Álgebra I Israel. Bárbara Lopes Amaral. 19 de novembro de Universidade Federal de Minas Gerais. Fatoração de Polinômios. Lagrange.
|
|
|
- Afonso Domingos Carrilho
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Álgebra I Israel Lopes Amaral Universidade Federal de Minas Gerais 19 de novembro de 2007
2 Lagange Lema Fatora polinômios em Z[x], utilizando uma idéia bastante simples. Esse método não é muito eficiente. Se n 0, n 1,..., n d são inteiros distintos e s 0, s 1,..., s d são inteiros arbitrários então existe um único q(x) Q[x] de grau menor ou igual a d tal que q(n i ) = s i para todo i.
3 Suponhamos que o polinômio h(x) seja um fator de f (x). f (x) = h(x)h (x) f (n i ) = h(n i )h (n i )
4 Suponhamos que o polinômio h(x) seja um fator de f (x). f (x) = h(x)h (x) f (n i ) = h(n i )h (n i ) Escolhemos os inteiros n 0, n 1,..., n d e calculamos f (n i ) para cada i. Sabemos que h(n i ) divide f (n i ) e por isso temos um número finito de possibilidades para h(n i ). Agora testamos todas as combinações possíveis!
5 Berlenkamp Fatora polinômios em Z p [x], p primo.
6 Berlenkamp Fatora polinômios em Z p [x], p primo. Todo polinômio em Z p [x] pode ser fatorado em um número finito de passos, porque existe um número finito de polinômios de grau menor ou igual a d.
7 Berlenkamp Fatora polinômios em Z p [x], p primo. Todo polinômio em Z p [x] pode ser fatorado em um número finito de passos, porque existe um número finito de polinômios de grau menor ou igual a d. Testar um a um: não é eficiente.
8 Berlenkamp Fatora polinômios em Z p [x], p primo. Todo polinômio em Z p [x] pode ser fatorado em um número finito de passos, porque existe um número finito de polinômios de grau menor ou igual a d. Testar um a um: não é eficiente. O método de fatora o polinômio traduzindo o problema para a resolução de um sistema linear e alguns mdc s.
9 Dado f (x) Z p [x], queremos encontrar g(x) Z p [x] tal que f divida g p g e deg(g) d 1.
10 Dado f (x) Z p [x], queremos encontrar g(x) Z p [x] tal que f divida g p g e deg(g) d 1. Se isso for possível, estamos bem! PEQUENO TEOREMA DE FERMAT: Para todo a Z e todo p Z primo temos a p = a (mod p).
11 Dado f (x) Z p [x], queremos encontrar g(x) Z p [x] tal que f divida g p g e deg(g) d 1. Se isso for possível, estamos bem! PEQUENO TEOREMA DE FERMAT: Para todo a Z e todo p Z primo temos a p = a (mod p). O polinômio h(x) = x p x tem p raízes distintas em Z p [x]. h(x) = x(x 1)... (x (p 1)).
12 Se g existir... Temos então g(x) p g(x) = g(x)[g(x) 1]... [g(x) (p 1)].
13 Se g existir... Temos então g(x) p g(x) = g(x)[g(x) 1]... [g(x) (p 1)]. Como f g p g temos que mdc(f, g p g) = f.
14 Se g existir... Temos então g(x) p g(x) = g(x)[g(x) 1]... [g(x) (p 1)]. Como f g p g temos que mdc(f, g p g) = f. Usando o fato de que se mdc(a, b) = 1 então mdc(f, ab) = mdc(f, a)mdc(f, b) temos: f (x) = p 1 k=0 mdc(f (x), g(x) k).
15 ...fatoramos f! TEOREMA 1: Seja f (x) Z p [x] de grau d e g(x) Z p de grau menor ou igual a d 1 tal que f (x) g(x) p g(x). Então f (x) = p 1 k=0 mdc(f (x), g(x) k) é uma fatoração não trivial de f (x).
16 Como encontrar g? É possível obter g? SIM!
17 Como encontrar g? É possível obter g? SIM! Como encontrar g? Resolvendo um sistema de equações lineares!
18 Como encontrar g? É possível obter g? SIM! Como encontrar g? Resolvendo um sistema de equações lineares! Ax = 0 As soluções serão os coeficientes de g.
19 ... Suponhamos g(x) = b 0 + b 1 x b d 1 x d 1
20 ... Suponhamos g(x) = b 0 + b 1 x b d 1 x d 1 Como Z p é um corpo de característica p: g p (x) = b p 0 + bp 1 x p b p d 1 x p(d 1) = b 0 + b 1 x p b d 1 x p(d 1) (1)
21 ... Suponhamos g(x) = b 0 + b 1 x b d 1 x d 1 Como Z p é um corpo de característica p: g p (x) = b p 0 + bp 1 x p b p d 1 x p(d 1) = b 0 + b 1 x p b d 1 x p(d 1) (1) Algoritmo da divisão: x ip = f (x)q i (x) + R i (x) (2) R i (x) = R i0 + R i1 x R i(d 1) x d 1
22 ... Substituindo (2) em (1) e subtraindo g de ambos os termos temos: g(x) p g(x) = b 0 R 0 (x) b d 1 R d 1 g(x) + }{{} grau d 1 f (x)(b 0 q 0 (x) b d 1 q d 1 (x))
23 ... Substituindo (2) em (1) e subtraindo g de ambos os termos temos: g(x) p g(x) = b 0 R 0 (x) b d 1 R d 1 g(x) + }{{} grau d 1 f (x)(b 0 q 0 (x) b d 1 q d 1 (x)) Como f g p g, b 0 R 0 (x) b d 1 R d 1 g(x) = 0.
24 Coeficientes de g Colecionando os termos b 0 R 00 + b 1 R b d 1 R (d 1)0 b 0 = 0 b 0 R 01 + b 1 R b d 1 R (d 1)1 b 1 = 0 b 0 R 0(d 1) + b 1 R 1(d 1) b d 1 R (d 1)(d 1) b d 1 = 0 (Q I ) b 0 b 1. b d 1. =
25 Sistema linear Q = (Q I ) b 0 b 1. b d 1 = R 00 R 10 R (d 1)0 R 01 R 11 R (d 1) R 0(d 1) R 1(d 1) R (d 1)(d 1)
26 Teorema 2 Para encontrar g tal que f g p g, devemos resolver o sistema linear b 0 0 b 1 0 (Q I ). b d 1 =. 0. Se encontarmos uma solução com deg(g) 1, então g(x) s e f (x) têm um fator comum de grau maior ou igual a um.
27 Vamos fatorar f (x) = 1 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 Z 2 [x]. Aqui temos d = 6.
28 Vamos fatorar f (x) = 1 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 Z 2 [x]. Aqui temos d = 6. PRIMEIRO PASSO: Dividir x 2i por f, i = 0, 1,..., 5. x 0 = 0.f (x) + 1 = R 0 = 1 x 2 = 0.f (x) + x 2 = R 1 = x 2 x 4 = 0.f (x) + x 4 = R 2 = x 4 x 6 = 1.f (x)+x 5 +x 4 +x 3 +1 = R 3 = x 5 +x 4 +x 3 +1 x 8 = (x 2 + x).f (x) + x 4 + x 2 + x = R 4 = x 4 + x 2 + x x 10 = (x 4 + x 3 + 1).f (x) + x = R 5 = x 5 + 1
29 SEGUNDO PASSO: Resoluçaõ do sistema linear Q = (Q I ) b 0 b 1. b d 1 =
30 Resolução do sistema: b 3 + b 5 = 0 b 1 + b 4 = 0 b 1 + b 2 + b 4 = 0 b 3 + b 5 = 0 b 2 + b 3 = 0 b 3 = 0 g(x) = x 4 + x
31 Resolução do sistema: b 3 + b 5 = 0 b 1 + b 4 = 0 b 1 + b 2 + b 4 = 0 b 3 + b 5 = 0 b 2 + b 3 = 0 b 3 = 0 g(x) = x 4 + x TERCEIRO PASSO: Cálculo dos mdc s. f (x) = mdc(f, x 4 +x)(f, x 4 +x+1) = (x 2 +x+1)(x 4 +x+1).
32 Resolução do sistema: b 3 + b 5 = 0 b 1 + b 4 = 0 b 1 + b 2 + b 4 = 0 b 3 + b 5 = 0 b 2 + b 3 = 0 b 3 = 0 g(x) = x 4 + x TERCEIRO PASSO: Cálculo dos mdc s. f (x) = mdc(f, x 4 +x)(f, x 4 +x+1) = (x 2 +x+1)(x 4 +x+1). O algoritmo utiliza O(pd 3 ) operações.
33 para fatoração em Z[x] Desde o desenvolvimento do algoritmo de Berlekamp para fatoração em Z p [x], os algoritmos de fatoração em Z[x] se baseiam no seguinte procedimento:
34 para fatoração em Z[x] Desde o desenvolvimento do algoritmo de Berlekamp para fatoração em Z p [x], os algoritmos de fatoração em Z[x] se baseiam no seguinte procedimento: 1 Reduzir ao caso em que o polinômio f não possui potências.
35 para fatoração em Z[x] Desde o desenvolvimento do algoritmo de Berlekamp para fatoração em Z p [x], os algoritmos de fatoração em Z[x] se baseiam no seguinte procedimento: 1 Reduzir ao caso em que o polinômio f não possui potências. 2 Escolher um primo p adequado e fatorar f p = f mod p em Z p [x].
36 para fatoração em Z[x] Desde o desenvolvimento do algoritmo de Berlekamp para fatoração em Z p [x], os algoritmos de fatoração em Z[x] se baseiam no seguinte procedimento: 1 Reduzir ao caso em que o polinômio f não possui potências. 2 Escolher um primo p adequado e fatorar f p = f mod p em Z p [x]. 3 Refinar a fatoração de f mod p em uma fatoração de f mod p n para um n suficientemente grande.
37 para fatoração em Z[x] Desde o desenvolvimento do algoritmo de Berlekamp para fatoração em Z p [x], os algoritmos de fatoração em Z[x] se baseiam no seguinte procedimento: 1 Reduzir ao caso em que o polinômio f não possui potências. 2 Escolher um primo p adequado e fatorar f p = f mod p em Z p [x]. 3 Refinar a fatoração de f mod p em uma fatoração de f mod p n para um n suficientemente grande. 4 Checar se essa fatoração resulta em um fator de f em Z[x].
38 para fatoração em Z[x] Desde o desenvolvimento do algoritmo de Berlekamp para fatoração em Z p [x], os algoritmos de fatoração em Z[x] se baseiam no seguinte procedimento: 1 Reduzir ao caso em que o polinômio f não possui potências. 2 Escolher um primo p adequado e fatorar f p = f mod p em Z p [x]. 3 Refinar a fatoração de f mod p em uma fatoração de f mod p n para um n suficientemente grande. 4 Checar se essa fatoração resulta em um fator de f em Z[x]. O algoritmo utiliza O(log(d) 2 d 4 ) operações.
39 Daniela Paula Faria, inteiros e polinômios: métodos computacionais, Monografia de Especialização em Matemática orientada pela professora Cristina Maria Marques. Maurice Mignotte, Mathematics for Computer Algebra, Springer-Verlag.
Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x
EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a
Técnicas de. Integração
Técnicas de Capítulo 7 Integração TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nessa seção, vamos aprender como integrar funções racionais reduzindo-as a uma soma de
Definição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n
POLINÔMIO I 1. DEFINIÇÃO Polinômios de uma variável são expressões que podem ser escritas como soma finita de monômios do tipo : a t k k onde k, a podem ser números reais ou números complexos. Exemplos:
Portal da OBMEP. Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano
Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, estudaremos métodos para
Resolução dos Exercícios 31/05-09/06.
Resolução dos Exercícios 31/05-09/06. 1. Seja A um domínio de integridade. Mostre que todo subgrupo finito de U(A) é cíclico. Seja K o corpo de frações de A. Então A é um subanel de K (identificado com
Determinação de raízes de polinômios: Método de Briot-Ruffini-Horner
Determinação de raízes de polinômios: Método de Briot-Ruffini-Horner Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 29 de outubro de 2012 Baseado no livro Cálculo Numérico, de Neide B. Franco Marina Andretta/Franklina
Algoritmos. OBMEP Teoria dos números - Parte I. Algoritmo da divisão:
OBMEP Teoria dos números - Parte I Elaine Pimentel 1 o Semestre - 2006 Algoritmos Algoritmo = processo de cálculo baseado em regras formais Especificação de um algoritmo: entrada + instruções + saída Perguntas:
APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA Potenciação Radiciação Fatoração Logaritmos Equações Polinômios Trigonometria
APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA Potenciação Radiciação Fatoração Logaritmos Equações Polinômios Trigonometria O que é preciso saber (passo a passo) Seja: Potenciação O expoente nos diz quantas vezes à base
Polinômios irredutíveis
Polinômios irredutíveis Sérgio Tadao Martins 23 de janeiro de 2009 1 Introdução: polinômios em uma variável Um polinômio de grau n em uma variável x é uma expressão da forma p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x
Algoritmo da divisão em k[x] 2
![Algoritmo da divisão em k[x] 2](/thumbs/62/47034691.jpg "Algoritmo da divisão em k[x] 2")
AULA Algoritmo da divisão em k[x] 2 META: Introduzir um algoritmo de divisão para anéis de polinômios definidos sobre corpos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Aplicar o algoritmo
Criptografia e Segurança de Rede Capítulo 4. Quarta Edição por William Stallings
Criptografia e Segurança de Rede Capítulo 4 Quarta Edição por William Stallings Capítulo 4 Corpos Finitos Na manhã seguinte, ao nascer o dia, Star entrou em casa, aparentemente ávida por uma lição. Eu
a) Falsa. Por exemplo, para n = 2, temos 3n = 3 2 = 6, ou seja, um número par.
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 01 a) Falsa. Por exemplo, para n =, temos 3n = 3 = 6, ou seja, um número par. b) Verdadeira. Por exemplo, para n = 1, temos n = 1 =, ou seja, um
PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL. Introdução Considere f uma função, não constante, de uma variável real ou complexa, a equação f(x) = 0 será denominada equação de uma incógnita. EXEMPLO e x + senx
, com k 1, p 1, p 2,..., p k números primos e α i, β i 0 inteiros, as factorizações de dois números inteiros a, b maiores do que 1.
Como seria de esperar, o Teorema Fundamental da Aritmética tem imensas consequências importantes. Por exemplo, dadas factorizações em potências primas de dois inteiros, é imediato reconhecer se um deles
Definimos a soma de seqüências fazendo as operações coordenada-a-coordenada:
Aula 8 polinômios (Anterior: chinês. ) 8.1 séries formais Fixemos um anel A. Denotaremos por A N o conjunto de todas as funções de N = {, 1, 2,... } a valores em A. Em termos mais concretos, cada elemento
Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais
Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais 1. Verifique, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: 6 4 0x 54x + 3x + é divisível por x 1.. De um modo geral, que relação
NÚMEROS INTEIROS. Álgebra Abstrata - Verão 2012
NÚMEROS INTEIROS PROF. FRANCISCO MEDEIROS Álgebra Abstrata - Verão 2012 Faremos, nessas notas, uma breve discussão sobre o conjunto dos números inteiros. O texto é basicamente a seção 3 do capítulo 1 de
A resolução desses problemas pode geralmente ser feita com o seguinte procedimento: Problemas de divisibilidade 1
Três VIPs da Teoria dos Números É claro, VIP significa Very Important Problems. Os problemas discutidos aqui, além de suas variações, são bastante comuns em Olimpíadas de Matemática e costumam ser resolvidos
Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides
Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides 1 Máximo Divisor Comum Definição 1.1 Sendo a um número inteiro, D a indicará o conjunto de seus divisores positivos,
1 INTRODUÇÃO 3 RELAÇÕES DE GIRARD 2 SOMAS DE GIRARD. Exercício Resolvido 1. Matemática Polinômios CAPÍTULO 04 RELAÇÕES DE GIRARD
Matemática Polinômios CAPÍTULO 04 RELAÇÕES DE GIRARD 1 INTRODUÇÃO Aprendemos, até agora, a resolver equações do primeiro e do segundo grau. Nossa meta, agora, é encontrar maneiras de resolver equações
AO VIVO MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho 3 de maio, 2016 EQUAÇÕES IRRACIONAIS
MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho de maio, 016 EQUAÇÕES IRRACIONAIS Na resolução das equações irracionais, onde a incógnita se encontra sob um radical de índice dois, seremos obrigados a elevar ao quadrado
Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios sugeridos
MAT 1351 Cálculo para funções uma variável real I Curso noturno de Licenciatura em Matemática 1 semestre de 2016 Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios
O problema proposto possui alguma solução? Se sim, quantas e quais são elas?
PROVA PARA OS ALUNOS DE 3º ANO DO ENSINO MÉDIO 1) Considere o seguinte problema: Vitor ganhou R$ 3,20 de seu pai em moedas de 5 centavos, 10 centavos e 25 centavos. Se recebeu um total de 50 moedas, quantas
Exemplos: Os números 12, 18 e 30 têm conjuntos de divisores respectivamente iguais a:
Lista de atividades sobre MDC. Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum e o mıınimo múltiplo comum de números naturais, bem como algumas de suas propri edades.
Álgebra A - Aula 02 Teorema da fatoração única, Propriedade fundamental dos primos, números primos
Álgebra A - Aula 02 Teorema da fatoração única, Propriedade fundamental dos primos, números primos Elaine Pimentel Departamento de Matemática, UFMG, Brazil 2 o Semestre - 2010 Teorema da fatoração única
Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho
Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Verifique que os conjuntos V abaixo com as operações dadas não são espaços vetoriais explicitando a falha em alguma das propriedades.
1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios
Matemática Polinômios CAPÍTULO 02 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 1 INTRODUÇÃO Como com qualquer outra função, podemos fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios. A soma e a
Aula 03: Potenciação, Radiciação, Expressões Algébricas, Fatoração e Produtos Notáveis.
Aula 03: Potenciação, Radiciação, Expressões Algébricas, Fatoração e Produtos Notáveis. GST1073 Fundamentos de Matemática Fundamentos de Matemática Aula 3 - Potenciação, Radiciação, Expressões Algébricas,
Aula 05 - Erivaldo MATEMÁTICA BÁSICA
Aula 05 - Erivaldo MATEMÁTICA BÁSICA Principais produtos notáveis I- (a + b).(a b) = a 2 a.b + b.a b 2 I- (a + b).(a b) = a 2 b 2 O Produto de uma soma por uma diferença resulta no quadrado do primeiro
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 016. Gabarito Questão 01 [ 1,00 ] A secretaria de educação de um município recebeu uma certa quantidade de livros para distribuir entre as escolas
Polinómios. Integração de Fracções Racionais
Polinómios. Integração de Fracções Racionais Escola Superior de Tecnologia e de Gestão, Instituto Politécnico de Bragança. Mário Abrantes 2016 1 / 17 Índice de Matérias 1. Polinómios Denição Factorização
Matemática para Ciência de Computadores
Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes lfa@ncc.up.pt DCC-FCUP Complexidade 2002/03 1 Inteiros e divisão Definição: Se a e b são inteiros com a 0, dizemos que a divide
Anéis de polinómios sobre anéis comutativos com identidade
Capítulo 2 Anéis de polinómios sobre anéis comutativos com identidade Neste capítulo faremos um estudo de anéis de polinómios numa indeterminada, analisando, neste caso particular, diversos conceitos e
complemento para a disciplina de Matemática Discreta versão 1 - Jerônimo C. Pellegrini Relações de Equivalência e de Ordem
Relações de Equivalência e de Ordem complemento para a disciplina de Matemática Discreta versão 1 Jerônimo C. Pellegrini 5 de agosto de 2013 ii Sumário Sumário Nomenclatura 1 Conjuntos e Relações 1 1.1
XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível 2. Equações Diofantinas Lineares e o Teorema Chinês dos Restos. Samuel Feitosa
XIX Semana Olímpica de Matemática Nível Equações Diofantinas Lineares e o Teorema Chinês dos Restos Samuel Feitosa O projeto da XIX Semana Olímpica de Matemática foi patrocinado por: Semana Olímpica 016
Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução
Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução Exercício 6: Uma molécula de açúcar comum (sacarose) pesa 5,7 10 - g e uma de água, 3 10-3 g. Qual das duas é mais pesada? Quantas vezes uma é mais pesada que a outra?
Matemática E Extensivo V. 7
Matemática E Etensivo V. 7 Eercícios ) B ) A P() = ³ + a² + b é divisivel por. Pelo teorema do resto, = é raiz de P(). P() = ³ + a. ² + b a + b = Da mesma maneira, P() é divisível por. Pelo teorema do
1. Prove que (a+b) c = a c+b c para todo a, b, c em ZZ /mzz. (Explique cada passo).
1 a Lista de Exercícios de Álgebra II - MAT 231 1. Prove que (a+b) c = a c+b c para todo a, b, c em ZZ /mzz. (Explique cada passo). 2. Seja A um anel associativo. Dado a A, como você definiria a m, m IN?
é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que:
Matemática Discreta 2008/09 Vítor Hugo Fernandes Departamento de Matemática FCT/UNL Axioma (Princípio da Boa Ordenação dos Números Naturais) O conjunto parcialmente (totalmente) ordenado (N, ), em que
RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR
RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 11 ÁLGEBRA LINEAR I - POLINÔMIOS POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 1 Definição Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi, onde a e b são números reais e i
A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18
A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e - Aula 18 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 10 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106
Aula 1. e o conjunto dos inteiros é :
Aula 1 1. Números reais O conjunto dos números reais, R, pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real, que serão em geral denotados por letras minúsculas: x, y, s, t, u, etc. R é munido de quatro
Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat - Polinômios
Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios. (Espcex (Aman) 05) O polinômio (x) x x deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r( ) é a) 0. b) 4. c) 0. d) 4. e) 0. 5 f(x) x x x, uando dividido
Parte 2. Polinômios sobre domínios e corpos
Parte Polinômios sobre domínios e corpos Pressupomos que o estudante tenha familiaridade com os anéis comutativos com unidade, em particular com domínios e corpos. Alguns exemplos importantes são Z Q R
FATORAÇÃO. Os métodos de fatoração de expressões algébricas são:
FATORAÇÃO Fatorar consiste em representar determinado número de outra maneira, utilizando a multiplicação. A fatoração ajuda a escrever um número ou uma expressão algébrica como produto de outras expressões.
3.6 Erro de truncamento da interp. polinomial.
3 Interpolação 31 Polinômios interpoladores 32 Polinômios de Lagrange 33 Polinômios de Newton 34 Polinômios de Gregory-Newton 35 Escolha dos pontos para interpolação 36 Erro de truncamento da interp polinomial
Resposta:
Gabarito - Dia 1 Exercício 1. Utilizando a Cifra de ATBASH decifre a mensagem VHHV VCVIXRXRL V UZXRO. Esse exercício é fácil. Exercício 2. Utilize o código de Políbio para codicar a mensagem Pensar é um
Objetivos. Compreender o Teorema Fundamental da Álgebra.
MÓDULO 3 - AULA 6 Aula 6 Fatoração em R[x] Objetivos Compreender o Teorema Fundamental da Álgebra. Relacionar uma raiz β complexa não-real de um polinômio em R[x] com a sua divisibilidade por x 2 (β +
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
EQUAÇÕES BIQUADRADAS Acredito que só pelo nome dar pra você ter uma idéia de como seja uma equação biquadrada, Se um time é campeão duas vezes, dizemos ele é bicampeão, se uma equação é do grau quando
Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II
Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 02 EQUAÇÕES Pense no seguinte problema: Uma mulher de 25 anos é casada com um homem 5 anos mais velho que ela. Qual é a soma das idades
XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível 3. Polinômios em Z[x] Matheus Secco
![XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível 3. Polinômios em Z[x] Matheus Secco](/thumbs/50/26696000.jpg "XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível 3. Polinômios em Z[x] Matheus Secco")
XIX Semana Olímpica de Matemática Nível 3 Polinômios em Z[x] Matheus Secco O projeto da XIX Semana Olímpica de Matemática foi patrocinado por: Polinômios em Z[x] N3 Professor Matheus Secco 1 Ferramentas
Unidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos
Unidade I MATEMÁTICA Prof. Celso Ribeiro Campos Números reais Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. São elas: a) Conjunto. b) Elemento. c)
Raízes quadrada e cúbica de um polinômio
Raízes quadrada e cúbica de um polinômio Lenimar Nunes de Andrade UFPB - João Pessoa, PB 1 de abril de 2011 1 Raiz quadrada de um polinômio Consideremos p(x) e r(x) polinômios tais que (r(x)) 2 = p(x).
Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se
Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios
Primeira Lista de Exercícios
Primeira Lista de Exercícios disciplina: Introdução à Teoria dos Números (ITN) curso: Licenciatura em Matemática professores: Marnei L. Mandler, Viviane M. Beuter Primeiro semestre de 2012 1. Determine
Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 02 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 Equações Polinomiais do primeiro grau Significado do termo Equação : As equações do primeiro grau são aquelas que podem
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/30 3 - INDUÇÃO E RECURSÃO 3.1) Indução Matemática 3.2)
Inteiros. Inteiros. Congruência. Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006.
Inteiros Inteiros. Congruência. Referência: Capítulo: 4 Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006 1 Números reais A relação binária em R é uma ordem parcial
Ciclo 3 Encontro 1 NÚMEROS PRIMOS, FATORAÇÃO ÚNICA EM PRIMOS, MDC E MMC VIA FATORAÇÃO EM PRIMOS
1 Ciclo 3 Encontro 1 NÚMEROS PRIMOS, FATORAÇÃO ÚNICA EM PRIMOS, MDC E MMC VIA FATORAÇÃO EM PRIMOS Nível 3 PO: Márcio Reis 11º Programa de Iniciação Científica Jr. Números primos, fatoração única em primos,
Para resolver o problema de dona Leonor, é preciso aprender a fatorar, como você já viu na Aula = 2 x = 4 x 5
Dona Leonor faz empadinhas e sempre recebe encomendas para festas. Certo dia, ela recebeu três encomendas: uma de 200 empadinhas, outra de 240 e outra de 300. Depois de fazer todas as empadinhas, dona
MÓDULO 2 POTÊNCIA. Capítulos do módulo:
MÓDULO 2 POTÊNCIA Sabendo que as potências tem grande importância no mundo da lógica matemática, nosso curso terá por objetivo demonstrar onde podemos utilizar esses conceitos no nosso cotidiano e vida
Operações Fundamentais com Números
Capítulo 1 Operações Fundamentais com Números 1.1 QUATRO OPERAÇÕES Assim como na aritmética, quatro operações são fundamentais em álgebra: adição, subtração, multiplicação e divisão. Quando dois números
SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014 ATIVIDADES DESENVOLVIDAS
1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UFRN CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ CERES DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS DCEA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO Á DOCÊNCIA (PIBID)
Sistemas de equações lineares
Matemática II - / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a
O DNA das equações algébricas
Reforço escolar M ate mática O DNA das equações algébricas Dinâmica 3 3º Série 4º Bimestre DISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO Aluno Matemática 3ª do Ensino Médio Algébrico-Simbólico Polinômios e Equações
Exercícios Operações com frações 1. Determine o valor das seguintes expressões, simplificando sempre que possível:
Exercícios Operações com frações. Determine o valor das seguintes expressões, simplificando sempre que possível: 7 c 6 8 6 d b a 8 : 8 7 0 f 8 7 h g e : 6 8 : 6 7 l k j i n m Equações de º Grau Resolva
MATEMÁTICA PLANEJAMENTO 2º BIMESTRE º B - 11 Anos
PREFEITURA MUNICIPAL DE IPATINGA ESTADO DE MINAS GERAIS SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO PEDAGÓGICO/ SEÇÃO DE ENSINO FORMAL Centro de Formação Pedagógica CENFOP MATEMÁTICA PLANEJAMENTO 2º
Alguns exercícios amais para vocês (as resoluções dos exercícios anteriores começam na próxima pagina):
Alguns exercícios amais para vocês (as resoluções dos exercícios anteriores começam na próxima pagina): Seja A um domínio. Mostre que se A[X] é Euclidiano então A é um corpo (considere o ideal (a, X) onde
Números Primos, Fatores Primos, MDC e MMC
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17,
BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS
BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº GABARITO COMENTADO ) A função será y,5x +, onde y (preço a ser pago) está em função de x (número de quilômetros
TEORIA 6: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA
TEORIA 6: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA Nome: Turma: Data / / Prof: Walnice Brandão Machado Equações de 2º grau Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação
Elaborado por: João Batista F. Sousa Filho (Graduando Engenharia Civil UFRJ )
www.engenhariafacil.weebly.com Elaborado por: João Batista F. Sousa Filho (Graduando Engenharia Civil UFRJ- 014.1) Bizu: (I) Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Métodos de Integração. (I) Métodos
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Funções polinomiais Logaritmo Aula 03 Funções Polinomiais Introdução: Polinômio Para a sucessão de termos comcom, um polinômio de grau n possui a seguinte forma : Ex : Funções
o) (V) a) D (6) = 6, 3, 2, 4. a) D (220) = 220, 110, 55, 44, 22, 20, 11, 10, 5, 4, 2, 16q 1 = 18q 2 8q 1 = 9q 2 (I) 9q 1 + 9q 2 = 9 68
Matemática 5 aula. DIVISIBILIDADE a) N = 0 = 8. 9. 5 =.. 5 Seja n o número de divisores positivos, n = ( + )( + )( + ) = 4 b) Se n é o número de divisores negativos, n 4. Logo, a quantidade total é 48.
Fatoração Algébrica. Casos Simples de Fatoração Algébrica
Fatoração Algébrica Casos Simples de Fatoração Algébrica Como já aprendemos na Aritmética, todo número, não primo, pode ser decomposto em um produto de fatores primos. Assim, tem-se: 30 = 2 X 3 X 5 ; 72
MDC, MMC, Algoritmo de Euclides e o Teorema de Bachet-Bézout
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível 3 Carlos Gustavo Moreira Aula 3 MDC, MMC, Algoritmo de Euclides e o Teorema de Bachet-Bézout 1 mdc, mmc e Algoritmo de Euclides Dados
Neste capítulo estamos interessados em resolver numericamente a equação
CAPÍTULO1 EQUAÇÕES NÃO-LINEARES 1.1 Introdução Neste capítulo estamos interessados em resolver numericamente a equação f(x) = 0, onde f é uma função arbitrária. Quando escrevemos resolver numericamente,
Provas de. Manuel Ricou Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico
Provas de Introdução à Álgebra Manuel Ricou Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico 19 de Janeiro de 2008 Conteúdo 1 Enunciados de Testes 3 1.1 1 o Teste: 12/4/2000.......................
Nivelamento Matemática Básica
Faculdade de Tecnologia de Taquaritinga Av. Dr. Flávio Henrique Lemos, 8 Portal Itamaracá Taquaritinga/SP CEP 900-000 fone (6) -0 Nivelamento Matemática Básica ELIAMAR FRANCELINO DO PRADO Taquaritinga
ITA º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR
ITA - 2006 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos e interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C
Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Simplificação por divisões sucessivas. Divisores. Aula 4 Divisores e múltiplos. MDC. Operações com frações
Roteiro da aula MA091 Matemática básica Aula Divisores e múltiplos. MDC. Operações com frações 1 Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Março de 016 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática
1.0. Conceitos Utilizar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 5 e Utilizar o algoritmo da divisão de Euclides.
Conteúdo Básico Comum (CBC) Matemática - do Ensino Fundamental do 6º ao 9º ano Os tópicos obrigatórios são numerados em algarismos arábicos Os tópicos complementares são numerados em algarismos romanos
Aula 27 - Álgebra II. x (m(x)), x 2 + x + (m(x)), x 2 + x (m(x)) operações deste corpo são as seguintes:
Já vimos maneiras de codificar mensagens de modo a que, no caso de ocorrerem alguns erros na sua transmissão, o receptor possa ser capaz de corrigir esses erros. Esses códigos, chamados códigos lineares
Matemática 1 INTRODUÇÃO 1 TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS 3 TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS 2 TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS. Exercício Resolvido 2
Matemática Frente II CAPÍTULO 22 EQUAÇÕES POLINOMIAIS 1 INTRODUÇÃO Nos capítulos anteriores, durante o estudo de polinômios, já estudamos alguns teoremas que nos ajudam a encontrar as raízes de polinômios.
Capítulo 3 Equações Diferenciais. O Wronskiano (de Josef Hoëné-Wronski, polonês, )
Capítulo 3 Equações Diferenciais O Wronskiano (de Josef Hoëné-Wronski, polonês, 1776 1853) Seja a equação diferencial, ordinária, linear e de 2ª. ordem Podemos dividir por os 2 membros e escrever a equação
CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 12 04/2014 Sistemas de Equações Lineares Parte 2 FATORAÇÃO LU Cálculo Numérico 3/37 FATORAÇÃO LU Uma fatoração LU de uma dada
Vinte um divisores naturais. Série Problemas e soluções
Vinte um divisores naturais Série Problemas e soluções Objetivo 1. Entender e resolver um problema que envolve números primos e a fatoração de números naturais. Vinte e um divisores naturais Série Problemas
Equações de 2º grau. Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: IR e
Equações de 2º grau Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c IR e Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e
Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias CCA UFES Departamento de Computação. Teoria dos Números
Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias CCA UFES Departamento de Computação Teoria dos Números Tópicos Especiais em Programação Site: http://jeiks.net E-mail: jacsonrcsilva@gmail.com
a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente.
Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x 2 - x - 1 = 0 é
3 + =. resp: A=5/4 e B=11/4
ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI-UNITAU EXERCÍCIOS PARA ESTUDO DO EXAME FINAL - 3º ENSINO MÉDIO - PROF. CARLINHOS BONS ESTUDOS! ASSUNTO : POLINÔMIOS 1) Identifique as expressões abaixo que são
Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 7. Curso de Álgebra - Nível 3. Miscelânea sobre raízes de polinômios II
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível 3 Prof. Cícero Thiago / Prof. Marcelo Aula 7 Miscelânea sobre raízes de polinômios II Definição : Seja P(x) = a n x n +a n x n +...+a x+a 0 um polinômio
Coeficientes Reais. Jorge J. Delgado Maria Lúcia Torres Villela
Pré-Cálculo, Vol. 3: Polinômios com Coeficientes Reais Jorge J. Delgado Maria Lúcia Torres Villela IM-UFF 2007 2 Conteúdo 3 Polinômios com coeficientes reais 7 1. Polinômios e operações...................
Equações não lineares
Capítulo 2 Equações não lineares Vamos estudar métodos numéricos para resolver o seguinte problema. Dada uma função f contínua, real e de uma variável, queremos encontrar uma solução x que satisfaça a
Equações diferenciais ordinárias
Departamento de Física Universidade Federal da Paraíba 24 de Junho de 2009 Motivação Problemas envolvendo equações diferenciais são muito comuns em física Exceto pelos mais simples, que podemos resolver
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA 7.º ANO PLANIFICAÇÃO GLOBAL Múltiplos e divisores. Critérios de divisibilidade. - Escrever múltiplos
Divisibilidade Múltiplos de um número Critérios de divisibilidade 5367
Divisibilidade Um número é divisível por outro quando sua divisão por esse número for exata. Por exemplo: 20 : 5 = 4 logo 20 é divisível por 5. Múltiplos de um número Um número tem um conjunto infinito
Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período
www.engenhariafacil.net Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período 2014.2 OBS: Todas as alternativas corretas são as letras A. 1) Vamos falar um pouco de interseção, união e soma de subespaços.
AV1 - MA UMA SOLUÇÃO. d b =. 3q 2 = 2p 2,
AV1 - MA 11-01 Questão 1. Prove que se a, b, c e d são números racionais tais que a + b 3 = c + d 3 então a = c e b = d. A igualdade a + b 3 = c + d 3 implica que (a c) = (d b) 3. Suponha que tenhamos
Matemática E Extensivo V. 6
Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. ) D a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = +