Equações diferenciais ordinárias

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1 Departamento de Física Universidade Federal da Paraíba 24 de Junho de 2009

2 Motivação Problemas envolvendo equações diferenciais são muito comuns em física Exceto pelos mais simples, que podemos resolver analiticamente, temos que recorrer a métodos numéricos De forma geral, não existe um "melhor método" A compreensão dos diferentes métodos, seus pontos fortes e suas deficiências é fundamental para podermos ter confiança nos resultados

6 O problema Resolver uma equação do tipo d 2 y dx 2 + q(x)dy dx = r(x) Sempre podemos reescrever equações diferenciais de ordem superior como um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem dy dx = z(x) dz dx = r(x) q(x)z(x) Portanto, o problema passa a ser estudar um conjunto de N equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

9 O problema Às vezes é conveniente incluir prefatores (funções da variável independente) na definição das novas variáveis para evitar problemas numéricos Tentativa e erro, senso comum, experiência indicam o caminho

10 O problema Às vezes é conveniente incluir prefatores (funções da variável independente) na definição das novas variáveis para evitar problemas numéricos Tentativa e erro, senso comum, experiência indicam o caminho

11 Condições de contorno O conjunto de equações diferenciais não define completamente o problema O tipo das condições de contorno são determinantes para a solução numérica a ser empregada 1 todos os y i são conhecidos em um determinado ponto x 0 2 Programas de valor de contorno informação sobre o comportamento da função na fronteira da região de integração

15 Idéia geral Introdução Reescrever dy e dx como diferenças finitas y e x Multiplicar a equação por x Assim obtemos expressões para a variação das funções quando um passo de tamanho x é dado No limite em que x é muito pequeno, temos uma boa aproximação para a equação diferencial

19 Introdução Consideremos a equação y (x) = f (x, y) com a condição de contorno y(x 0 ) = y 0 Desejamos encontrar y(x) Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos y(x) = y(x 0 ) + (x x 0 )y (x 0 ) + O[(x x 0 ) 2 ] Definindo o tamanho do passo como h = x x 0, y(x 0 + h) = y(x 0 ) + hf (x 0, y 0 ) O método de Euler consiste na iteração desta equação y n+1 = y n + hf (x n, y n )

25 Implementação Introdução Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x x 0 em N partes h = x x 0 N Usamos o método de Euler y n+1 = y n + hf (x n, y n ) x 1 x 2 x 3

32 Deficiências do método O erro é de ordem h A derivada é considerada constante ao longo do intervalo h Seu valor no fim do intervalo não é considerado

35 No caso do método de Euler, expandimos y(x) até primeira ordem Se expandirmos até segunda ordem, teremos y(x) = y(x 0 ) + hf (x 0, y 0 ) + y (x 0 ) h2 2 + O[h3 ]

36 No caso do método de Euler, expandimos y(x) até primeira ordem Se expandirmos até segunda ordem, teremos y(x) = y(x 0 ) + hf (x 0, y 0 ) + y (x 0 ) h2 2 + O[h3 ]

37 No caso do método de Euler, expandimos y(x) até primeira ordem Se expandirmos até segunda ordem, teremos y(x) = y(x 0 ) + hf (x 0, y 0 ) + y (x 0 ) h2 2 + O[h3 ] Precisamos, portanto, determinar y (x 0 )

38 No caso do método de Euler, expandimos y(x) até primeira ordem Se expandirmos até segunda ordem, teremos y(x) = y(x 0 ) + hf (x 0, y 0 ) + y (x 0 ) h2 2 + O[h3 ] Precisamos, portanto, determinar y (x 0 ) y (x 0 ) = f x (x 0, y 0 ) + f y (x 0, y 0 )f (x 0, y 0 )

39 No caso do método de Euler, expandimos y(x) até primeira ordem Se expandirmos até segunda ordem, teremos y(x) = y(x 0 ) + hf (x 0, y 0 ) + y (x 0 ) h2 2 + O[h3 ] Logo a expansão se torna y(x) = y(x 0 )+hf (x 0, y 0 )+ h2 2 f x(x 0, y 0 )+ h2 2 f y(x 0, y 0 )f (x 0, y 0 )

40 O método Runge-Kutta assume que a inclinação no intervalo h pode ser escrita como uma combinação linear de f (x, y) em certos pontos do intervalo No y(x) = y(x 0 ) + Ahf 0 + Bhf 1

41 O método Runge-Kutta assume que a inclinação no intervalo h pode ser escrita como uma combinação linear de f (x, y) em certos pontos do intervalo No y(x) = y(x 0 ) + Ahf 0 + Bhf 1

42 O método Runge-Kutta assume que a inclinação no intervalo h pode ser escrita como uma combinação linear de f (x, y) em certos pontos do intervalo No y(x) = y(x 0 ) + Ahf 0 + Bhf 1 onde f 0 = f (x 0, y 0 ), f 1 = f (x 0 + a 1 h, y 0 + a 2 hf 0 ), sendo A, B, a 1 e a 2 constantes a determinar

43 O método Runge-Kutta assume que a inclinação no intervalo h pode ser escrita como uma combinação linear de f (x, y) em certos pontos do intervalo No y(x) = y(x 0 ) + Ahf 0 + Bhf 1 Expandindo f 1 em série de Taylor, temos f 1 = f (x 0, y 0 ) + a 1 hf x (x 0, y 0 ) + a 2 hf y (x 0, y 0 )f (x 0, y 0 )

44 O método Runge-Kutta assume que a inclinação no intervalo h pode ser escrita como uma combinação linear de f (x, y) em certos pontos do intervalo No y(x) = y(x 0 ) + Ahf 0 + Bhf 1 Expandindo f 1 em série de Taylor, temos f 1 = f (x 0, y 0 ) + a 1 hf x (x 0, y 0 ) + a 2 hf y (x 0, y 0 )f (x 0, y 0 ) Portanto, temos y(x) = y(x 0 )+(A+B)hf (x 0, y 0 )+Bh 2 a 1 f x (x 0, y 0 )+Bh 2 a 2 f y (x 0, y 0 )f (x 0, y 0 )

45 Comparando a aproximação de Runge-Kutta y(x) = y(x 0 )+(A+B)hf (x 0, y 0 )+Bh 2 a 1 f x (x 0, y 0 )+Bh 2 a 2 f y (x 0, y 0 )f (x 0, y 0 ) com a expansão em série de Taylor, y(x) = y(x 0 ) + hf (x 0, y 0 ) + h2 2 f x(x 0, y 0 ) + h2 2 f y(x 0, y 0 )f (x 0, y 0 ) temos A + B = 1 Ba 1 = 1 2 Ba 2 = 1 2

48 Escolha dos parâmetros Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemos escolher um deles arbitrariamente

49 Escolha dos parâmetros Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemos escolher um deles arbitrariamente A = 0, B = 1, a 1 = a 2 = 1/2 Regra do ponto médio

50 Escolha dos parâmetros Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemos escolher um deles arbitrariamente A = 0, B = 1, a 1 = a 2 = 1/2 Regra do ponto médio x 1 x 2 x 3

57 Escolha dos parâmetros Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemos escolher um deles arbitrariamente A = 1/3, B = 2/3, a 1 = a 2 = 3/4 valores ótimos (minimiza coeficiente do erro)

58 é apenas didático

59 é apenas didático Para uso prático quarta ordem

60 Dedução segue a mesma linha de raciocínio:

61 Dedução segue a mesma linha de raciocínio: 1 Expandir y(x 0 + h) até quarta ordem

62 Dedução segue a mesma linha de raciocínio: 1 Expandir y(x 0 + h) até quarta ordem 2 Assumir que y(x 0 + h) = y(x 0 ) + h [Af 0 + Bf 1 + Cf 2 + Df 3 ]

63 Dedução segue a mesma linha de raciocínio: 1 Expandir y(x 0 + h) até quarta ordem 2 Assumir que y(x 0 + h) = y(x 0 ) + h [Af 0 + Bf 1 + Cf 2 + Df 3 ] onde f0 = f (x 0, y 0 ) f 1 = f (x 0 + αh, y 0 + a 0 f 0 h) f 2 = f (x 0 + βh, y 0 + b 0 f 0 h + b 1 f 1 h) f 3 = f (x 0 + γh, y 0 + c 0 f 0 h + c 1 f 1 h + c 2 f 2 h)

64 Dedução segue a mesma linha de raciocínio: 1 Expandir y(x 0 + h) até quarta ordem 2 Assumir que y(x 0 + h) = y(x 0 ) + h [Af 0 + Bf 1 + Cf 2 + Df 3 ] onde f0 = f (x 0, y 0 ) f 1 = f (x 0 + αh, y 0 + a 0 f 0 h) f 2 = f (x 0 + βh, y 0 + b 0 f 0 h + b 1 f 1 h) f 3 = f (x 0 + γh, y 0 + c 0 f 0 h + c 1 f 1 h + c 2 f 2 h) 3 Expandir f 1, f 2 e f 3 em série de Taylor até terceira ordem

65 Dedução segue a mesma linha de raciocínio: 1 Expandir y(x 0 + h) até quarta ordem 2 Assumir que y(x 0 + h) = y(x 0 ) + h [Af 0 + Bf 1 + Cf 2 + Df 3 ] onde f0 = f (x 0, y 0 ) f 1 = f (x 0 + αh, y 0 + a 0 f 0 h) f 2 = f (x 0 + βh, y 0 + b 0 f 0 h + b 1 f 1 h) f 3 = f (x 0 + γh, y 0 + c 0 f 0 h + c 1 f 1 h + c 2 f 2 h) 3 Expandir f 1, f 2 e f 3 em série de Taylor até terceira ordem 4 Equacionar os termos das duas séries

66 Dedução segue a mesma linha de raciocínio: 1 Expandir y(x 0 + h) até quarta ordem 2 Assumir que y(x 0 + h) = y(x 0 ) + h [Af 0 + Bf 1 + Cf 2 + Df 3 ] onde f0 = f (x 0, y 0 ) f 1 = f (x 0 + αh, y 0 + a 0 f 0 h) f 2 = f (x 0 + βh, y 0 + b 0 f 0 h + b 1 f 1 h) f 3 = f (x 0 + γh, y 0 + c 0 f 0 h + c 1 f 1 h + c 2 f 2 h) 3 Expandir f 1, f 2 e f 3 em série de Taylor até terceira ordem 4 Equacionar os termos das duas séries 5 Serão 10 equações e 13 icógnitas diversas possibilidades

67 Escolha mais comum: f 0 = f (x 0, y 0 ) f 1 = f (x 0 + h 2, y 0 + h 2 f 0) f 2 = f (x 0 + h 2, y 0 + h 2 f 1) f 3 = f (x 0 + h, y 0 + hf 2 ) com y(x 0 + h) = y(x 0 ) + h 6 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + f 3 ) Note que no caso f (x, y) = g(x), o método equivale à regra de Simpson

68 Precisão Introdução Como saber se nossa resposta é precisa? Como avaliar o erro? Possível solução: calcular y(x) usando dois tamanhos de passo diferentes e comparar os resultados Podemos fazer essa comparação depois de vários passos Contudo, a natureza da solução pode depender da região Portanto, os resultados devem ser comparados frequentemente

73 Para atingirmos uma determinada precisão ɛ, podemos usar o seguinte algoritmo 1 Calcular y(x 0 + h) e y(x 0 + h/2) 2 Se y(x 0 + h) y(x 0 + h/2) <ɛ Erro é pequeno e estamos realizando um esforço computacional desnecessário Aceitamos o passo e diminuimos h para o próximo passo 3 Se y(x 0 + h) y(x 0 + h/2) >ɛ O erro é muito grande Rejeitamos o passo, diminuimos h e tentamos de novo

74 Alternativa aos passos de tamanho variável Utiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho do passo necessário para manter uma dada precisão O método

75 Alternativa aos passos de tamanho variável Utiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho do passo necessário para manter uma dada precisão O método

76 Alternativa aos passos de tamanho variável Utiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho do passo necessário para manter uma dada precisão O método Para um método de Runge-Kutta de ordem n, temos y(x 0 + h) = y exato + kh n+1

77 Alternativa aos passos de tamanho variável Utiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho do passo necessário para manter uma dada precisão O método Para um método de Runge-Kutta de ordem n, temos y(x 0 + h) = y exato + kh n+1 Portanto, a diferença entre Runge-Kutta de ordem n e n + 1 é y n (x 0 + h) y n+1 (x 0 + h) = kh n+1 ˆkh n+2 kh n+1

78 Alternativa aos passos de tamanho variável Utiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho do passo necessário para manter uma dada precisão O método Para um método de Runge-Kutta de ordem n, temos y(x 0 + h) = y exato + kh n+1 Portanto, a diferença entre Runge-Kutta de ordem n e n + 1 é y n (x 0 + h) y n+1 (x 0 + h) = kh n+1 ˆkh n+2 kh n+1 Logo k yn y n+1 h n+1

79 Alternativa aos passos de tamanho variável Utiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho do passo necessário para manter uma dada precisão O método Portanto, se h new é o tamanho do novo passo de forma a essas duas expressões concordarem (aceitando um erro ɛ)

80 Alternativa aos passos de tamanho variável Utiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho do passo necessário para manter uma dada precisão O método Portanto, se h new é o tamanho do novo passo de forma a essas duas expressões concordarem (aceitando um erro ɛ) h new ɛ = kh n+1 new = hn+1 new h n+1 y n y n+1

81 Alternativa aos passos de tamanho variável Utiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho do passo necessário para manter uma dada precisão O método Portanto, se h new é o tamanho do novo passo de forma a essas duas expressões concordarem (aceitando um erro ɛ) Donde h new ɛ = kh n+1 new = hn+1 new h n+1 y n y n+1 hɛ h new = h n y n (x 0 + h) y n+1 (x 0 + h)

82 Implementação Introdução 1 A partir de um passo de tamanho h, calculamos o erro y n y n+1 2 Se o erro for maior do que o aceitável, rejeitamos o passo e repetimos o processo com um passo menor h new 3 Se o erro for menor que o aceitável, estamos usando um passo grande demais. Aceitamos o passo e aumentamos o passo para a próxima iteração. Atenção Como o custo computacional de repetir um passo é relativamente alto, é aconselhável ser conservador e usar um passo menor que o estimado. Digamos, 0.9h new

86 Ganho computacional Qual o ganho computacional do método? Em geral, nenhum. O que se ganha com a otimização do passo, se perde com a aplicação de dois Runge-Kutta para cada passo. A Sacada: Usar métodos Runge-Kutta de diferentes ordens, com as mesmas funções intermediárias!!!

90 Runge-Kutta-Fehlberg de quarta/quinta ordem Funções intermediárias f 0 = f (x 0, y 0 ) f 1 = f (x 0 + h 4, y 0 + h 4 f 0) f 2 = f (x 0 + 3h 8, y 0 + 3h 32 f 0 + 9h 32 f 1) f 3 = f (x h 13, y h 2197 f h 2197 f h 2197 f 2) f 4 = f (x 0 + h, y h 216 f 0 8hf h 513 f 2 845h 4104 f 3) f 5 = f (x 0 + h 2, y 0 8h 27 f 0 + 2hf h 2565 f h 4104 f 3 11h 40 f 4)

91 Runge-Kutta-Fehlberg de quarta/quinta ordem Aproximações ( 25 y 4 = y 0 + h 216 f f f 3 1 ) 5 f 4 ( 16 y 5 = y 0 + h 135 f f f f ) 55 f 5

92 Runge-Kutta-Fehlberg de quarta/quinta ordem Erro = y 4 y 5 = h f f f f f 5 Não é necessário calcular y explicitamente para aceitar ou não o passo h new = 0.9h 4 hɛ

93 Método da tentativa e erro (shooting method) Elementos Finitos Problemas com condições de contorno fixas Neste caso, queremos resolver uma EDO de ordem n sujeita a condições de contorno na superfície Primeiramente, reescrevemos a EDO como um conjunto de n equações de primeira ordem Y = y y y. y n 1 Assim, teremos n 1 condições de contorno no ponto inicial (t = 0) e n 2 = n n 1 condições de contorno no ponto final (t = t f )

97 Método da tentativa e erro (shooting method) Elementos Finitos Método da tentativa e erro 1 Escolhemos n 2 condições contorno arbitrárias (chute) complementanto as n 1 condições já existentes no ponto inicial 2 Usando um método para problemas de valor inicial, deixamos o sistema evoluir até o ponto t f 3 Calculamos o erro em relação às condições de contorno no ponto final Se o erro (todas as componentes) for menor que a tolerância, achamos a solução Se não, escolhemos um novo chute voltamos ao passo 2

102 Método da tentativa e erro (shooting method) Elementos Finitos Aprendendo a chutar Queremos, a partir de um conjunto de condições de contorno α = {α 1, α 2,, α n2 }, encontrar um novo conjunto que faça o erro diminuir α = α + α Para isso, escolhemos α tal que [ ] εi ε = J α J = [j ij ] = α j E aproximamos ε i = ε i(α 1,, α j + α j,, α n2 ) ε i (α 1,, α n2 ) α j α j

106 Método da tentativa e erro (shooting method) Elementos Finitos Exemplo: EDO de segunda ordem 1 Escrevemos y = F(x, y, y ) como 2 EDOs de ordem 1 dy 1 dx = y 2 dy 2 dx = F(x, y, y ) 2 As condições de contorno do problema são, portanto, 3 Chute inicial: dois valores iniciais para y (x 0 ), α 1, α 2 4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta 5 Calculamos o erro ε 1,2 = y 1,2 (x f, α 1,2 ) 6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro, temos 7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que ε 2 se torne menor que a tolerância

107 Método da tentativa e erro (shooting method) Elementos Finitos Exemplo: EDO de segunda ordem 1 Escrevemos y = F(x, y, y ) como 2 EDOs de ordem 1 2 As condições de contorno do problema são, portanto, y 1 (x 0 ) = y 0 e y 1 (x f ) = y f 3 Chute inicial: dois valores iniciais para y (x 0 ), α 1, α 2 4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta 5 Calculamos o erro ε 1,2 = y 1,2 (x f, α 1,2 ) 6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro, temos 7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que ε 2 se torne menor que a tolerância

108 Método da tentativa e erro (shooting method) Elementos Finitos Exemplo: EDO de segunda ordem 1 Escrevemos y = F(x, y, y ) como 2 EDOs de ordem 1 2 As condições de contorno do problema são, portanto, 3 Chute inicial: dois valores iniciais para y (x 0 ), α 1, α 2 4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta 5 Calculamos o erro ε 1,2 = y 1,2 (x f, α 1,2 ) 6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro, temos 7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que ε 2 se torne menor que a tolerância

109 Método da tentativa e erro (shooting method) Elementos Finitos Exemplo: EDO de segunda ordem 1 Escrevemos y = F(x, y, y ) como 2 EDOs de ordem 1 2 As condições de contorno do problema são, portanto, 3 Chute inicial: dois valores iniciais para y (x 0 ), α 1, α 2 4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta para obter y 1 (x f, α 1 ) e y 1 (x f, α 2 ) 5 Calculamos o erro ε 1,2 = y 1,2 (x f, α 1,2 ) 6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro, temos 7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que ε 2 se torne menor que a tolerância

110 Método da tentativa e erro (shooting method) Elementos Finitos Exemplo: EDO de segunda ordem 1 Escrevemos y = F(x, y, y ) como 2 EDOs de ordem 1 2 As condições de contorno do problema são, portanto, 3 Chute inicial: dois valores iniciais para y (x 0 ), α 1, α 2 4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta 5 Calculamos o erro ε 1,2 = y 1,2 (x f, α 1,2 ) e estimamos ε α = ε 2 ε 1 α 2 α 1 6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro, temos 7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que ε 2 se torne menor que a tolerância

111 Método da tentativa e erro (shooting method) Elementos Finitos Exemplo: EDO de segunda ordem 1 Escrevemos y = F(x, y, y ) como 2 EDOs de ordem 1 2 As condições de contorno do problema são, portanto, 3 Chute inicial: dois valores iniciais para y (x 0 ), α 1, α 2 4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta 5 Calculamos o erro ε 1,2 = y 1,2 (x f, α 1,2 ) 6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro, temos α = ε 2 ε α 7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que ε 2 se torne menor que a tolerância

112 Método da tentativa e erro (shooting method) Elementos Finitos Exemplo: EDO de segunda ordem 1 Escrevemos y = F(x, y, y ) como 2 EDOs de ordem 1 2 As condições de contorno do problema são, portanto, 3 Chute inicial: dois valores iniciais para y (x 0 ), α 1, α 2 4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta para obter y 1 (x f, α 1 ) e y 1 (x f, α 2 ) 5 Calculamos o erro ε 1,2 = y 1,2 (x f, α 1,2 ) 6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro, temos 7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que ε 2 se torne menor que a tolerância

113 Método da tentativa e erro (shooting method) Elementos Finitos Método dos elementos finitos Mais uma vez, queremos resolver uma EDO com condições de contorno nas bordas y(x 0 ) = y 0 e y(x f ) = y f Para isso, dividimos o intervalo em N partes iguais de tamanho h, de forma que temos N + 1 pontos (y i, x i ), onde y i = y(x i ) Discretizamos as derivadas da EDO (para uma EDO de segunda ordem, poderíamos escrever) dy i dx = y i+1 y i 1 2h e d 2 y i dx 2 = y i+1 2y i + y i 1 h 2 Introduzindo essa discretização na EDO, calculamos uma nova aproximação para y i em função dos valores de y i±1 Repetimos o processo, até que a precisão desejada seja obtida