Anéis de polinómios sobre anéis comutativos com identidade

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1 Capítulo 2 Anéis de polinómios sobre anéis comutativos com identidade Neste capítulo faremos um estudo de anéis de polinómios numa indeterminada, analisando, neste caso particular, diversos conceitos e resultados já estudados anteriormente, tais como divisibilidade e factorização. Descreveremos o corpo K[x] construído a partir f(x) de um corpo K e de um polinómio f(x) irredutível em K[x]. Por fim, efectuaremos um estudo de polinómios com coeficientes em Q, R ou C. 2.1 Conceitos e resultados gerais Começamos por apresentar uma definição formal de polinómio numa indeterminada. Definição. Seja A um anel. Uma sucessão p = (a i ) i N0 de elementos de A tal que a i = 0 a partir de certa ordem m N 0, diz-se um polinómio. Se p = (a i ) i N0 e a i = 0, para todo o i N 0, escrevemos p = 0. Podemos escrever (a 0, a 1, a 2,...) em vez de (a i ) i N0. Dois polinómios (a i ) i N0 e (b i ) i N0 dizem-se iguais se e só se, para qualquer i N 0, a i = b i. Dado um polinómio p 0, chamamos grau de p ao maior m N 0 tal que a m 0. Se p = 0, definimos grau de p como sendo. Um polinómio (a, 0, 0,..., 0,...) diz-se uma constante e representa-se apenas por a. No conjunto S(A) de todos os polinómios em A, definimos operações de adição e de multiplicação do seguinte modo: dados p = (a i ) i N0 e q = (b i ) i N0, p + q = (a i + b i ) i N0, p q = (c i ) i N0 em que c i = a j b k. 45 j+k=i

2 46 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE Proposição 1. Seja A um anel [comutativo com identidade]. Então S(A) é um anel [comutativo com identidade] e ϕ: A S(A) definido por ϕ(a) = (a, 0, 0, 0,...), para cada a A, é um mergulho de anéis. Demonstração: Notemos que p = 0 é o zero de S(A) e (a 0, a 1, a 2,...) tem como simétrico ( a 0, a 1, a 2,...). O resto da demonstração fica ao cuidado do leitor. Seja A um anel com identidade. Consideremos x = (0, 1, 0,..., 0,...). Podemos provar facilmente que, para qualquer n N, x n = (0, 0,..., 0, 1, 0,...). }{{} n vezes Definindo x 0 = (1, 0, 0,...), a identidade de S(A), podemos então verificar que dado p = (a 0, a 1,..., a n, 0, 0,...), p = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = a n x n + + a 1 x + a 0. O polinómio x (de grau 1) chama-se indeterminada sobre A. Com esta notação, o polinómio p poderá denotar-se por p(x). Usaremos as duas notações consoante for mais conveniente. Um elemento p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n de S(A) diz-se um polinómio na indeterminada x com coeficientes em A. Se p(x) tem grau n 0, ao coeficiente a n chamamos coeficiente director de p(x). Um polinómio diz-se mónico se o seu coeficiente director é 1. Usualmente, sendo A um anel comutativo com identidade, o anel S(A) representa-se por A[x]. Exemplos. 1) Seja A = Z. Tomemos p = (2, 3, 0, 5, 0, 0,...). Então p = (2, 0, 0,...) + (0, 3, 0, 0,...) + (0, 0, 0, 5, 0,...) = 2 3 x + 5 x 3. 2) Sejam p(x) = 2 3x + 5x 3 e q(x) = 3 + x + x 2 elementos de Z[x]. Temos p(x) + q(x) = 5 2x + x 2 + 5x 3 p(x)q(x) = 6 7x x x 3 + 5x 4 + 5x 5. É importante ter presente que A[x] não é um corpo, mesmo quando A é corpo. De facto, neste caso, os únicos elementos invertíveis de A[x] são os polinómios constantes (a, 0, 0,...), com a 0.

3 2.1 CONCEITOS E RESULTADOS GERAIS 47 No que se segue, A será sempre um anel comutativo com identidade. Definição. Sejam A um anel e p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n um polinómio com coeficientes em A. Definimos f p : A A c a 0 + a 1 c + + a n c n. Trata-se de uma aplicação de A em A, usualmente denominada por função polinomial definida por p. Para c A, escreveremos p(c) em vez de f p (c). Observemos que se p(x) = c é constante, então a função polinomial f p : A A a p(a) = c é constante. Em particular, se p(x) = 1, então p(a) = 1, para qualquer a A. Notemos ainda que dados um anel A e polinómios p(x), q(x) A[x], podemos ter p(x) q(x) e f p = f q, como mostra o exemplo seguinte. Exemplo. Sejam A = Z 2, p(x) = 1 + x e q(x) = 1 + x 3. Logo p q, mas f p : Z 2 Z e f q : Z 2 Z donde f p = f q. Não se confunda o conjunto A[x] de todos os polinómios com coeficientes num anel A com o conjunto F p das funções polinomiais em A. Não só a natureza dos seus objectos é diferente, como também, frequentemente, os seus cardinais o são. Por exemplo, #Z n [x] = ℵ 0 e #F n #Z Zn n = nn, assim Z n [x] é infinito e F n é finito. Definição. Sejam A um anel e p(x) A[x]. Um elemento α A diz-se raiz do polinómio p(x) se p(α) = 0, isto é, α é um zero da função polinomial f p : A A. O resultado seguinte é fácil de provar. Teorema 2. Seja A um anel comutativo com identidade. Se a A, a aplicação de substituição ξ a : A[x] A p(x) p(a)

4 48 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE é um morfismo de anéis com identidade. Observemos que Kerξ a é o ideal de A[x] constituído por todos os polinómios de coeficientes em A que admitem a como raiz. Teorema 3. Seja A um anel comutativo com identidade. Então A[x] é um anel comutativo com identidade. Se A é domínio de integridade, então A[x] também o é. Demonstração: A primeira parte do teorema surge na Proposição 1. Suponhamos que A é domínio de integridade. Sejam p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n 0 e q(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m 0, com graup(x) = n e grauq(x) = m. Então a n, b m 0 e p(x) q(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 ) x + + a n b m x n+m. Como A não tem divisores de zero, obtemos a n b m 0 e, portanto, p(x) q(x) 0. Logo, A[x] não tem divisores de zero, e concluímos que A[x] é domínio de integridade. Notemos que se A é domínio de integridade, então U(A[x]) = U(A). Daqui resulta que, mesmo que A seja um corpo, o anel A[x] não é corpo. Da demonstração do último teorema, concluímos que Corolário 3.1. Se A é um domínio de integridade e p(x), q(x) A[x]\{0} têm grau n e m, respectivamente, então p(x) q(x) tem grau n + m. De um modo geral, se A é um anel arbitrário, dados p(x), q(x) A[x], temos ( ) { } grau p(x) + q(x) max grau p(x), grau q(x), ( ) grau p(x) q(x) graup(x) + grauq(x). Recordemos que o grau do polinómio nulo foi definido como sendo. Assim, o Corolário 3.1 e estas observações fazem sentido mesmo quando p(x) ou q(x) é 0. Observemos em seguida que todo o morfismo de um anel A num anel B pode estenderse a um morfismo entre os anéis A[x] e B[x]. Teorema 4. Sejam A e B anéis comutativos [com identidade] e f : A B um morfismo de anéis [com identidade]. Então existe um único morfismo de anéis [com identidade] f : A[x] B[x] que estende f e respeita a indeterminada, i.e. f(a) = f(a), para qualquer a A, e f(x) = x. Mais ainda, se f é mergulho [isomorfismo], então f também o é.

5 2.2 ANÉIS DE POLINÓMIOS EM MAIS DE UMA INDETERMINADA 49 Demonstração: Dado f : A B, definimos f : A[x] B[x] por, para qualquer p(x) = a 0 + a x + + a n x n A[x], f(p(x)) = f(a 0 ) + f(a 1 ) x + + f(a n ) x n. Esta aplicação satisfaz as condições do teorema. 2.2 Anéis de polinómios em mais de uma indeterminada Algumas breves palavras sobre polinómios em mais do que uma indeterminada. Dado um anel A comutativo com identidade, podemos considerar o anel comutativo com identidade A[x]. Em seguida, podemos formar o anel de polinómios com coeficientes em A[x]. Neste caso, designamos a nova indeterminada por uma letra diferente de x, por exemplo y. Note-se que x é elemento de A[x] e, portanto, no novo anel designa uma constante e não a indeterminada (0, 1, 0, 0,...), em que 0 é o zero de A[x] e 1 é o um de A[x]. Este novo anel representa-se então por A[x][y]. Os elementos de A[x][y] podem ser reescritos na forma a ij x i y j, em que a ij A, i, j N 0, com apenas um número finito de coeficientes a ij não nulos. Exemplo. Consideremos o anel Z. Temos x + 1, x x + 3, x Z[x], donde (x + 1) + (x x + 3) y + (x 3 + 1) y 2 Z[x][y]. Podemos escrever este polinómio, na indeterminada y, como sendo 1 + x + 3 y + 2 xy + x 2 y + y 2 + x 3 y 2. Denotamos o anel A[x][y] por A[x, y]. De modo análogo, dado um anel comutativo com identidade A podemos definir A[x, y, z] e, mais geralmente, o anel de polinómios A[x 1,..., x n ], em n indeterminadas x 1,..., x n com coeficientes em A. 2.3 Divisão de polinómios Passamos, agora, a estudar algumas propriedades de um anel de polinómios A[x], idênticas a propriedades bem conhecidas em Z, nomeadamente: divisão de Euclides, determinação do máximo divisor comum e factorização única. Seja A um anel comutativo com identidade. Recordemos que dados f(x), g(x) A[x], dizemos que f(x) divide g(x) se existe h(x) A[x] tal que g(x) = f(x) h(x) e que, neste caso, escrevemos f(x)/g(x).

6 50 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE Teorema 5 (Algoritmo da divisão de Euclides). Seja A um anel comutativo com identidade. Sejam f(x), g(x) A[x] em que g(x) é mónico. Então existem q(x), r(x) A[x] tais que f(x) = g(x) q(x) + r(x) e grau r(x) < graug(x). Demonstração: Suponhamos que grau f(x) < grau g(x). Então temos f(x) = g(x) 0 + f(x). Admitamos então que grau f(x) grau g(x). Vamos provar o resultado por indução sobre grauf(x) graug(x). Seja f(x) = a m x m + + a 1 x + a 0, com grauf(x) = m, e g(x) = x n + b n 1 x n b 1 x + b 0, em que grau g(x) = n. Suponhamos que m n = 0, isto é, m = n. Então temos ( ) f(x) = g(x) a n + (a n 1 b n 1 a n ) x n (a 0 b 0 a n ) pelo que podemos tomar q(x) = a n e r(x) = (a n 1 b n 1 a n ) x n (a 0 b 0 a n ) onde graur(x) n 1. Admitamos agora que o resultado é verdadeiro para quaisquer polinómios f (x), g (x) A[x] tais que grauf (x) graug (x) < k, com k 1. Suponhamos f(x) e g(x), como atrás, tais que m n = k. Neste caso, temos em que f(x) = g(x) a m x k + h(x) h(x) = (a m 1 b n 1 a m ) x m (a m n b 0 a m ) x m n + a m n 1 x m n a 0, com grau h(x) m 1 < m = grauf(x). Se grauh(x) < graug(x), obtemos o resultado pretendido. Se grauh(x) graug(x), como grauh(x) graug(x) < m graug(x) = k, por hipótese de indução, existem l(x) e r(x) tais que h(x) = g(x) l(x) + r(x), com graur(x) < grau g(x). Logo f(x) = g(x) a m x k + g(x) l(x) + r(x) ( ) = g(x) a m x k + l(x) + r(x) com grau r(x) < grau g(x). O resultado fica demonstrado atendendo ao príncipio de indução. Corolário 5.1. Seja A um anel comutativo com identidade. Dados f(x), g(x) A[x] com g(x) mónico, existem q(x), r(x) A[x] únicos tais que f(x) = g(x) q(x) + r(x), com graur(x) < grau g(x).

7 2.3 DIVISÃO DE POLINÓMIOS 51 Demonstração: Atendendo ao Teorema 5, resta provar a unicidade de q(x) e r(x). Sejam q (x), r (x) tais que graur (x) < grau g(x) e f(x) = g(x) q (x) + r (x). Então g(x)(q(x) q (x)) = r (x) r(x). Admitamos que q(x) q (x). Então q(x) q (x) 0, pelo que tem grau maior ou igual a 0. Como g(x) é mónico, temos ( ( )) ( ) grau g(x) q(x) q (x) = graug(x) + grau q(x) q (x) { } grau g(x) > max grau r(x), r (x) ( ) grau r (x) r(x) o que é absurdo. Logo q(x) = q (x) e, portanto, r (x) = r(x). Corolário 5.2. Seja A um domínio de integridade. Dados f(x) e g(x) A[x], se existem q(x), r(x) A[x] tais que f(x) = g(x) q(x) + r(x), com grau r(x) < graug(x), então q(x) e r(x) são únicos nestas condições. Demonstração: É análoga à do Corolário 5.1, atendendo a que, neste caso, A é domínio de integridade e tendo presente o Corolário 3.1. O próximo resultado mostra que se partirmos de um corpo, então podemos substituir a condição g(x) é mónico por g(x) 0. Corolário 5.3. Seja K um corpo. Dados f(x), g(x) K[x] tais que g(x) 0, existem q(x) e r(x) únicos tais que f(x) = g(x) q(x) + r(x) e graur(x) < graug(x). Demonstração: Suponhamos que Como K é corpo, existe b 1 n g(x) = b 0 + b 1 x + + b n x n, com b n 0. K e f(x) = g(x) q(x) + r(x) b 1 n f(x) = (b 1 n g(x)) q(x) + b 1 n r(x). Notemos que graub 1 n g(x) = n e b 1 n g(x) é mónico. Então, pelo Corolário 5.1, existem q 1 (x) e r 1 (x) únicos tais que graur 1 (x) < n e b 1 n f(x) = (b 1 n g(x)) q 1(x) + r 1 (x).

8 52 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE Portanto, existem q(x)(= q 1 (x)) e r(x) (= b n r 1 (x)) únicos tais que f(x) = g(x) q(x)+r(x), com graur(x) < n. Exemplo. Sejam f(x) = x 4 3 x x x 1 e g(x) = x 2 2 x + 3 polinómios em Z. Observemos que g(x) é mónico e grau g(x) < grau f(x). Pretendemos dividir f(x) por g(x): x 4 3 x x x 1 x 2 2 x + 3 x x 3 3 x 2 x 2 x 3 x 3 x x 1 x 3 2 x x 3 x x x 2 6 x + 9 x + 8 Em Z[x], temos f(x) = g(x)(x 2 x 3) + (x + 8). Nota. Sejam D um domínio de integridade e K um corpo que é extensão de D. Se f(x), g(x) D[x] e g(x) é mónico, então, pelo Corolário 5.3, a divisão de f(x) por g(x) em D[x] coincide com a divisão de f(x) por g(x) em K[x]. Exemplo. Se tomarmos os polinómios do exemplo anterior como polinómios em Q, em Q[x] temos também f(x) = g(x) (x 2 x 3) + (x + 8). Os próximos exemplos mostram que o Corolário 5.3 pode não ser verdadeiro se K não é corpo. Exemplos. 1) Em Z[x] não é possível dividir x 2 por x. 2) Em Z 4 [x] temos x + 2 x x 3 = (1 + x) (3 + 2 x 2 ) = (1 + 3 x) (3 + 2 x 2 ) + 2 x, logo a divisão é possível mas não é única, ao contrário do que acontece no Corolário 5.1. Proposição 6. Se K é um corpo, então K[x] é domínio euclidiano.

9 2.3 DIVISÃO DE POLINÓMIOS 53 Demonstração: A aplicação δ de K[x]\{0} em N 0 definida por δ(p(x)) = graup(x) (ou por δ(p(x)) = 2 grau p(x) ), para qualquer p(x) K[x]\{0}, é uma norma. A demonstração anterior mostra que um domínio de integridade pode ser euclidiano em relação a mais do que uma norma. Observação. Se f(x) K[x] e g(x) K[x]\{0}, com K corpo, para dividirmos f(x) por g(x) podemos usar o seguinte método (em que b n é o coeficiente director de g(x)): 1) dividir b 1 n f(x) por b 1 g(x), usando o algoritmo do Teorema 5, e obtendo n b 1 n f(x) = b 1 n g(x) q(x) + r(x) ; 2) escrever f(x) = g(x) q(x) + b n r(x). No entanto, como K é corpo podemos determinar um algoritmo para dividir f(x) por g(x) directamente o algoritmo da divisão no caso em que os coeficientes estão num corpo. Teorema 7 (Algoritmo da divisão). Sejam K um corpo, f(x), g(x) K[x] tais que g(x) 0. Então existem q(x), r(x) K[x] únicos tais que f(x) = g(x) q(x) + r(x) com graur(x) < graug(x). Demonstração: Já sabemos que o resultado é verdadeiro, pelo Corolário 5.3. No entanto, tratando-se de um corpo, podemos apresentar outra demonstração que nos fornece um algoritmo para determinar q(x) e r(x). Se grau f(x) < graug(x), tomamos q(x) = 0 e r(x) = f(x). Se grau f(x) graug(x), sendo f(x) = a 0 + a 1 x + + a m x m, com a m 0 g(x) = b 0 + b 1 x + + b n x n, com b n 0, vamos demonstrar o resultado por indução em m. Se m = 0, temos f(x) = a 0 e, como n m e g(x) 0, então g(x) = b 0 0. Neste caso, a 0 = (a 0 b 1 0 ) b Para simplificar a escrita, usemos a notação p em vez de p(x). Suponhamos m > 0 e admitamos que o resultado é válido para polinómios de grau menor do que m. Definindo q 1 = a m b 1 n x m n r 1 = f gq 1 = a 0 + a 1 x + + a m x m (a m b 1 n b 0 x m n + + a m x m )

10 54 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE temos f = g q 1 + r 1. Como graur 1 < m, existem q, r tais que r 1 = g q + r, com grau r < graug, donde f = g q 1 + g q + r = g(q 1 + q) + r como pretendíamos. Exemplos. 1) Em Q[x], sejam Temos graug(x) < grauf(x). Seja f(x) = x x 4 e g(x) = x. q 1 (x) = a 4 b 1 1 x 4 1 = x 4 1 = x 3. Então onde f(x) = g(x) x 3 + r 1 (x) r 1 (x) = f(x) q 1 (x) g(x) = x x 4 x 3 (1 + 2 x) = x x 4 x 3 2 x 4 = x 2 x 3. Vamos agora dividir r 1 (x) = x 2 x 3 por g(x). Sejam q 2 (x) = ( 1)2 1 x 3 1 = 1 2 x2 r 2 (x) = x 2 x 3 ( 1 ) 2 x2 (1 + 2 x) = x2. Depois dividimos r 2 (x) por g(x) e, assim sucessivamente, pelo que chegamos a ( f(x) = g(x) x x x 5 )

11 2.3 DIVISÃO DE POLINÓMIOS 55 Trata-se do algoritmo bem conhecido: 2 x x x x 4 x 3 x x2 + 5 x x x x x2 5 2 x x2 5 x 4 5 x x ) Em Z 3 [x], sejam f(x) = x x 4 e g(x) = x. Temos donde 2 x x x x 4 x 3 x 3 + x x x x x 3 x 2 x x x Nota: Em Z 3, 2 1 =2, 2=1, 1=2 x + 1 x f(x) = g(x) (x 3 + x x + 2) ) Sejam f(x) = x 4 3 x x x 1 e g(x) = x 2 2 x + 3 elementos de Z 5 [x]. Vamos dividir f(x) por g(x), aplicando o Teorema4, com o morfismo θ 5 : Z Z 5 definido por n [n] mod 5. Começamos por pensar em f(x) e g(x) como sendo polinómios de Z[x]. Pelo Corolário 5.1, podemos dividir f(x) por g(x) em Z[x], visto que g(x) é mónico. Obtemos f(x) = g(x) (x 2 x 3)+(x+8) em Z[x]. Pelo Teorema4, temos f(x) = g(x) (x x + 2) + (x + 3) em Z 5 [x]. Teorema 8 (do Resto). Seja A um anel comutativo com identidade. Se f(x) A[x] e a A, então o resto da divisão de f(x) pelo polinómio x a é f(a).

12 56 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE Demonstração: Pelo Teorema 5, existem q(x), r(x) A[x] tais que f(x) = (x a) q(x) + r(x) com grau(x a) > graur(x). Como grau(x a) = 1, temos que r(x) é uma constante. Considerando a aplicação de substituição ξ a, do Teorema 2, obtemos f(a) = (a a) q(a) + r(a) donde f(a) = r(a). Sendo r(x) constante, concluímos que r(x) = r(a) = f(a). Exemplo. Dado f(x) = x x 5 R[x], o resto da divisão de f(x) por x 2 é f(2) = 13 e o resto da divisão de f(x) por x + 2 é f( 2) = 23. Vejamos algumas consequências do Teorema do Resto. Corolário 8.1. Se A é um anel comutativo com identidade, f(x) A[x] e a A, então x a divide f(x) se e só se f(a) = 0. Demonstração: É consequência imediata do teorema anterior, tendo em conta que x a divide f(x) se e só se o resto da divisão de f(x) por x a é 0. Corolário 8.2. Sejam A um domínio de integridade e f(x) A[x]\{0} de grau n. Então f(x) tem no máximo n raízes distintas. Demonstração: Provemos o resultado por indução sobre o grau de f(x). Se grauf(x) = 0, então f(x) é constante não nula, pelo que f(x) não tem raízes. Se grauf(x) = 1, suponhamos f(x) = a 0 + a 1 x com a 1 0. Então, se α, β A são raízes de f(x), temos a 0 +a 1 α = 0 = a 0 +a 1 β, donde a 1 α = a 1 β, pelo que a 1 (α β) = 0 no domínio de integridade A. Logo, α β = 0 e, assim, α = β. Portanto, f(x) tem, no máximo, uma raiz. Admitamos que o resultado é válido para polinómios de grau n 0. Seja f(x) um polinómio de grau n+1. Se f(x) não tem raízes, nada há a provar. Se f(x) tem uma raiz α então, pelo Corolário 8.1, o polinómio x α divide f(x) e, portanto, existe g(x) tal que f(x) = (x α) g(x). Logo, g(x) tem grau n. Se β α é raiz de f(x), então 0 = f(β) = (β α) g(β), donde, no domínio A, g(β) = 0. Se γ é raiz de g(x), é claro que é raiz de f(x). Assim, as raízes de f(x) distintas de α são exactamente as raízes de g(x) distintas de α. Ora, por hipótese de indução, g(x) tem no máximo n raízes distintas, logo f(x) tem no máximo n+1 raízes distintas. O resultado fica demonstrado pelo príncipio de indução.

13 2.4 MÁXIMO DIVISOR COMUM 57 Observemos que, no corolário anterior, precisamos, de facto, que A seja domínio de integridade. Por exemplo, em Z 4 [x] o polinómio f(x) = 2 x tem grau 1, mas tem duas raízes em Z 4 : 0 e 2. (Recordemos que Z 4 não é domínio de integridade.) Definição. Sejam A um anel comutativo com identidade e f(x) A[x]. Uma raiz α A de f(x) diz-se de multiplicidade k se (x α) k divide f(x), mas (x α) k+1 não divide f(x). Se k = 1 a raiz diz-se simples e se k > 1 a raiz diz-se múltipla. Exemplos. 1) Seja f(x) = 1 2 x + x 2 Z[x]. Então α = 1 é raiz de multiplicidade 2 de f(x). De facto, temos f(x) = (x 1) 2 e (x 1) 3 não divide f(x). 2) Seja g(x) = (x 2)(1 2x+x 2 ) Z[x]. Então 1 é raiz de multiplicidade 2 de g(x) e 2 é raiz de multiplicidade 1 de g(x). É claro que se A é um domínio de integridade e f(x) A[x] é tal que α 1,...,α p A são as suas raízes distintas e têm multiplicidade n 1,..., n p N, respectivamente, então n n p grau f(x). 2.4 Máximo divisor comum Seja A um anel comutativo com identidade. Recordemos que dados f(x), g(x) A[x], um polinómio d(x) A[x] diz-se um divisor comum de f(x) e g(x) se d(x) divide f(x) e divide g(x). Um divisor comum d(x) de f(x) e g(x) diz-se um máximo divisor comum se todo o polinómio q(x) A[x] divisor comum de f(x) e de g(x) é também divisor de d(x). Exemplo. (x + 1) (x + 3). Em Z[x], o polinómio x + 1 é máximo divisor comum de x 2 1 e de Lembremos também que se K é um corpo e f(x), g(x) K[x], dados d 1 (x) e d 2 (x) máximos divisores comuns de f(x) e g(x), então d 1 (x) e d 2 (x) são associados e, além disso, todo o associado de d 1 (x) é máximo divisor comum de f(x) e g(x). Já provámos atrás que se K é um corpo, então K[x] é um domínio euclidiano, deste facto segue-se o seguinte Teorema 9. Seja K um corpo. Então K[x] é domínio de ideais principais.

14 58 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE Demonstração: É consequência da Proposição 6 e do facto de, pelo Teorema I.23, todo o domínio euclidiano ser domínio de ideais principais. Nota. Se I é ideal não nulo de K[x], tendo em conta as demonstrações da Proposição 6 e do Teorema I.23, concluímos que I = d(x), onde d(x) é um polinómio não nulo arbitrário de grau mínimo em I. Observemos ainda que se a é o coeficiente director de d(x), então a 1 d(x) é mónico e I = a 1 d(x). Por outro lado, se c(x) K[x] é gerador de I, então c(x) e d(x) são associados e, portanto, têm o mesmo grau. Estas observações permitem-nos concluir que I tem um único gerador mónico. Corolário 9.1. Sejam K um corpo e f(x), g(x) K[x]. Então existem mdc e mmc de f(x) e g(x). Demonstração: O resultado sai do Corolário I.27.1 e do teorema anterior. Definição. Dados um corpo K e f(x), g(x) K[x]\{0}, designamos o máximo divisor comum mónico de f(x) e g(x) por mdc(f(x), g(x)). Teorema 10. Seja K um corpo. Dados f(x), g(x) K[x]\{0}, o polinómio mdc(f(x), g(x)) pode ser escrito na forma a(x) f(x) + b(x) g(x), com a(x), b(x) K[x]. Demonstração: É consequência do Teorema 9 e do Corolário I Observemos que, atendendo à nota anterior, mdc(f(x), g(x)) é o único polinómio mónico de menor grau que se escreve na forma a(x) f(x)+b(x) g(x), com a(x), b(x) K[x]. Como podemos calcular mdc(f(x), g(x))? Teorema 11 (Algoritmo do mdc). Sejam K um corpo, f(x), g(x) K[x]\{0} tais que g(x) não divide f(x). Seja r k (x) o último resto não nulo que se obtém aplicando sucessivamente o algoritmo da divisão do modo seguinte:

15 2.4 MÁXIMO DIVISOR COMUM 59 (a) f(x) = g(x) q(x) + r(x), com grau r(x) < graug(x) ; (b) g(x) = r(x) q 1 (x) + r 1 (x), com graur 1 (x) < graur(x) ; (1) r(x) = r 1 (x) q 2 (x) + r 2 (x), com grau r 2 (x) < graur 1 (x) ;. (k 1) r k 2 (x) = r k 1 (x) q k (x) + r k (x), com grau r k (x) < graur k 1 (x) ; (k) r k 1 (x) = r k (x) q k+1 (x). Seja a K o coeficiente director de r k (x). Então ( ) mdc f(x), g(x) = a 1 r k (x). Demonstração: Pela igualdade (k), temos que r k (x)/r k 1 (x). Então, pela igualdade (k 1), concluímos que r k (x)/r k 2 (x). Sucessivamente r k (x)/r k 3 (x),..., r k (x)/r 1 (x). Logo r k (x)/r(x), por (1). Portanto r k (x)/g(x), por (b), e r k (x)/f(x), por (a). Tomemos h(x) K[x] tal que h(x)/f(x) e h(x)/g(x). Por (a), temos r(x) = f(x) g(x) q(x), donde h(x)/r(x). De (b), vem r 1 (x) = g(x) r(x) q 1 (x) pelo que h(x)/r 1 (x). Sucessivamente, concluímos que h(x)/r k 2 (x) e h(x)/r k 1 (x). Então h(x)/r k (x), pela condição (k 1). Portanto, r k (x) é um máximo divisor comum de f(x) e g(x). Logo ( ) mdc f(x), g(x) = a 1 r k (x) em que a K é o coeficiente director de r k (x). Vejamos alguns exemplos de aplicação deste algoritmo. Exemplos. 1) Sejam f(x) = x x 2 + x + 1 e g(x) = x 2 1 polinómios de R[x].

16 60 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE Vamos determinar mdc(f(x), g(x)): x x 2 + x + 1 x 2 1 x 4 + x 2 x x 2 + x x x + 4 x 2 1 x + 4 x 2 4 x x 4 4 x x x x x Nota: Observemos que ao atingirmos um resto que é uma constante não nula, alcançámos o último resto não nulo. Portanto, r k (x) = 15. Logo ( ) mdc f(x), g(x) = 15 1 r k (x) = 1. 2) Sejam f(x) = x x x x + 4, g(x) = x x + 3 Z 5 [x]. Calculemos mdc(f(x), g(x)) em Z 5 [x]. Vamos efectuar as divisões em Z 5 [x]: x x x x + 4 x x + 3 x 4 3 x 3 3 x 2 x 2 x + 2 = x x + 2 x 3 x x x x x + 2 x x x 2 6 x 6 x 2 = x + 3 x2 + 3 x + 3 x + 3 x 2 3 x x 3

17 2.4 MÁXIMO DIVISOR COMUM 61 Então mdc(f(x), g(x)) = = 1 3) Sejam f(x) = x x 3 + x 2 + x + 1 e g(x) = 2 x x x + 2 em Z 3 [x]. Determinemos mdc(f(x), g(x)). x x 3 + x 2 + x x x x + 2 x 4 x 3 x 2 x 2 x + 2 (2 1 = 2 em Z 3 ) + x x 3 x 2 x 1 x 2 x = 2 x x (f = g q + r) 2 x3 + 2 x x x x 2 x 3 2 x 2 x 2 x + 2 (g = r q 1 + r 1 ) 2 x2 + 2 x 2 x x 2 2 x x 0 (r = r 1 q 2 ) Portanto, r 1 = 2 x + 2 é mdc de f(x) e g(x), donde ( ) mdc f(x), g(x) = 2 1 r 1 = 2 1 (2 x + 2) = 4 x + 4 = x + 1. ( ) Procuremos agora a expressão de mdc f(x), g(x) garantida pelo Teorema 10. Temos logo r 1 = g r q 1 = g (f g q) q 1 = g f q 1 + g q q 1 = ( q 1 ) f + (1 + q q 1 ) g = (2 x) f + (1 + 2 x + 2 x 2 ) g mdc(f, g) = (4 x) f + (2 + 4 x + 4 x 2 ) g = xf + (2 + x + x 2 ) g. Vimos atrás que se K é um corpo, então K[x] é domínio de ideais principais, com U(K[x]) = K\{0}, pelo que podemos garantir o seguinte Teorema 12. Seja K um corpo. Dado p(x) K[x], então p(x) é irredutível se e só se p(x) é primo. Demonstração: Pela Proposição I.22, visto que K[x] é domínio de ideais principais. Vejamos alguns exemplos de polinómios irredutíveis.

18 62 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE Exemplos 1) O polinómio x é irredutível em R[x] mas não o é em C[x]. 2) O polinómio 3x é irredutível em R[x] mas não o é em Z[x]. 3) O polinómio x 3 x 2 + x 1 não é irredutível em R[x]. Sendo K um corpo, K[x] é domínio de ideais principais e, portanto, é domínio de factorização única. Logo qualquer polinómio não constante de K[x] pode decompor-se num produto de polinómios irredutíveis, que é único a menos da ordem dos factores e do produto por unidades. Podemos, no entanto, dizer um pouco mais. Teorema 13 (Factorização única). Seja K um corpo. a) K[x] é um domínio de factorização única. b) Dado f(x) K[x]\K, existem p 1 (x),..., p n (x) K[x] mónicos e irredutíveis e a K\{0} tais que f(x) = a p 1 (x) p n (x). Mais ainda, esta factorização é única a menos da ordem dos factores. Demonstração: a) Atendendo aos Teoremas 9 e I.27. b) Sabemos que existem q 1 (x),..., q n (x) irredutíveis, únicos a menos do produto por unidades, tais que f(x) = q 1 (x) q n (x). Seja a i o coeficiente director de q i (x), com i = 1,..., n. Então f(x) = (a 1 a n ) (a 1 1 q 1 (x)) (a 1 n q n (x)) com a 1 i q i (x) mónico irredutível, para i = 1,..., n, e a 1 a n K\{0}. Sejam b K\{0} e r 1 (x),..., r m (x) K[x] mónicos e irredutíveis tais que Então br 1 (x) é irredutível e temos f(x) = br 1 (x) r m (x). f(x) = (br 1 (x)) r 2 (x) r m (x). Logo m = n e podemos supor que br 1 (x) é associado de q 1 (x), r 2 (x) é associado de q 2 (x),... e r n (x) é associado de q n (x). Seja u K\{0} tal que q 1 (x) = u br 1 (x). Como r 1 (x) é mónico, obtemos u b = a 1, donde r 1 (x) = a 1 1 q 1 (x). Para i = 2,..., n, sendo r i (x) mónico, temos r i (x) = a 1 i é mónico, com i = 1,..., n, obtemos q i (x). Finalmente, atendendo a que cada r i (x) e cada a 1 i a 1 a n = b q i (x)

19 2.5 DESCRIÇÃO DO CORPO K[x]/ f(x) 63 como queremos demonstrar. Em seguida, vamos provar que dado um corpo K e um polinómio irredutível f(x) K[x], podemos construir um novo corpo, nomeadamente o corpo K[x]/ f(x). Teorema 14. Sejam K um corpo e f(x) K[x] irredutível. Então K[x]/ f(x) é corpo. Demonstração: Resulta do Corolário I.18.1, pois K[x] é domínio de ideais principais. 2.5 Descrição do corpo K[x]/ f(x) Dados um corpo K e um polinómio irredutível mónico f(x) K[x], vamos descrever o corpo quociente K[x]/ f(x). Seja g(x) K[x]. Pelo Corolário 5.2, existem q(x), r(x) tais que g(x) = f(x) q(x) + r(x) com graur(x) < grau f(x). Então g(x) + f(x) = r(x) + f(x), ou seja, g(x) e r(x) pertencem à mesma f(x) -classe, donde K[x]/ f(x) = { } r(x) + f(x) : r(x) K[x], graur(x) < grauf(x). Seja f(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + x n. Definimos X = x + f(x) e, dado a K, identificamos a com a+ f(x). De facto, se a + f(x) = b + f(x), com a, b K, então a b f(x), donde f(x) divide a b K. Como f(x) tem grau maior ou igual a 1, concluímos que a b = 0 e, portanto, a = b. Assim, se r(x) = b 0 + b 1 x + + b n 1 x n 1, temos r(x) + f(x) = b 0 + b 1 X + + b n 1 X n 1. Por outro lado, de x n = f(x) a 0 a 1 x a n 1 x n 1, resulta X n = a 0 a 1 X a n 1 X n 1. Temos, então, K[x]/ f(x) = {b 0 + b 1 X + + b n 1 X n 1 : b 0,..., b n 1 K}, com X n = a 0 a 1 X a n 1 X n 1. Além disso, cada elemento de K[x]/ f(x) escreve-se de modo único na forma b 0 + b 1 X + + b n 1 X n 1, com b 0,..., b n 1 K. De facto, se b 0 + b 1 X+...+b n 1 X n 1 = c 0 +c 1 X+...+c n 1 X n 1, com b 0, b 1,..., b n 1, c 0, c 1,...,c n 1 K, então f(x) divide o polinómio (b 0 c 0 )+(b 1 c 1 )x+...+(b n 1 c n 1 )x n 1 e, como grau f(x) = n, obtemos b i c i = 0, donde b i = c i, para i = 0,...,n 1. Exemplos.

20 64 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE 1) Tomemos o polinómio x irredutível em R[x]. Então R[x]/ x = { } b 0 + b 1 X : b 0, b 1 R, com X 2 = 1 = C. Note-se que X é raiz de x em R[x]/ x ) Q[x]/ x = {b 0 + b 1 X : b 0, b 1 Q}, com X 2 = 1. 3) Seja f(x) = x 2 + x + 1 Z 2 [x]. Temos X 2 = 1 X = 1 + X e Z 2 [x]/ f(x) = {b 0 + b 1 X : b 0, b 1 Z 2 }, com X 2 = 1 + X = {0, 1, X, 1 + X} onde as operações estão definidas do seguinte modo: X 1+X X 1+X X X X X 1+X X 1+X X X 1+X X 1+X X 0 X 1+X 1 1+X 0 1+X 1 X Temos, por exemplo, X = X e X 1 = 1 + X. Observações. 1) Se tomarmos f(x) K[x] irredutível, em que f(x) tem coeficiente director a, então já sabemos que a 1 f(x) é mónico e irredutível e f(x) = a 1 f(x). Para obtermos a descrição de K[x]/ f(x) tomamos a sua descrição via a 1 f(x). 2) Suponhamos que K é corpo e f(x) K[x] é mónico e tem grau 1. Então f(x) = a+x, para certo a K. Neste caso, a é raiz de f(x) em K. Podemos construir o corpo K[x]/ f(x), obtendo-se K[x]/ f(x) = Vemos que o corpo obtido é isomorfo a K. { } b + f(x) : b K.

21 2.6 POLINÓMIOS DE COEFICIENTES EM Q 65 3) Seja f(x) um polinómio irredutível em K[x]. Se grauf(x) = n > 1, então f(x) não tem raízes em K. Suponhamos f(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n. Consideremos o corpo K[x]/ f(x) = { } b 0 + b 1 X + + b n 1 X n 1 : b 0, b 1,..., b n 1 K, com X n = a 0 a 1 n a 1 a 1 n X a n 1 a 1 n Xn 1 Então X é raiz do polinómio a 1 n f(x) e, portanto, f(x) considerado com coeficientes neste novo corpo K[x]/ f(x). Por exemplo, X é raiz do polinómio x no corpo R[x]/ x 2 + 1, pois X é a classe de x 2 + 1, ou seja, é o ideal x 2 + 1, que é o zero do corpo quociente R[x]/ x Definição. Sejam K um corpo, f(x) K[x] e K um corpo que é extensão de K. Dizemos que K é corpo de ruptura de f(x) se f(x) tem uma raiz em K. Exemplos. 1) Dado f(x) = x R[x], o corpo C é um corpo de ruptura de f(x). 2) Seja f(x) K[x] irredutível. Então K[x]/ f(x) é corpo de ruptura de f(x), pois X é raiz de f(x) neste corpo. Teorema 15 (Kronecker). Sejam K um corpo e f(x) K[x]\K. Então existe um corpo de ruptura K de f(x). Demonstração: Seja f(x) K[x]\K. Se f tem raízes em K, tomamos K = K. Suponhamos que f(x) não tem raízes em K. Pelo Teorema 13, podemos considerar f(x) = a f 1 (x) f p (x), onde f i (x) é irredutível e mónico, com i = 1,..., p, e a K\{0}. Observemos que cada f i (x) não tem raízes em K. Tomemos K = K[x]/ f 1 (x), o qual é uma extensão de K. Então X = x + f(x) K é raiz de f 1 (x) em K, logo é raiz de f(x) em K. Portanto K é um corpo de ruptura de f(x). Deixamos ao cuidado do leitor provar o resultado seguinte. Teorema 16. Sejam K um corpo e f(x) K[x]\K. Então existe um corpo Ω, que é extensão de K, em que f(x) se decompõe em factores de grau Polinómios de coeficientes em Q Pretendemos agora estudar polinómios irredutíveis de coeficientes em Z e em Q.

22 66 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE Recordemos que um polinómio de coeficientes em Q é irredutível em Q[x] se e só se é primo em Q[x], uma vez que Q[x] é domínio de ideais principais. Veremos que o mesmo se passa em Z[x], embora Z[x] não seja domínio de ideais principais. Definição. Um polinómio a 0 + a 1 x + + a n x n Z[x]\Z diz-se primitivo se mdc(a 0, a 1,..., a n ) = 1 em Z. Exemplos. O polinómio 10 x x + 6 Z[x] é primitivo, mas o polinómio 8 42 x + 2 x x 3 não o é. Um polinómio da forma a f(x), com a Z\{ 1, 1} e f(x) Z[x], nunca é primitivo. Proposição 17. Seja f(x) Q[x]\Q. Então existe um polinómio primitivo F(x) Z[x] tal que f(x) = α F(x), com α Q e α > 0, sendo grau f(x) = grauf(x). Demonstração: Seja f(x) = a 0 b 0 + a 1 b 1 x + + a n b n x n, com a 0, a 1,..., a n Z, b 0, b 1,..., b n Z\{0}, mdc(a i, b i ) = 1, para i = 0,..., n, e grau f(x) = n > 1. Tomemos M = mmc(b 0, b 1,..., b n ). Sejam t i Z, com i = 0,..., n, tais que M = b i t i. Então f(x) = t 0 a 0 M + t 1 a 1 M x + + t n a n M xn. Tomemos D = mdc(t 0 a 0, t 1 a 1,..., t n a n ). Então D M > 0 e f(x) = D M ( t0 a 0 D + t 1 a 1 D x + + t n a n D xn ). Como D/t i a i em Z, então t i a i Z, para i = 0,..., n. Além disso, D ( t0 a 0 mdc D, t 1 a 1 D,..., t n a ) n = 1. D Logo F(x) = t 0 a 0 D + t 1 a 1 D x + + t n a n D xn Z[x] é primitivo e é associado de f(x) em K[x], tendo-se f(x) = D F(x), com D M M grauf(x) = grau f(x). > 0 e Vejamos um exemplo

23 2.6 POLINÓMIOS DE COEFICIENTES EM Q 67 Exemplo. Seja f(x) = x x2 Q[x], temos M = mmc(5, 1, 7) = 35 e f(x) = x x2 = 1 35 ( x + 90 x2 ). Agora, D = mdc(21, 315, 90) = 3, donde f(x) = 3 F(x), em que F(x) = x x 2. Em seguida, vamos ver como se comportam os polinómios primitivos em relação ao produto. Teorema 18. Sejam F(x), G(x) Z[x] primitivos. Então F(x) G(x) também o é. Demonstração: Suponhamos F(x) = a 0 +a 1 x+ +a m x m e G(x) = b 0 +b 1 x+ + b n x n, com a m, b n 0. Então m, n 1, mdc(a 0, a 1,..., a m ) = 1 e mdc(b 0, b 1,..., b n ) = 1. Logo F(x) G(x) = c 0 + c 1 x + + c m+n x m+n com c i = k+l=i a k b l, i = 0,..., m + n. Suponhamos que F(x) G(x) não é primitivo. Então mdc(c 0, c 1,..., c m+n ) 1. Seja p N primo tal que p/c i, com i = 0,..., m + n. Tomemos s {0,..., m} o menor índice tal que p \/a s. (Note-se que s existe por termos mdc{a 0,..., a n } = 1.) Analogamente, seja t {0,..., n} o menor índice tal que p \/b t. Consideremos o coeficiente c s+t = a k b l + a s b t + a k b l. k+l=s+t k<s k+l=s+t l<t Como p é primo e não divide a s nem b t, então p não divide a s b t. Por outro lado, por definição de s e t, temos que p divide todas as outras parcelas de c s+t. Ora, por hipótese, p divide c s+t, pelo que p divide a s b t, o que é absurdo. Assim, concluímos que F(x)G(x) é primitivo. Teorema 19 (Gauss). Seja F(x) Z[x]\Z tal que F(x) = g(x)h(x), com g(x), h(x) Q[x]\Q. Então existem G(x), H(x) Z[x] tais que F(x) = G(x)H(x), com grau G(x) = grau g(x) e grau H(x) = grau h(x).

24 68 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE Demonstração: Sejam a 0,..., a n Z, com a n 0 e n > 1, os coeficientes de F(x). i) Admitamos que F(x) é primitivo. Atendendo à Proposição 17, podemos tomar G(x) = α 1 g(x) e H(x) = β 1 h(x) polinómios primitivos de Z[x] associados em Q[x] a g(x) e h(x), respectivamente, com α 1, β 1 Q +. Suponhamos α = a e β = c, com b d a, b, c, d N e mdc(a, b) = mdc(c, d) = 1. Temos F(x) = a c G(x)H(x), donde bdf(x) = acg(x)h(x). Sejam b b d 0,..., b n os coeficientes de G(x)H(x). Obtemos bda i = acb i, com i = 0,..., n. Então mdc(bd a 0,..., bd a n ) = mdc(ac b 0,..., ac b n ), donde bd mdc(a 0,..., a n ) = ac mdc(b 0,..., b n ). Como F(x) é primitivo, mdc(a 0,..., a n ) = 1. Por outro lado, pelo Teorema 18, sendo G(x) e H(x) primitivos, G(x) H(x) também o é, pelo que mdc(b 0,..., b n ) = 1. Logo bd = ac, donde F(x) = G(x) H(x), como pretendíamos. (ii) Admitamos agora que F(x) não é primitivo. Neste caso, temos F(x) = D F 1 (x) em que D = mdc(a 0,..., a n ) 1 e F 1 (x) = 1 F(x) Z[x] é primitivo, com grauf(x) = D grauf 1 (x). Então F 1 (x) Z[x]\Z e F 1 (x) = ( 1 D g(x) ) h(x). Por (i), sabemos que existem G 1 (x) e H 1 (x) Z[x] tais que graug 1 (x) = grau( 1 D g(x)) = graug(x), grau H 1 (x) = grau h(x) e F 1 (x) = G 1 (x) H 1 (x). Então F(x) = (D G 1 (x)) H 1 (x), com D G 1 (x) Z[x], graud G 1 (x) = graug(x) e grauh 1 (x) = grauh(x), como queríamos demonstrar. Corolário Seja F(x) Z[x]\Z. Se F(x) não é irredutível em Q[x], então F(x) não é irredutível em Z[x]. Demonstração: Como F(x) Z[x]\Z, então F(x) / Q. Uma vez que F(x) não é irredutível em Q[x] temos F(x) = g(x) h(x), para alguns g(x), h(x) Q[x] tais que graug(x) 1 e grauh(x) 1. Então, pelo teorema anterior, existem G(x), H(x) Z[x] tais que F(x) = G(x) H(x), com graug(x) = graug(x) e grauh(x) = grau h(x). Logo F(x) não é irredutível em Z[x]. Observemos que o corolário anterior não é válido para elementos F(x) Z. De facto, por exemplo, o elemento 5 é irredutível em Z[x], mas não o é em Q[x], pois é unidade de Q[x].

25 2.6 POLINÓMIOS DE COEFICIENTES EM Q 69 Corolário Seja F(x) Z[x] primitivo. Então F(x) é irredutível em Q[x] se e só se é irredutível em Z[x]. Demonstração: Como F(x) é primitivo, então F(x) / Z. Pelo corolário anterior, se F(x) é irredutível em Z[x], então F(x) é irredutível em Q[x]. Reciprocamente, suponhamos que F(x) é irredutível em Q[x]. Se F(x) = g(x) h(x), com g(x), h(x) Z[x], então, como F(x) é irredutível em Q[x], temos g(x) ou h(x) em Q\{0}. Logo g(x) Z ou h(x) Z. Se tivéssemos g(x) ou h(x) diferentes de 1 e de 1, então F(x) não seria primitivo. Assim, temos g(x) ou h(x) em { 1, 1} = U(Z[x]), donde F(x) é irredutível em Z[x]. Notemos agora que este último corolário não é válido para polinómios de Z[x] não pri-mitivos. Por exemplo, F(x) = x Z[x] pode ser escrito como 6(1 + x), em que 6, 1+x / U(Z[x]), pelo que não é irredutível em Z[x], embora o seja em Q[x]. Vamos agora provar que em Z[x] os elementos irredutíveis coincidem com os elementos primos, embora Z[x] não seja domínio de ideais principais. Teorema 20. Seja f(x) Z[x]. Então f(x) é irredutível em Z[x] se e só se é primo em Z[x]. Antes de demonstrar este teorema, provemos o seguinte resultado. Lema 21 Seja a Z\{ 1, 0, 1}. Então a) a é primo em Z[x] se e só se a é primo em Z; b) a é irredutível em Z[x] se e só se a é primo em Z. c) a é primo em Z[x] se e só se a é irredutível em Z[x]. Demonstração: a) É claro que se a é primo em Z[x], então a é primo em Z. Reciprocamente, suponhamos que a é primo em Z e que a/f(x) g(x), com f(x), g(x) Z[x]. Se f(x) = 0 ou g(x) = 0, então a/f(x) ou a/g(x) respectivamente. Admitamos então que f(x) 0 e g(x) 0. Seja r(x) Z[x] tal que f(x) g(x) = a r(x). Sejam D f, D g e D r os máximos divisores comuns positivos dos coeficientes de f(x), g(x) e r(x), respectivamente. Então ( 1 1 ) ( 1 ) D g D f f(x))( g(x) = a D r r(x) D f D g D r sendo D f f(x), D g g(x), D r r(x) Z[x] primitivos ou iguais a +1 ou 1. Assim D g D f = a D r. Como a é primo em Z, então a/d g ou a/d f. Logo a/g(x) ou a/f(x), pelo que a é primo em Z[x]

26 70 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE b) Se a é irredutível em Z[x], então a é irredutível em Z, uma vez que U(Z[x]) = U(Z) e Z Z[x]. Portanto, como Z é domínio de ideais principais, a é primo em Z. Reciprocamente, se a é primo em Z, então a é irredutível em Z e facilmente se conclui que é também irredutível em Z[x]. c) É consequência das alíneas anteriores. Demonstração do Teorema 20: Se f(x) é constante, então f(x) Z e o resultado é consequência do lema anterior. Suponhamos que grauf(x) 1. Se f(x) é primo, então f(x) é irredutível pois Z[x] é domínio de integridade, mas a condição recíproca não é imediata, já que Z[x] não é domínio de ideais principais. Admitamos que f(x) é irredutível em Z[x]. Sejam g(x), h(x) Z[x] tais que f(x) divide g(x) h(x) em Z[x]. Se f(x) não fosse primitivo, teríamos f(x) = D( 1 f(x)), em que D é mdc dos seus D coeficientes e D > 1. Então D / U(Z[x]) e, por outro lado, f(x) / U(Z[x]), donde f(x) não seria irredutível em Z[x]. (Observemos que acabámos de provar que um polinómio f(x) Z[x]\Z não primitivo é sempre não irredutível em Z[x].) Portanto, f(x) é primitivo. Logo, pelo Corolário 19.2, o polinómio f(x) também é irredutível em Q[x], pelo que f(x) é primo em Q[x], visto que Q[x] é domínio de ideais principais. Como f(x) divide g(x) h(x) em Z[x], então f(x) divide g(x) h(x) em Q[x], pelo que f(x) divide g(x) ou h(x) em Q[x]. Suponhamos que f(x) divide g(x) em Q[x]. Seja r(x) Q[x] tal que g(x) = f(x) r(x). Se r(x) Q, tomemos α = r(x) e R(x) = r(x), donde R(x) { 1, 1}; se r(x) / Q, α tomemos R(x) Z[x] primitivo e α Q + tal que r(x) = α R(x). Sejam a, b N tais que α = a e mdc(a, b) = 1. Então b bg(x) = a f(x) R(x). Seja d o mdc positivo dos coeficientes de g(x). Então 1 g(x) Z[x] é primitivo e temos d ( 1 ) bd d g(x) = a f(x) R(x). Ora, pelo Teorema 18, o polinómio f(x) R(x) também é primitivo. Então bd = a. Logo b/a, pelo que b = mdc(a, b), donde b = 1. Assim, α = a N e r(x) = a R(x) Z[x]. Portanto, f(x) divide g(x) em Z[x]. Analogamente, se estuda o caso em que f(x) divide h(x). Concluímos pois que f(x) é primo em Z[x]. Vamos agora apresentar um teste que nos permite garantir que certos polinómios de coeficientes em Z são irredutíveis em Q[x]. Teorema 22 (Teste de Eisenstein). Seja F(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n Z[x], com a n 0 e n 2. Se existe um primo p Z tal que

27 2.6 POLINÓMIOS DE COEFICIENTES EM Q 71 a) p/a 0, p/a 1,..., p/a n 1, p \/ a n, b) p 2 \/a 0, então F(x) é irredutível em Q[x]. Demonstração: Suponhamos que F(x) não é irredutível em Q[x]. Então existem g(x), h(x) Q[x]\Q tais que F(x) = g(x) h(x). Pelo Teorema de Gauss, existem G(x), H(x) Z[x] tais que F(x) = G(x) H(x), com graug(x) = graug(x) e grauh(x) = grauh(x). Sejam G(x) = b 0 + b 1 x + + b r x r, com b r 0, e H(x) = c 0 + c 1 x + + c s x s, com c s 0. Temos 1 r, s < n. Então a 0 = b 0 c 0. Como p é primo e p/a 0, então p/b 0 ou p/c 0. Suponhamos que p/b 0. Então p \/c 0, porque p 2 \/ a 0. Consideremos agora o coeficiente a 1. Temos a 1 = b 0 c 1 + b 1 c 0 e, como p/a 1, p/b 0, p \/c 0 e p é primo, então p/b 1. Vejamos que se p/b i, para qualquer i k, com k < r, então p/b k+1. Como a k+1 = c j b i + c 0 b k+1, j+i=k+1 i k p/a k+1, logo p/c 0 b k+1. Ora p é primo e p \/ c 0, logo p/b k+1. Assim, p/b i para qualquer i r e, em particular, p/b r. Portanto, p/a n, pois a n = b r c s, o que é absurdo. Se admitirmos que p/c 0 chegamos, de modo análogo, a um absurdo. Logo F(x) é irredutível em Q[x]. Exemplo. Provemos que f(x) = x x2 x x x5 é irredutível em Q[x]. Comecemos por escrever e seja Temos que f(x) = 1 15 (3 45 x + 18 x 2 15 x x x 5 ) F(x) = 3 45 x + 18 x 2 15 x x x 5 Z[x]. 3/3, 3/ 45, 3/18, 3/ 15, 3/12, 3 \/ 2, 9 \/ 3, logo, pelo critério de Eisenstein, F(x) é irredutível em Q[x]. Portanto f(x) é irredutível em Q[x], pois é associado de F(x) em Q[x]. O resultado seguinte dá-nos um método para procurarmos raízes racionais de polinómios de coeficientes inteiros. Teorema 23 (Teste da raiz racional). Seja f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n Z[x], com a n 0. Seja r s Q, com mdc(r, s) = 1, uma raiz de f(x). Então r/a 0 e s/a n.

28 72 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE donde Demonstração: Como r s é raiz de f(x), temos r 0 = a 0 + a 1 s + a r 2 2 s + + a r n 2 n s n 0 = a 0 s n + a 1 r s n 1 + a 2 r 2 s n a n 1 r n 1 s + a n r n. Então r/a 0 s n e s/a n r n. Como mdc(r, s) = 1, temos que r/a 0 e s/a n. Exemplo. Provemos que f(x) = x x x + 2 não tem raízes em Q. Se tivesse uma raiz racional r, com mdc(r, s) = 1, teríamos que r/2 e s/1. Logo r { 2, 2, 1, 1} e s s { 1, 1}, donde r { 2, 2, 1, 1}. Porém f( 2), f(2), f( 1), f(1) 0. Observemos s que, neste caso, podemos concluir que f(x) é irredutível em Q[x], uma vez que tem grau 3 e não tem raízes em Q. 2.7 Polinómios de coeficiente em R e em C Começamos por enunciar o Teorema Fundamental da Álgebra demonstrado pela primeira vez por Gauss (nascido em 1777), que apresentou seis demonstrações diferentes deste resultado. A demonstração deste teorema sai do âmbito deste curso, mas observamos que pode ser feita algebricamente ou usando resultados de Análise Complexa (ver Cohn, vol.2, ou Herstein). Teorema Fundamental da Álgebra 24. coeficientes em C admite uma raiz em C. Todo o polinómio não constante de É claro que é consequência deste resultado o facto seguinte. Corolário Todo o polinómio não constante de coeficientes em C decompõe-se em factores de grau 1 de C[x]. No que respeita a polinómios de coeficientes reais, pretendemos mostrar que todo o polinómio não constante se decompõe num produto de polinómios de grau 1 ou 2. Consideremos f(x) R[x]\R. Pelo Teorema 24, o polinómio f(x) admite uma raiz β C. Sendo β = a + bi, com a, b R, podemos ver que 0 = f(a + bi) = f(a bi) donde β, o conjugado de β, também é raiz de f(x). Vamos mostrar que β e β têm a mesma multiplicidade. Temos (x β) (x β) = x 2 2 a x + a 2 + b 2 R[x].

29 2.7 POLINÓMIOS DE COEFICIENTE EM R E EM C 73 Se β C\R, então β β e sabemos que (x β) (x β) divide f(x) em C[x]. Logo existe h(x) C[x] tal que f(x) = h(x) (x β) (x β). Além disso, como (x β) (x β) R[x] existem h 1 (x), r(x) R[x] tais que f(x) = h 1 (x) (x β) (x β) + r(x), com graur(x) < 2. Ora R[x] C[x] e a divisão em C[x] efectua-se de modo único, donde h(x) = h 1 (x) e r(x) = 0. Portanto, h(x) R[x]. Admitamos que β tem multiplicidade k e β tem multiplicidade l. Se k 2, então β é raiz de h(x). Logo β também é raiz de h(x), pelo ( 2 que (x β)(x β)) divide f(x). Sucessivamente concluimos que ((x β) (x β)) k divide f(x) em R[x]. Logo k l. Como β = β, o mesmo raciocínio aplicado a β permite-nos concluir que l k. Portanto l = k. Assim, num polinómio f(x) R[x]\R as raízes complexas não reais surgem aos pares. No que se segue, devemos ter em conta que se K é um corpo, f(x) K[x], e α 1,..., α r K são raízes distintas de f(x) com multiplicidade m 1,..., m r respectivamente, então existe h(x) K[x] tal que e α 1,..., α r não são raízes de h(x). f(x) = (x α 1 ) m1 (x α r ) mr h(x) Teorema 25. Todo o polinómio de R[x]\R é produto de polinómios de grau 1 ou 2. Demonstração: Seja f(x) R[x]\R com graun 1. Suponhamos que f(x) tem p raízes reais distintas α 1,...α p e 2k raízes complexas não reais distintas β 1,..., β k, β 1,..., β k. Sejam r i a multiplicidade de α i, com i = 1,..., p e m j a multiplicidade de β j, com j = 1,..., k. Então ) m1 mk f(x) = (x α 1 ) r1 (x α p ) ((x rp β 1 ) (x β 1 ) ( (x β k ) (x β k )) h(x) para algum h(x) C[x], em que h(x) não tem raízes em C. Pelo Teorema 24, o polinómio h(x) é uma constante de C[x]. Assim, h(x) C e, como f(x) R[x], obtemos h(x) R. Portanto f(x) decompõe-se em R[x] em polinómios de grau 1 ou de grau 2. Do teorema anterior, resulta imediatamente o seguinte. Corolário Se f(x) R[x] é irredutível em R[x], então grauf(x) é 1 ou 2. Exemplos. 1) O polinómio f(x) = x 2 2 é irredutível em Q[x] mas não o é em R[x]. 2) O polinómio f(x) = x é irredutível em R[x].

30 74 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE Exercícios 1. Seja A um anel comutativo com identidade. Mostre que o subconjunto de A[x] { } A 0 = a 1 x + + a n x n n N a 1,..., a n A é um ideal de A[x]. 2. Indique, caso exista, um natural n > 1, tal que x divida x 5 3 x x 3 9 x em Z n [x]. 3. Considere em Z 3 [x] os polinómios f = x 12 1 e g = x Determine os polinómios q, r Z 3 [x] tais que f = gq + r e gr(r) < gr(g). 4. No domínio de integridade Z[x], considere os ideais 3 e 3, x. Mostre que a) (i) x / 3 ; (ii) 1 / 3, x ; b) O ideal 3, x não é principal. Conclua que Z[x] não é domínio de ideais principais. 5. Considere em Q[x] os polinómios f = x x 3 x 2 5 x + 2 e g = x x x 4. Determine o mdc de f e g e escreva-o na forma af + bg, com a, b Q[x]. 6. Considere os polinómios de R[x] a) Determine mdc(f, g); f = x 4 x 3 2x 2 + 3x 1 e g = x 3 + x 2 x 1. b) Diga, justificando, se o polinómio x 2 1 pertence ao ideal de R[x] gerado por {f, g}.

31 EXERCÍCIOS Considere o ideal I = x 3 + x 2, x 6 + 2x 4 + 2x 2 de R[x]. a) Determine um polinómio h R[x] tal que I = h. b) Diga, justificando, se I é ideal primo. 8. Em Z 5 [x] considere os polinómios f = x 2 + 2x + 3 e g = x 3 + x 2 + 2x + 2. a) Mostre que x 2 + x f, g. b) Diga, justificando, se Z 5 [x]/ f, g é um corpo. 9. Considere em Z 2 [x] o polinómio f = x 3 + x + 1. a) Mostre que Z 2 [x]/ f é um corpo. b) Determine o inverso de x + f. c) Determine um polinómio g Z 2 [x] com grau 2 e tal que g + f = x 5 + x 3 + x + f. d) Mostre que, para cada polinómio t Z 2 [x], existe um e um só polinómio s Z 2 [x] com grau menor do que 3 tal que s + f = t + f. 10. Seja f = 2x 3 + x Z 3 [x]. a) Mostre que f é um ideal maximal de Z 3 [x]. b) Descreva o corpo Z 3 [x]/ f. c) Determine o inverso de 2x f. d) Verifique que x f = 2x 4 + x f. 11. Seja p = 2x 3 + x + 1 Z 3 [x]. a) Mostre que Z 3 [x]/ p é um corpo. b) Designando por X o elemento x + p, calcule (apresentando o resultado na forma simplificada) i) (1 + 2X 2 ) + (1 + X + X 2 ), ii) (1 + 2X 2 ) (1 + X + X 2 ), iii) o inverso e o simétrico de X.

32 76 ANÉIS DE POLINÓMIOS SOBRE ANÉIS COMUTATIVOS COM IDENTIDADE c) Calcule o cardinal de Z 3 [x]/ p. 12. Considere o polinómio f = x 3 +2 x+1 Z 3 [x]. Mostre que f é irredutível em Z 3 [x] e determine um corpo de ruptura de f. 13. Diga, justificando, se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira ou falsa: a) Se K é um corpo, então K[x] também é corpo. b) Todo o polinómio com coeficientes num corpo K admite uma raiz em K. c) Todo o polinómio irredutível em Q[x] é também irredutível em R[x]. d) Polinómios primos entre si e com coeficientes num corpo K têm graus diferentes. 14. Considere em Z[x] o polinómio Determine as raízes racionais de f. f = x 5 9 x x 3 46 x x Diga, justificando, se cada um dos seguintes polinómios é irredutível em Q[x] a) x x x + 3; b) x x x + 9; c) 2 x 5 27 x 2 + 3; d) 2 x 2 3 x + 4; e) x x x x + 2; f) 2 x 4 + x 3 8 x 2 + x 10; g) x Definição Sejam K um corpo e f K[x]. Chamamos derivada de f ao polinómio f K[x] definido do modo seguinte: se f é constante, então f = 0; se f = n i=0 a i x i é um polinómio em que 1 grauf n, com n N, então f = n i a i x i 1. i=1