pior caso nas operações de manipulação é O(N) pior caso surge sistematicamente emusos correntes (ex: elementos previamente ordenados)

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1 Tabelas de Dispersão (Hash( Tables) Sumário Definição. Características. Resolução de colisões: dispersão aberta e dispersão fechada. Teste quadrático. Desempenho de tabelas de dispersão. Interface de tabela de dispersão. Implementação de tabela de dispersão fechada com teste quadrático. HASH (v2) - 1 Tabela de Dispersão Árvores binárias (de pesquisa) simples pior caso nas operações de manipulação é O(N) pior caso surge sistematicamente emusos correntes (e: elementos previamente ordenados) Tabela de dispersão pesquisa baseada na geração de um inteiro a partir da chave tempo médio constante para inserção, remoção e pesquisa não requer gestão de memória especial nemcomparação de elementos ocorrência do pior caso tem probabilidade muito baia Aplicações tabelas de símbolos dos compiladores HASH (v2) - 2

2 Resolver colisões - dispersão com listas Manter lista de elementos colocados na mesma entrada 1 lista com cabeçalho em cada entrada da tabela escolhe-se inserção a ocorrer na cabeça ou na cauda da lista eemplo com função de dispersão hash() = mod 10 e inserção na cauda: , 1, 4, 81, 64 1º último HASH (v2) - 3 Resolver colisões - dispersão aberta Perante colisão procura-se célula alternativa Tenta-se sequência de células H 0 (), H 1 (), H 2 (),... H i () = ( hash() + f(i) ) mod TamanhoTabela Teste linear: procurar sequencialmente a partir de H 0 primeira posição livre a seguir à inicial H 0 é usada - tenta-se H 0 +1, H 0 +2,... pesquisa dá a volta no fim da tabela f(i) = i Teste quadrático procurar próima posição livre a seguir a H com passo quadrático - tenta-se H , H , H ,... é preciso garantir que se pode percorrer a tabela toda - ver adiante f(i) = i 2 HASH (v2) - 4

3 Desempenho na dispersão com listas Factor de carga l razão entre o número de elementos na tabela e o tamanho da tabela Dispersão com listas comprimento médio de cada lista é λ tempo médio de pesquisa: avaliação da função de dispersão + percurso na lista - pesquisa sem sucesso: número médio de ligações a percorrer é λ - pesquisa com sucesso: número médio de ligações a percorrer é 1 + λ/2 bomdesempenho para λ próimo de 1 HASH (v2) - 5 Desempenho na Dispersão Aberta (1) Dispersão aberta com função linear - número de tentativas para inserção e para pesquisa sem sucesso: 1/2 ( 1 + 1/(1- λ) 2 ) - número de tentativas para pesquisacom sucesso: 1/2 ( 1 + 1/(1- λ) ) caso ideal (semclustering) - número de tentativas para inserção e para pesquisa sem sucesso: 1/(1- λ) - número de tentativas para pesquisacom sucesso: 1/ λ ln (1/(1- λ) ) função quadrática elimina clustering primário - na prática, eficiência próima do caso ideal λ= 0.2 Ins, Falha: 1.3 Sucesso: 1.1 λ= 0.8 Ins, Falha: 13 Sucesso: 3 λ= 0.2 Ins, Falha: 1.3 Sucesso: 1.1 λ= 0.8 Ins, Falha: 5.0 Sucesso: 2.0 HASH (v2) - 6

4 Desempenho na Dispersão Aberta (2) nº de posições acedidas para inserção e pesquisa ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 factor de carga função linear, elemento ineistente função linear, elemento eistente caso ideal (sem clustering), elemento ineistente caso ideal (sem clustering), elemento eistente com dispersão aberta, o factor de carga não deve eceder 0,5 para se garantir um bom desempenho! HASH (v2) - 7 Dispersão com Teste Quadrático Teorema Usando teste quadrático e uma tabela cujo tamanho é um número primo, um novo elemento pode sempre ser inserido se a tabela não estiver preenchida a mais de 50% -Mostra-se que as primeiras Tam/2 posições alternativas são todas distintas, por redução ao absurdo h() + i 2 (mod Tam) = h() + j 2 (mod Tam) com i j e 0 < i,j < Tam/2 h() + i 2 = h() + j 2 (mod Tam) i 2 = j 2 (mod Tam) i 2 - j 2 = 0 (mod Tam) ( i-j )( i+j ) = 0 (mod Tam) (o mesmo que ( i-j )( i+j ) = k Tam) Sendo Tam número primo, ( i-j ) ou ( i+j ) tem de ser 0 (mod Tam). Sendo i e j distintos, ( i-j ) não é 0; sendo 0 < i,j < Tam/2, ( i+j ) também não é 0. Então as primeiras Tam/2 posições alternativas são distintas HASH (v2) - 8

5 Dispersão com Teste Quadrático Teorema A geração de posições alternativas no teste quadrático pode ser feita com apenas uma multiplicação Seja H 0 a posição inicial, H i-1 a última posição calculada e H i a próima H i = H 0 + i 2 (mod Tam) H i - H i-1 = i 2 - (i-1) 2 (mod Tam) H i = H i-1 + 2i - 1 (mod Tam) O valor de H i pode assim ser obtido sem operações pesadas de multiplicação Para calcular o mod: 2i-1 é menor que Tam H i-1 + 2i - 1 ou é menor que Tam (caso em que o mod se dispensa) ou é pouco maior que Tam (caso em que o modse reduz a subtrair Tam) HASH (v2) - 9 Eliminação com Dispersão Aberta Para eliminar um elemento da tabela, marca-se como apagado, para que posteriores pesquisas funcionem correctamente 3 estados: posição ocupada, livre ou marcada como apagada posição activa: ocupada ou marcada como apagada Eemplo, com hash() = mod add(13) add(23) remove(13) contains(23) 3 marca posição como apagada como a posição está marcada como apagada, procura na posição seguinte HASH (v2) - 10

6 Tabela de Dispersão em HashSet package weiss.util; import java.io.serializable; public class HashSet etends AbstractCollection implements Set private static final int DEFAULT_TABLE_SIZE = 101; private int currentsize = 0; private int occupied = 0; private int modcount = 0; private HashEntry [ ] array; public HashSet( ) allocatearray( DEFAULT_TABLE_SIZE ); clear( ); public HashSet( Collection other ) allocatearray( other.size( ) * 2 ); clear( ); Iterator itr = other.iterator( ); while( itr.hasnet( ) ) add( itr.net( ) ); HASH (v2) - 11 Tabela de Dispersão em HashSet public int size( ) return currentsize; /** * Thismethodis not partof standard Java1.2. * Like contains, it checks if is in the set. * If it is, it returns the reference to the matching * object; otherwise it returns null. */ public Object getmatch( Object ) int currentpos = findpos( ); if( array[ currentpos ] == null ) return null; return array[ currentpos ].element; HASH (v2) - 12

7 Tabela de Dispersão em HashSet /** * Tests if some item is in this collection. any object. true if this collection contains an item equal to. */ public boolean contains( Object ) return isactive( array, findpos( ) ); /** * Tests if item in pos is active. pos a position in the hash table. arr the HashEntry array (can be oldarray during rehash). true if this position is active. */ private static boolean isactive( HashEntry [ ] arr, int pos ) return arr[ pos ]!= null && arr[ pos ].isactive; HASH (v2) - 13 Tabela de Dispersão em HashSet /** * Adds an item to this collection. */ public boolean add( Object ) int currentpos = findpos( ); if( isactive( array, currentpos ) ) return false; array[ currentpos ] = new HashEntry(, true ); currentsize++; occupied++; modcount++; if( occupied > array.length / 2 ) rehash( ); return true; HASH (v2) - 14

8 Tabela de Dispersão em HashSet /** * Private routine to perform rehashing. * Can be called by both add and remove. */ private void rehash( ) HashEntry [ ] oldarray = array; // Create a new, empty table allocatearray( netprime( 4 * size( ) ) ); currentsize = 0; occupied = 0; // Copy table over for( int i = 0; i < oldarray.length; i++ ) if( isactive( oldarray, i ) ) add( oldarray[ i ].element ); HASH (v2) - 15 Tabela de Dispersão em HashSet /** * Removes an item from this collection. */ public boolean remove( Object ) int currentpos = findpos( ); if(!isactive( array, currentpos ) ) return false; array[ currentpos ].isactive = false; currentsize--; modcount++; if( currentsize < array.length / 8 ) rehash( ); return true; HASH (v2) - 16

9 Tabela de Dispersão em HashSet public void clear( ) currentsize = occupied = 0; modcount++; for( int i = 0; i < array.length; i++ ) array[ i ] = null; public Iterator iterator( ) return new HashSetIterator( ); HASH (v2) - 17 Tabela de Dispersão em HashSet private class HashSetIterator implements Iterator private int epectedmodcount = modcount; private int currentpos = -1; private int visited = 0; public boolean hasnet( ) if( epectedmodcount!= modcount ) throw new ConcurrentModificationEception( ); return visited!= size( ); HASH (v2) - 18

10 Tabela de Dispersão em HashSet public Object net( ) if(!hasnet( ) ) throw new NoSuchElementEception( ); do currentpos++; while( currentpos < array.length &&!isactive( array, currentpos ) ); visited++; return array[ currentpos ].element; HASH (v2) - 19 Tabela de Dispersão em HashSet public void remove( ) if( epectedmodcount!= modcount ) throw new ConcurrentModificationEception( ); if( currentpos == -1!isActive( array, currentpos ) ) throw new IllegalStateEception( ); array[ currentpos ].isactive = false; currentsize--; visited--; modcount++; epectedmodcount++; HASH (v2) - 20

11 Tabela de Dispersão em HashSet private static class HashEntry implements Serializable public Object element; // the element public boolean isactive; // false if marked deleted public HashEntry( Object e ) this( e, true ); public HashEntry( Object e, boolean i ) element = e; isactive = i; HASH (v2) - 21 Tabela de Dispersão em HashSet private int findpos( Object ) int collisionnum = 0; int currentpos = ( == null )? 0 : Math.abs(.hashCode( ) % array.length ); while( array[ currentpos ]!= null ) if( == null ) if( array[ currentpos ].element == null ) break; else if(.equals( array[ currentpos ].element ) ) break; currentpos += 2 * ++collisionnum - 1; // Compute ith probe if( currentpos >= array.length ) // Implement the mod currentpos -= array.length; return currentpos; HASH (v2) - 22

12 Tabela de Dispersão em HashSet private void allocatearray( int arraysize ) array = new HashEntry[ arraysize ]; private static int netprime( int n ) if( n % 2 == 0 ) n++; for( ;!isprime( n ); n += 2 ) ; return n; HASH (v2) - 23 Tabela de Dispersão em HashSet private static boolean isprime( int n ) if( n == 2 n == 3 ) return true; if( n == 1 n % 2 == 0 ) return false; for( int i = 3; i * i <= n; i += 2 ) if( n % i == 0 ) return false; return true; HASH (v2) - 24

13 Implementação de Dicionários (maps) com Tabelas de Dispersão (1) Um dicionário, ou função finita definida em etensão (map), é um conjunto de pares (chave, valor) tal que não eistem dois pares com chaves iguais Tanto a chave como o valor podem ser de um tipo arbitrariamente compleo Eemplo: chave nº da conta; valor nome do dono da conta - É função (finita): (1, "João"), (3, "João"), (5, "Rui") chave valor - Não é função (finita) (1, "João"), (1, "Ana "), (5, "Rui") (mas é uma relação binária) chave valor HASH (v2) - 25 Implementação de Dicionários (maps) com Tabelas de Dispersão (2) Implementação com tabela de dispersão (classe HashMap) um elemento da tabela é um par (chave, valor) (classe Pair) a função de dispersão (hashcode) e a função de comparação (equals) baseiam-se apenas na chave do par as funções de pesquisa (containskey, get) e eliminação (remove) têm como argumento a chave - funções implementadas na classe abstracta MapImpl a função de inserção (put) tem como argumentos a chave e o valor - função implementada na classe abstracta MapImpl pode-se modificar o valor correspondente a uma dada chave (put) - função implementada na classe abstracta MapImpl HASH (v2) - 26

14 Tabela de Dispersão em HashMap package weiss.util; /** * Hash table implementation of the Map. */ public class HashMap etends MapImpl public HashMap( ) super( new HashSet( ) ); public HashMap( Map other ) super( other ); HASH (v2) - 27 Tabela de Dispersão em HashMap protected Map.Entry makepair( Object key, Object value ) return new Pair( key, value ); protected Set makeemptykeyset( ) return new HashSet( ); protected Set clonepairset( Set pairset ) return new HashSet( pairset ); HASH (v2) - 28

15 Tabela de Dispersão em HashMap private static final class Pair implements Map.Entry public Pair( Object k, Object v ) key = k; value = v; public Object getkey( ) return key; public Object getvalue( ) return value; HASH (v2) - 29 Tabela de Dispersão em HashMap public int hashcode( ) return key.hashcode( ); public boolean equals( Object other ) if( other instanceof Map.Entry ) return getkey( ).equals( ((Map.Entry) other).getkey() ); else return false; private Object key; private Object value; HASH (v2) - 30