Sobre números primos

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1 Sobre números primos Profs.: Joaby de Souza Jucá & Thaynara Arielly de Lima Universidade Federal de Goiás 23 de outubro de 2014

2 1 Introdução 2 Resultados preliminares 3 Sobre distribuição dos números primos 4 Conjecturas 5 Referências

3 Introdução O que é um número primo? Números primos Um número p N é denominado primo, se p > 1 e seus únicos divisores são p e 1.

4 Introdução O que é um número primo? Números primos Um número p N é denominado primo, se p > 1 e seus únicos divisores são p e 1. Exemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13,... são números primos.

5 Introdução O estudo surgiu na Grécia, em aproximadamente 500a.C., com os Pitagóricos; A palavra primo vem de primário ; aquele que não pode ser gerado de outros números; Na obra de Euclides Os Elementos (aproximadamente 300a.C.) já haviam vários resultados acerca dos números primos. No Volume IX, de Os Elementos, consta a demonstração da infinitude dos primos (uma das primeiras por redução ao absurdo).

6 Introdução Euclides também forneceu a prova do Teorema Fundamental da Aritmética. Os livros VII, VIII e IX de Os Elementos são basicamente dedicados à Teoria dos Números; Em cerca de 200a.C. o grego Eratóstenes de Cirene desenvolveu um crivo (Crivo de Eratóstenes) para calcular primos não muito grandes.

7 Introdução No início do século XVII recomeçam a surgir importantes descobertas sobre números primos. Pequeno Teorema de Fermat Se p é um número primo, então para todo inteiro a, tem-se que a p a é divisível por p. Para a = 2, o resultado já era conhecido cerca de 2000 anos antes (Hipótese Chinesa). Afirmava-se também que a recíproca era verdadeira. Fermat estendeu tal resultado e mostrou que a recíproca era falsa é divisível por 341 =

8 Introdução Fermat achou ter descoberto uma fórmula para os primos: F n = 2 2n + 1, n N Funciona para n = 0, 1, 2, 3, 4 Mais de 100 anos depois, Euler prova que F 5 = = é divisível por 641.

9 Introdução Números de Mersenne Os números da forma M n = 2 n 1 são conhecidos como números de Mersenne.

10 Introdução Números de Mersenne Os números da forma M n = 2 n 1 são conhecidos como números de Mersenne. Marin Mersenne ( ) sabia que: Se n é composto, então M n também será composto; Se n é primo, M n nem sempre é primo ( = 2047 = é composto). Em 1644, Mersenne afirmou que M n era primo para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257 e composto para os demais primos menores que 257.

11 Introdução Números de Mersenne Os números da forma M n = 2 n 1 são conhecidos como números de Mersenne. Marin Mersenne ( ) sabia que: Se n é composto, então M n também será composto; Se n é primo, M n nem sempre é primo ( = 2047 = é composto). Em 1644, Mersenne afirmou que M n era primo para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257 e composto para os demais primos menores que 257. Em 1886, provou-se que M 61 era primo. Além de M 61, também são primos M 89 e M 107 e os números M 67 e M 257 são compostos. Até 1952, o maior primo conhecido era M 127. Atualmente, o maior primo de Mersenne é M

12 Introdução Já no século XVIII, Legendre e Gauss trouxeram novos avanços à Teoria dos Números. Muitos esforços também foram empreendidos a fim de achar uma boa aproximação para π(x), a função que dá a quantidade de primos menores que ou iguais a x; Esse é um dos problemas mais importantes da Teoria dos Números. Gauss foi o primeiro matemático a fazer alguns avanços neste sentido. Ele estimou Já Legendre estimou π(x) π(x) x 2 1 lnt dt. x lnx 1, A fórmula de Gauss prevalecia sobre a de Legendre e se mostrou equivalente ao Teorema do Número Primo, que veremos mais adiante.

13 Resultados preliminares O que é um número primo? Números primos Um número p N é denominado primo, se p > 1 e seus únicos divisores são p e 1.

14 Resultados preliminares O que é um número primo? Números primos Um número p N é denominado primo, se p > 1 e seus únicos divisores são p e 1. Exemplo 2, 3, 5, 7 são números primos.

15 Resultados preliminares O que é um número primo? Números primos Um número p N é denominado primo, se p > 1 e seus únicos divisores são p e 1. Exemplo 2, 3, 5, 7 são números primos. Denota-se por P = {p N p é primo} o conjunto de todos os números primos.

16 Resultados preliminares Podemos dizer que { a, b N : p = ab p P a = p e b = 1 ou a = 1 e b = p

17 Resultados preliminares Podemos dizer que { a, b N : p = ab p P a = p e b = 1 ou a = 1 e b = p Números compostos Um número n > 1 que não é primo é dito composto.

18 Resultados preliminares Podemos dizer que { a, b N : p = ab p P a = p e b = 1 ou a = 1 e b = p Números compostos Um número n > 1 que não é primo é dito composto. Exemplo 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14,... são números compostos.

19 Resultados preliminares Lema Seja p P. Então, a, b N, se p ab então p a ou p b.

20 Resultados preliminares Lema Seja p P. Então, a, b N, se p ab então p a ou p b = 3.4 Pelo Lema anterior, 3 3 ou 3 4.

21 Resultados preliminares Teorema Fundamental da Aritmética Teorema Fundamental da Aritmética i) Todo número 1 < n N é produto de números primos, ou seja, existem p 1, p 2,..., p r P tais que n = p 1 p 2... p r ;

22 Resultados preliminares Teorema Fundamental da Aritmética Teorema Fundamental da Aritmética i) Todo número 1 < n N é produto de números primos, ou seja, existem p 1, p 2,..., p r P tais que n = p 1 p 2... p r ; ii) Se p 1 p 2... p r = q 1 q 2... q s com p 1, p 2,..., p r, q 1, q 2,..., q s P e se p 1 p 2... p r e q 1 q 2... q s, então r = s e p i = q i, i = 1,..., r.

23 Resultados preliminares Seja τ(n) = {t N t divide n} a quantidade de divisores naturais de n. r Então, se n N é escrito como n = (decomposição primária de n), com p 1, p 2,, p r primos distintos e a 1, a 2,, a r N, temos que τ(n) = k=1 p a k k r (a k + 1). k=1 Exemplo: n = 60 = Temos que os divisores de n são 1, 2, 2 2, 3, 5, 2 3, 2 5, 2 2 3, 2 2 5, 2 3 5, e 3 5 cuja quantidade é (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12.

24 Resultados preliminares Consequência: Seja n N. Então, n é um quadrado perfeito se, e somente se, τ(n) é ímpar.

25 Resultados preliminares Consequência: Seja n N. Então, n é um quadrado perfeito se, e somente se, τ(n) é ímpar. Exemplo Para n = 25 = 5 2, temos que τ(n) = = 3 é ímpar. A decomposição primária é útil para determinar o mdc e o mmc de dois números.

26 Resultados preliminares Proposição: r Sejam n = k=1 p a k k e m = r k=1 p b k k, com a k, b k N 0. Então, mdc(m, n) = mmc(m, n) = r k=1 r k=1 p min(a k,b k ) k p max(a k,b k ) k Exemplo: Considere os números n = 15 = e m = 20 = Então, mdc(15, 20) = = 5 e mmc(15, 20) = = 60.

27 Sobre distribuição dos números primos Distribuição dos números primos Teorema de Euclides O conjunto P dos números primos é infinito. Demonstração: Sejam os números primos que tenham sido propostos A, B, C; digo que os números primos são mais numerosos que os A, B, C. Fique, pois, tomado o menor medido por A, B, C e seja o DE, e fique acrescida a unidade DF ao DE. Então, o EF ou é primo ou não. Primeiramente, seja primo; portanto, os números A, B, C, EF achados são mais numerosos que os A, B, C. Mas então, não seja primo o EF ; portanto, é medido por algum número primo. Seja medido pelo primo G; Digo que G não é o mesmo que algum dos A, B, C. Pois, se possível, seja. Mas os A, B, C, medem DE; portando, o G também medirá o DE. E também mede o EF ; e o G, sendo um número, medirá a unidade DF restante; o que é absurdo. Portanto, o G não é o mesmo que algum dos A, B, C. E foi suposto primo. Portanto, os números primos achados, A, B, C, G são mais numerosos do que a quantidade que tenha sido proposta A, B, C; o que era preciso provar.

28 Sobre distribuição dos números primos Proposição: Sejam n, r, s N tais que n = rs com 1 s r n. Então, (a) temos que s n r e (b) se n for composto, então existem r, s N tais que 1 < s n r < n e n = rs. Proposição: Se n N é composto, então é divisível por algum primo p n.

29 Sobre distribuição dos números primos CRIVO DE ERATÓSTENES: Desejamos determinar os primos n para um dado 2 n N. Tomemos os números 2, 3, 4, 5,, n. (1) Guardamos o 2 como primo e riscamos todos os pares 4 2k n. (2) Guardamos o 3 e riscamos todos os múltiplos de 3 com 6 3k n. (3) Guardamos o 5 e riscamos todos os múltiplos de 5 com 10 5 n.. Depois de riscar todos os primos até o maior primo p n sobram somente os números primos até n. Consequência: Para se verificar se um dado número é primo ou composto, só é preciso testar como possíveis divisores os primos p n. Se nenhum deles divide n, n será primo. Exemplo: Para se verificar se um n 100 é primo ou não, teste se 2 n, 3 n, 5 n e 7 n.

30 Sobre distribuição dos números primos Proposição Para o n- ésimo número primo p n vale a estimativa p n 2 2n 1 Uma melhor estimativa é dado pelo Teorema de Tchebychef: Para 2 m N temos que sempre existe um primo p com m < p 2m. Exemplo: 2 < 3 4, 3 < 5 6, 4 < 5 8, Consequência: Para o n-ésimo número primo p n vale a estimativa p n 2 n.

31 Sobre distribuição dos números primos Definição: Para todo 0 x R define-se a função π(x) por π(x) = {p P p x}, isto é, π(x) é a quantidade de primos menores que ou iguais a x. Exemplo: π(x) = 0, se 0 x < 2; π(x) = 1, se 2 x < 3; π(x) = 2, se 3 x < 5;

32 Sobre distribuição dos números primos Teorema dos números primos: π(x) lim x x = 1. lnx Obs: Isto quer dizer que, se x é grande, a quantidade de números primos menores que ou iguais a x é dada com aproximação cada vez melhor por x lnx.

33 Sobre distribuição dos números primos x Se pensarmos que, significa que os números primos ocorrem ln x com densidade média 1 no intervalo que vai de 1 a x, nota-se que ln x tal densidade média decresce à medida que x cresce: os números primos ficam cada vez mais raros à medida que avançamos nos números naturais; Como a afirmação anterior deve ser entendida na média, podem existir concentrações de números primos em certos lugares e ausência deles ou outros lugares.

34 Sobre distribuição dos números primos Deserto de números primos Dado um número natural n, seu fatorial n! = n (n 1) é divisível por todos os números 2, 3,..., n 1, n; Além disso n! + n é divisível por n; Logo, todos os números n! + 2, n! + 3, n! + 4,..., n! + n são compostos. Como n é arbitrário pode-se obter um deserto de números primos tão grande quanto se queira!

35 Conjecturas Conjectura dos Primos Gêmeos Definição: Um par de números (p, p + 2) é denominado primos gêmeos se ambos, p e p + 2, são primos. Exemplos: (3, 5), (5, 7), (11, 13) e (71, 73) são primos gêmeos. Conjectura dos Primos Gêmeos Existem infinitos primos gêmeos.

36 Conjecturas Conjectura dos Primos Gêmeos Em 2005, o matemático americano Daniel Goldston juntamente com dois dos seus estudantes, János Pintz e Cem Yildirim provaram a existência de infinitos pares de primos que distam, no máximo, 16 unidades um do outro, desde que seja válida a Conjectura de Elliott-Halberstam. A Conjectura de Elliott-Halberstam trata da distribuição de números primos em progressões aritméticas.

37 Conjecturas Conjectura dos Primos Gêmeos Recentemente Yitang Zhang, um matemático da Universidade de New Hampshire, provou que existem infinitos pares de primos que distam um do outro de no máximo 70 milhões. Apresentou o trabalho em uma pequena audiência na Universidade de Harvard em 13 de maio de 2013 e submeteu um artigo para Annals of Mathematics.

38 Conjecturas Conjectura de Goldbach Em 1742, Goldbach, em uma carta escrita para Euler, sugere que todo número par, maior do que dois, é a soma de dois números primos. Exemplo 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5,... A Conjectura de Goldbach ainda é um problema em aberto.

39 Conjecturas Conjectura de Goldbach Conjectura fraca de Goldbach Todo número ímpar maior do que 7 pode ser expresso como soma de três números primos ímpares. Conjectura fraca de Goldbach é uma consequência da Conjectura de Goldbach O matemático russo Ivan Vinogradov provou em 1937 que o resultado é válido para números ímpares suficientemente grandes. A cota atual é que a conjectura é válida para todo ímpar n > ; Em 13 de maio de 2013, o matemático peruano Harald Andrés Helfgott, da École Normale Supériure em Paris, submeteu em um artigo, no qual diz ter provado a Conjectura fraca de Goldbach (Última vez revisado em 14 de abril deste ano).

40 Referências Referências Rudolf R. Maier. Teoria dos Números, notas de Aula. maierr/tnotas.pdf. Fabio E. Brochero Martinez & Carlos Gustavo T. de A. Moreira & Nicolau C. Saldanha & Eduardo Tengan. Teoria dos Números: Um Passeio com Primos e Outros Números Familiares Pelo Mundo Inteiro. 3ed H. A. Helfgott. Major arcs for Goldbach s problem.