Teorema de Euclides O conjunto dos números primos é infinito. O número de primos menores ou iguais a um dado x é representado

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1 Teorema de Euclides O conjunto dos números primos é infinito Definição O número de primos menores ou iguais a um dado x é representado por π(x) sendo π designada a função de distribuição, ou de contagem, de números primos exemplos: π(10) = 4, π(50) = 15, π(100) = 25, π(200) = 46 Pelo Teorema de Euclides sobre números primos, conclui-se que lim x + π(x) = + M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

2 Teorema dos Números Primos π(x) x ln x Este Teorema foi conjeturado por Legendre (1798), depois foi reescrito por Gauss e adquiriu a forma acima, e finalmente provado por Hadamard e por Valleé-Poussin (1896) Temos assim uma estimativa do valor de π(x) para cada x (M Deleglise e J Rivat, 1994) Notar que: π(10 18 ) = π(10 18 ) /ln M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

3 Exemplo de aplicação: Quantos primos existem com 20 algarismos? Se n tem 20 dígitos, então n < 10 20, pelo que π(10 20 ) π(10 19 ) 1020 ln 10 = ln M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

4 Aproximação de π(n) por n ln n n π(n) n ln n π(n) n/ln n M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

5 Teorema de Chebyshev Existem constantes c 1 e c 2 tais que c 1 para n suficientemente grande n ln n < π(n) < c n 2 ln n Por exemplo, para c 1 = 2 3 e c 2 = 17 este enquadramento é válido para n > 200 Os valores de c 1 e c 2 têm vindo a ser melhorados ao longo do tempo M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

6 n ln n A aproximação de π(n) por é uma boa aproximação para valores elevados de n O estudo do comportamento assintótico da função π(x) conduziu a vários resultados A função que a seguir se define é um outro exemplo de função permite obter melhores estimativas de π(x) para valores não muito elevados de x, mas em que o cálculo dos seus valores é mais difícil Definição Seja x > 1 Então define-se Teorema Li(x) = x 0 1 ln t dt π(x) Li(x) M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

7 Funções úteis no Mathematica: PrimePi, LogIntegral M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

8 Aproximação de π(n) por Li(n) n π(n) Li(n) π(n) Li(n) M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

9 Escolhendo ao acaso um inteiro positivo menor do que x, qual a probabilidade de escolher um número primo? Então, π(x) x π(x) lim x + x = lim 1 x + ln x = 0 À medida que se percorre o conjunto ordenado dos números naturais, os números primos tendem a ocorrer com menor frequência M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

10 n Distribuição de frequência de números primos π(n) π(n) n , , M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

11 In[1] := PrimePi[10 3 ] Out[1] = 168 In[2] := PrimePi[ ] PrimePi[10 3 ] Out[2] = 135 In[3] := PrimePi[ ] PrimePi[ ] Out[3] = 127 In[4] := PrimePi[ ] PrimePi[ ] Out[4] = 54 In[5] := PrimePi[ ] PrimePi[ ] Out[5] = 44 No entanto este decréscimo não é contínuo M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

12 Decréscimo de ocorrências de números primos Intervalo Número de primos M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

13 Decréscimo de ocorrências de números primos Intervalo Número de primos M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

14 Proposição Seja k N Existem k inteiros consecutivos que não são primos Demonstração: Para qualquer j {2,, k + 1}, (k + 1)! + j não é primo, porque é divisível por j Exemplo No intervalo [1001! + 2, 1001! ] não há números inteiros primos Postulado de Bertrand Para todo o inteiro positivo m existe um primo entre m e 2m Mais, tem-se que π(2m) π(m) > m 3ln(2m) Este resultado foi conjeturado por JFBertrand e provado por Chebyshev em 1850 M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

15 O menor intervalo entre primos verifica-se entre os números 2 e 3, após o que um intervalo entre primos tem no mínimo comprimento 2, como por exemplo entre 5 e 7 Definição Se p e p + 2 são dois números inteiros primos, então tais números designam-se primos gémeos Definição Dado x um número real, o número de pares de primos gémeos (p, p + 2) em que p x é representado por π 2 (x) Definição Seja x > 1 e considere-se que (p, p + 2) representa um qualquer par de primos gémeos Então define-se L 2 (x) = 2 p 3 p(p 2) x (p 1) ln 2 t x dt ln 2 t dt M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

16 n π 2 (n) L 2 (n) π 2 (n) L 2(n) Conjetura Existe uma infinidade de primos gémeos, isto é lim x + π 2 (x) = + π 2 (x) L 2 (x) M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

17 Teorema (Clemant, 1949) Seja n 2 O par de inteiros (p, p + 2) é um par de primos gémeos se e só se 4((p 1)! + 1) + p 0(mod p(p + 2)) No entanto esta caraterização dos primos gémeos não fornece um método para calcular primos gémeos Maiores primos gémeos Primos gémeos N dígitos Ano ± ± ± ± M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

18 Sequências especiais de números primos Uma progressão aritmética de n primos é uma sequência de números primos do tipo p, p + d, p + 2d,, p + (n 1)d em que p é o primeiro termo, d é a amplitude constante dos intervalos entre termos e p + (n 1)d é o último termo Exemplo 5, 11, 17, 23, 29 Três grandes progressões aritméticas de primos n p d Ano M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

19 Sequências especiais de números primos Até à data a maior progressão aritmética conhecida tem comprimento 26 e o primeiro elemento é (ver dsl522332/math/aprecordshtm) Teorema (Green-Tao, 2004) Existem progressões aritméticas finitas arbitrariamente longas M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

20 Sequências especiais de números primos Proposição Existe uma infinidade de primos da forma 4k + 3 Demonstração: Por contradição supondo que há um número finito n de primos p 1,, p n deste tipo e estudando os fatores primos de m = 4p 1 p n 1 Exercício Mostre que existe uma infinidade de primos da forma 3k + 2 Teorema - Dirichlet,1837 Se a e b são primos entre si, então existe uma infinidade de primos da forma ak + b M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

21 Números de Fermat Lema Se 2 m + 1 é primo, então m = 2 n para algum inteiro n 0 Demonstração: Se m não é do tipo 2 n, então é do tipo 2 n q para q > 1 número ímpar O polinómio y q + 1 que é divisível por y + 1 e fazendo a mudança de variável y = x 2n conclui-se que x 2n + 1 é fator próprio de x m + 1 Caso x = 2, conclui-se que 2 2n m + 1 o que é impossível pois 2 m + 1 é primo M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

22 Números de Fermat Definição Os números do tipo F n = 2 2n +1 designam-se números de Fermat Os números de Fermat que são primos designam-se primos de Fermat Exemplos Os números de Fermat F 0 = 3 F 1 = 5 F 2 = 17 F 3 = 257 F 4 = são primos F 5 = = é composto F 14 não é primo (demonstrado em 1963, mas a fatorização de F 14 só foi conhecida em 2010) M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

23 Números de Fermat Lema Números de Fermat distintos são primos entre si Demonstração: Para k > 0, o polinómio x + 1 divide o polinómio x 2k 1 Fazendo x = 2 2n, resulta que F n F n+k 2 Logo, d = mdc(f n, F n+k ) 2 e, como os números de Fermat são ímpares, então d = 1 M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

24 Números de Mersenne Teorema Se m > 1 e a m 1 é primo, então a = 2 e m é primo Demonstração: Se a > 2, então a m 1 = (a 1)(a m 1 + a m ) pelo que a m 1 é composto Logo a = 2 Se m = r s com r, s > 1, então a m 1 = (a r ) s 1 = (a r 1)((a r ) s ) pelo que a m 1 é composto Logo m é primo O recíproco deste teorema não é válido M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

25 Números de Mersenne Definição Os números do tipo M p = 2 p 1, onde p é primo, designamse números de Mersenne Os números de Mersenne que são primos designam-se primos de Mersenne Exemplos Os números de Mersenne M 2 = 3 M 3 = 7 M 5 = 31 M 7 = 127 são primos M 11 = 2047 = é composto M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC

26 Números de Mersenne Lema Números de Mersenne distintos são primos entre si Problemas em aberto: Existe uma infinidade de primos de Fermat? Existe uma infinidade de primos de Mersenne? Curiosidades sobre números primos: dsl522332/math/aprecordshtm M Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC