeempty(){ currentsize = 0; for(int i = 0; i < array.length; i++) array[i] = null; public final static int hash(string key, int tablesize){ int hashval = 0; for(int i = 0; i < key.length(); i++) hashval = 37 * hashval + key.charat(i); hashval %= tablesize; if(hashval < 0) hashval += tablesize; return hashval;

21 Dispersão com teste quadrático public class QuadraticProbingTable extends ProbingHashTable{ protected final int findpos(hashable x){ int collisionnum = 0; int currentpos = x.hash(array.length); while(array[currentpos]!= null &&!array[ currentpos ].element.equals(x)){ currentpos += 2 * ++collisionnum - 1; // Compute ith probe if(currentpos >= array.length) // Implement the mod currentpos -= array.length; return currentpos;

22 Dispersão com teste quadrático public static void main(string [] args){ HashTable H = new QuadraticProbingTable(); final int NUMS = 4000; final int GAP = 37; System.out.println( Checking... no more output means success) ); try{... catch(exceptions.itemnotfound e){ System.out.println(e); try{ for(int i = GAP; i!= 0; i = (i + GAP) % NUMS) H.insert(new MyInteger(i)); for(int i = 1; i < NUMS; i+= 2) H.remove(new MyInteger(i)); for(int i = 2; i < NUMS; i+=2) H.find(new MyInteger(i)); for(int i = 1; i < NUMS; i+=2){ try{ System.out.println( OOPS!!! + H.find(new MyInteger(i))); catch(exceptions.itemnotfound e){