Criptografia e Segurança de Rede Capítulo 4. Quarta Edição por William Stallings
|
|
- Danilo Chaves Camarinho
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Criptografia e Segurança de Rede Capítulo 4 Quarta Edição por William Stallings
2 Capítulo 4 Corpos Finitos Na manhã seguinte, ao nascer o dia, Star entrou em casa, aparentemente ávida por uma lição. Eu disse, "Mostre oito". Ela fez uma exibição brilhante, primeiro batendo 4-4, depois batendo rapidamente , antes de entrar. É incrível como Star aprendeu a contar até oito sem dificuldade. E do seu próprio jeito descobriu que cada número pode ser dado com diferentes divisões, isso não deixa dúvida de que estava conscientemente pensando em cada número. De fato, ela fez a aritmética mental, embora não possa, como os humanos, dar nome aos números. Mas ela aprendeu a reconhecer seus nomes falados quase imediatamente e lembrar dos sons dos nomes. Star é um pássaro silvestre único que, por vontade própria, buscou a ciência dos números com ávido interesse e incrível inteligência. Living with birds, Len Howard
3 Introdução Tópico de importância crescente na criptografia AES, Curvas Elípticas, IDEA, Chave pública Diz respeito à operações com números Onde o conceito de número e os tipos de operação podem variar consideravelmente. Começaremos com conceitos de grupos, anéis e corpos da álgebra abstrata.
4 Grupo Um conjunto de elementos ou números Com algumas operações cujo resultado também está no conjunto (fechado) Obedece: Associatividade: (a.b).c = a.(b.c) Possui identidade e: e.a = a.e = a Possui elemento inverso a -1 :a.a -1 = e Se for comutativa a.b = b.a Então constitui um grupo abeliano.
5 Grupo Cíclico Define-se exponenciação como a aplicação repetida de um operador exemplo: a 3 = a.a.a A identidade é: e=a 0 Um grupo é cíclico se cada elemento for uma potência de um elemento fixo. Ex.: b = a k para algum a e todo b no grupo a é dito gerador do grupo
6 Anél Um conjunto de números Com duas operações (adição e multiplicação) que formam: Um grupo comutativo em relação à operação de adição: Fechado Associativo Distributivo em relação à adição: a(b+c) = ab + ac Se a operação de multiplicação for comutativa, constitui um anel comutativo Se a operação de multiplicação tem um elemento identidade e nenhum divisor que resulte em zero, consitui um domínio integral
7 Corpos Um conjunto de números Com duas operações que formam: Um grupo comutativo para adição Um grupo comutativo para multiplicação (ignorando o 0) Um anél Segue uma hierarquia de axiomas/leis grupo -> anél -> corpo
8 Aritmética Modular Define-se módulo a a mod n como o resto da divisão de a por n Congruência: : para a = b mod n Quando divididos por n, a & b tem o mesmo resto Ex.: 100 mod 11 = 34 mod 11 b é chamado o resíduo de a mod n Uma vez que com inteiros pode-se sempre escrever: a = qn + b Normalmente escolhe-se o menor inteiro positivo para deixar como resíduo 0 <= b <= n-1 o processo é conhecido como Redução de Módulo
9 Divisores Dizemos que b divide a se a=mb para algum m, onde a,b e m são inteiros b divide a se não houver resto na divisão A notação é b a Dizemos que b é um divisor de a Ex.: todos 1,2,3,4,6,8,12,24 dividem 24
10 Operações de Aritmética Modular Usa um número finito de valores e considera contíguos ambos os extremos Aritmética modular considera adição & multiplicação, com a redução de módulo do resultado Pode-se fazer a redução a qualquer momento, Ex.: a+b mod n = [a mod n + b mod n] mod n
11 Aritmética Modular Pode-se realizar aritmética modular com qualquer grupo de inteiros: Z n = {0, 1,, n-1} Formando um anel comutativo para adição Com um elemento identidade para multiplicação Algumas peculiaridades se (a+b)=(a+c) mod n então b=c mod n mas se (a.b)=(a.c) mod n then b=c mod n somente se a e n forem primos entre si
12 Modulo 8 Addition Example
13 Máximo Divisor Comum (MDC) Um problema comum na teoria dos números MDC (a,b) de a e b é o maior número que divide a e b Ex.: MDC(60,24) = 12 Dizemos que dois inteiros a e b são primos entre si quando o MDC = 1 Ex.: MDC(8,15) = 1 8 & 15 são primos entre si
14 Algoritmo Euclidiano Um método eficiente para encontrar o MDC(a,b) Baseado no teorema: MDC(a,b) = MDC(b, a mod b) O algoritmo euclidiano para encontrar MDC(a,b) é: EUCLID(a,b) 1. A = a; B = b 2. if B = 0 return A = mdc(a, b) 3. R = A mod B 4. A = B 5. B = R 6. goto 2
15 Exemplo MDC(1970,1066) 1970 = 1 x gcd(1066, 904) 1066 = 1 x gcd(904, 162) 904 = 5 x gcd(162, 94) 162 = 1 x gcd(94, 68) 94 = 1 x gcd(68, 26) 68 = 2 x gcd(26, 16) 26 = 1 x gcd(16, 10) 16 = 1 x gcd(10, 6) 10 = 1 x gcd(6, 4) 6 = 1 x gcd(4, 2) 4 = 2 x gcd(2, 0)
16 Corpo de Galois GF(p) Pode-se mostrar que o número de elementos em um corpo finito deve ser a potência de um número primo p (p n ) Conhecidos por corpo de Galois Denotados por GF(p n ) De interesse em particular os corpos: GF(p) GF(2 n )
17 Corpo de Galois GF(p) É o conjunto de inteiros {0,1,2...p-1} juntamente com as operações aritméticas de módulo p (primo) Forma um anel comutativo
18 GF(7) Exemplo para Multiplicação
19 Algoritmo Euclidiano Extendido Encontra não somente o MDC(a,b) = d, mas também os inteiros x e y que satisfazem a sequinte relação: ax+by = d = MCD(a,b)
20 Algoritmo Euclidiano Extendido EXTENDED EUCLID(m, b) 1. (A1, A2, A3)=(1, 0, m); (B1, B2, B3)=(0, 1, b) 2. if B3 = 0 return A3 = gcd(m, b); no inverse 3. if B3 = 1 return B3 = gcd(m, b); B2 = b 1 mod m 4. Q = A3 div B3 5. (T1, T2, T3)=(A1 Q B1, A2 Q B2, A3 Q B3) 6. (A1, A2, A3)=(B1, B2, B3) 7. (B1, B2, B3)=(T1, T2, T3) 8. goto 2
21 Aritmética Polinomial Um polinômio de grau n é uma expressão na forma f(x) ) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 = a i x i Podemos distinguir três classes de aritmética de polinômios: Aritmética de polinômios ordinária; Aritmética de polinômios em que a aritmética sobre os coeficientes é realizada mod p Aritmética de polinômios em que os coeficientes estão em GF(p)
22 Aritmérica Polinomial Comum Adição ou subtração dos coeficientes correspondentes Multiplicação de cada termo pelos outros Ex.: let f(x) ) = x 3 + x and g(x) ) = x 2 x + 1 f(x) ) + g(x) ) = x 3 + 2x2 2 x + 3 f(x) ) g(x) ) = x 3 + x + 1 f(x) ) x g(x) ) = x 5 + 3x3 2 2x 2 + 2
23 Aritmética de Polinomial com Coeficientes em Módulo No cálculo de do valor de cada coeficiente, utiliza aritmética de módulo Forma um anel polinomial Pode ser modulo com qualquer número primo, mas existe interesse especial no módulo 2. Isto é, os coeficientes são 0 ou 1 Ex.: f(x) ) = x 3 + x 2 e g(x) ) = x 2 + x + 1 f(x) ) + g(x) ) = x 3 + x + 1 f(x) ) x g(x) ) = x 5 + x 2
24 Divisão Polinomial Pode-se escrever qualquer polinômio da seguinte forma: f(x ) = q(x) g(x) ) + r(x) r(x ) é o resto. r(x ) = f(x) ) mod g(x) Se r(x) = 0, diz-se que g(x) ) divide f(x) se g(x) ) não tem outro divisor além dele mesmo & 1 dizemos ser um polinômio irredutível (ou primo) Arimética de módulo com um polinômio primo constitui um corpo
25 Encontrando o Máximo Divisor Comum Pode-se encontrar o maior divisor comum para um polinômio c(x) = MDC(a(x), b(x)) ) se c(x) for o polinômio de maior grau que divide os dois a(x), b(x) Pode-se usar o algoritmo euclidiano pra tal: EUCLID[a(x),, b(x)] b 1. A(x) ) = a(x); B(x) ) = b(x) 2. if B(x) ) = 0 return A(x) ) = mdc[a(x),, b(x)] b 3. R(x) ) = A(x) ) mod B(x) 4. A(x) ) B(x) 5. B(x) ) R(x) 6. goto 2
26 Aritmética Polinomial Modular Interesse principal em GF(2 n ) Polinômios com coeficientes de módulo 2 Cujo grau é inferior a n Por isso deve-se reduzir o modulo a um polinômio irredutível de grau n (para multiplicação somente) Isso forma um corpo finito Pode-se sempre encontrar o inverso Usando o algoritmo do Inverso Euclidiano.
27 Examplo: GF(2 3 )
28 Considerações Computacionais Como os coeficientes são 0 ou 1, pode-se representar qualquer polinômio como uma string de bits Adições se tornam um XOR bit a bit Multiplicação é deslocamento a esquerda seguido de um XOR
29 Exemplo Computacional para GF(2 3 ) temos (x 2 +1) é & (x 2 +x+1) é Então a adição é: (x 2 +1) + (x 2 +x+1) = x 101 XOR 111 = E a multiplicação é: (x+1).(x 2 +1) = x.(x 2 +1) + 1.(x 2 +1) = x 3 +x+x 2 +1 = x 3 +x 2 +x = (101)<<1 XOR (101)<<0 = 1010 XOR 101 = Redução do modulo polinomial (get q(x) & r(x)) é (x 3 +x 2 +x+1 ) mod (x 3 +x+1) = 1.(x 3 +x+1) + (x 2 ) = x mod 1011 = 1111 XOR 1011 =
30 Usando um Gerador Técnica equivalente para definir um corpo finito um gerador g é um elemento cujas potências geram todos os elementos diferentes de zero 0, g 0, g 1,, g q-2 Implementa-se a multiplicação adicionando expoentes do gerador
31 Resumo Considerações Conceito de grupos, anéis, corpos Aritmética modular com inteiros Algoritmo Euclidiano para MDC Corpos Finitos GF(p) Aritmética Polinomial em geral e para GF(2 n )
AES - Noções Fortes de Segurança - InfoSec. 4 de Outubro de 2016
AES - Noções Fortes de Segurança - InfoSec 4 de Outubro de 2016 Processo NIST para AES 1997: pedido por propostas eficientes e seguras (blocos de 128,192 e 25 bits) 1998: 15 propostas 1999: finalistas:
Leia maisAnéis quocientes k[x]/i
META: Determinar as possíveis estruturas definidas sobre o conjunto das classes residuais do quociente entre o anel de polinômios e seus ideais. OBJETIVOS: Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de:
Leia maisCorpos Finitos Parte I
Corpos Finitos Parte I IC-UNICAMP/2006-1s 1 Roteiro Introdução Aritmética em corpos primos Aritmética em corpos binários Aritmética em corpos de extensão IC-UNICAMP/2006-1s 2 Introdução aos corpos finitos
Leia maisIntrodução à Algebra para Criptografia de Curvas Elipticas
Introdução à Algebra para Criptografia de Curvas Elipticas Pedro Antonio Dourado de Rezende Departamento de Ciência da Computação Universidade de Brasilia Abril 2003 ECC Introdução: Grupos 1 Simbologia:
Leia maisIntrodução aos números inteiros
Introdução aos números inteiros Laura Goulart UESB 19 de Dezembro de 2017 Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 1 / 18 Adição Laura Goulart (UESB) Introdução aos números
Leia maisDefinição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n
POLINÔMIO I 1. DEFINIÇÃO Polinômios de uma variável são expressões que podem ser escritas como soma finita de monômios do tipo : a t k k onde k, a podem ser números reais ou números complexos. Exemplos:
Leia maisNotas sobre teoria dos números (2)
1 / 29 Notas sobre teoria dos números (2) Fonte: livros do L. Lóvasz e Kenneth Rosen (ref. completa na página) Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco 2007.1 / CIn-UFPE 2 / 29 Maior divisor
Leia maisA = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.
Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos
Leia maisTroca de chaves Diffie-Hellman Grupos finitos Grupos cíclicos
Introdução à Chave Pública Troca de chaves Diffie-Hellman Grupos finitos Grupos cíclicos Troca de Chaves de Diffie-Hellman Parâmetros públicos p, α Alice: 1 Sorteia a = K pra {2, 3,..., p 2} 3 Envia para
Leia maisDE MATEMÁTICA I. Prof. ADRIANO CATTAI. Corpos Numéricos (Atualizada em 8 de março de 2016)
ac COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA I Prof. ADRIANO CATTAI Corpos Numéricos (Atualizada em 8 de março de 2016) NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática
Leia maisTeoria dos anéis 1 a parte 3
A U L A Teoria dos anéis 1 a parte 3 Meta da aula Descrever a estrutura algébrica de anel como uma generalização de determinadas propriedades dos números inteiros. objetivos Ao final desta aula, você deverá
Leia maisMatemática Discreta. Fundamentos e Conceitos da Teoria dos Números. Universidade do Estado de Mato Grosso. 4 de setembro de 2017
Matemática Discreta Fundamentos e Conceitos da Teoria dos Números Professora Dr. a Donizete Ritter Universidade do Estado de Mato Grosso 4 de setembro de 2017 Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4
Leia maisNotas sobre teoria dos números - Aritmática Modular (2) Anjolina Grisi de Oliveira
Notas sobre teoria dos números - Aritmática Modular (2) Anjolina Grisi de Oliveira 1 Introdução à Aritmética modular Definição 1 Sejam a e b inteiros positivos. Nós denotamos a mod m como o resto quando
Leia mais(Ciência de Computadores) 2005/ Diga quais dos conjuntos seguintes satisfazem o Princípio de Boa Ordenação
Álgebra (Ciência de Computadores) 2005/2006 Números inteiros 1. Diga quais dos conjuntos seguintes satisfazem o Princípio de Boa Ordenação (a) {inteiros positivos impares}; (b) {inteiros negativos pares};
Leia mais4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.
4 ÁLGEBRA ELEMENTAR 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4.1.1 - Introdução: As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios
Leia maisobs: i) Salvo menção em contrário, anel = anel comutativo com unidade. ii) O conjunto dos naturais inclui o zero.
Lista 1 - Teoria de Anéis - 2013 Professor: Marcelo M.S. Alves Data: 03/09/2013 obs: i) Salvo menção em contrário, anel = anel comutativo com unidade. ii) O conjunto dos naturais inclui o zero. 1. Os conjuntos
Leia maisCRITÉRIO DE EISENSTEIN. Marília Martins Cabral Orientador: Igor Lima
CRITÉRIO DE EISENSTEIN 1 Marília Martins Cabral Orientador: Igor Lima NOTAÇÕES a b a divide b. a b a não divide b x n a variável x elevado a potência n. a n coeficiente de x n 2 INTRODUÇÃO: POLINÔMIOS
Leia maisRelações Binárias, Aplicações e Operações
Relações Binárias, Aplicações e Operações MAT 131-2018 II Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 1 / 24 Referências ALENCAR FILHO, E. Teoria Elementar dos Conjuntos,
Leia maisPrimeiro Desao Mestre Kame
Primeiro Desao Mestre Kame Alan Anderson 8 de julho de 2017 O propósito dessa lista é gerar uma intuição numérica das demonstrações abstratas do teoremas famosos de Teoria dos números, de modo que alguns
Leia maisDado um inteiro positivo n, definimos U(n) como sendo o conjunto dos inteiros positivos menores que n e primos com n. Não é difícil ver que a
Exemplo (U(n)) Dado um inteiro positivo n, definimos U(n) como sendo o conjunto dos inteiros positivos menores que n e primos com n. Não é difícil ver que a multiplicação módulo n é uma operação binária
Leia mais1. Prove que (a+b) c = a c+b c para todo a, b, c em ZZ /mzz. (Explique cada passo).
1 a Lista de Exercícios de Álgebra II - MAT 231 1. Prove que (a+b) c = a c+b c para todo a, b, c em ZZ /mzz. (Explique cada passo). 2. Seja A um anel associativo. Dado a A, como você definiria a m, m IN?
Leia maisAula 1. e o conjunto dos inteiros é :
Aula 1 1. Números reais O conjunto dos números reais, R, pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real, que serão em geral denotados por letras minúsculas: x, y, s, t, u, etc. R é munido de quatro
Leia maisUm polinômio com coeficientes racionais é uma escrita formal
Polinômios. Um polinômio com coeficientes racionais é uma escrita formal P (X) = a i X i = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 +... + a n X n onde a i Q para todo i {0, 1,..., n}. Isso nos dá uma função f : N Q definida
Leia maisUniversidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias CCA UFES Departamento de Computação. Teoria dos Números
Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias CCA UFES Departamento de Computação Teoria dos Números Tópicos Especiais em Programação Site: http://jeiks.net E-mail: jacsonrcsilva@gmail.com
Leia mais1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0
Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A
Leia mais11.1) Noções Elementares 11.2) MDCs e algoritmos de Euclides 11.3) Aritmética modular 11.4) Aplics da MD: O sistema criptográfico RSA
Teoria de Números 11.1) Noções Elementares 11.2) MDCs e algoritmos de Euclides 11.3) Aritmética modular 11.4) Aplics da MD: O sistema criptográfico RSA Material extraído dos livros-textos (Cormen( Cormen)
Leia maisFicha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais
Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais 1. Verifique, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: 6 4 0x 54x + 3x + é divisível por x 1.. De um modo geral, que relação
Leia maisNúmeros Inteiros Algoritmo da Divisão e suas Aplicações
Números Inteiros Algoritmo da Divisão e suas Aplicações Diferentemente dos números reais (R), o conjunto dos inteiros (Z) não é fechado para a divisão. Esse não-fechamento faz com que a divisão entre inteiros
Leia mais1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios
Matemática Polinômios CAPÍTULO 02 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 1 INTRODUÇÃO Como com qualquer outra função, podemos fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios. A soma e a
Leia maisErivaldo. Polinômios
Erivaldo Polinômios Polinômio ou Função Polinomial Definição: P(x) = a o + a 1.x + a 2.x 2 + a 3.x 3 +... + a n.x n a o, a 1, a 2, a 3,..., a n : Números complexos Exemplos: 1) f(x) = x 2 + 3x 7 2) P(x)
Leia maisMÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA
1 MÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Profa. Marcia Mahon Grupo de Pesquisas em Comunicações - CODEC Departamento de Eletrônica e Sistemas - UFPE Outubro 2003 2 CONTEÚDO 1 - Introdução
Leia maisAritmética Racional MATEMÁTICA DISCRETA. Patrícia Ribeiro. Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/ / 42
1 / 42 MATEMÁTICA DISCRETA Patrícia Ribeiro Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/2019 2 / 42 1 Combinatória 2 3 Grafos 3 / 42 Capítulo 2 4 / 42 Axiomática dos Inteiros Sejam a e b inteiros. Designaremos
Leia maisOperações Fundamentais com Números
Capítulo 1 Operações Fundamentais com Números 1.1 QUATRO OPERAÇÕES Assim como na aritmética, quatro operações são fundamentais em álgebra: adição, subtração, multiplicação e divisão. Quando dois números
Leia maisMatemática para Ciência de Computadores
Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes lfa@ncc.up.pt DCC-FCUP Complexidade 2002/03 1 Inteiros e divisão Definição: Se a e b são inteiros com a 0, dizemos que a divide
Leia maisPOLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma:
POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma: n P(x) a a x a x... a x, onde 0 1 n Atenção! o P(0) a 0 o P(1) a a a... a 0 1 n a 0,a 1,a,...,a n :coeficientes
Leia maisIntrodução à Teoria dos Números Notas de Aulas 3 Prof Carlos Alberto S Soares
Introdução à Teoria dos Números 2018 - Notas de Aulas 3 Prof Carlos Alberto S Soares 1 Números Primos e o Teorema Fundamental da Aritmética Em notas anteriores já definimos os números primos, isto é, números
Leia maisparciais primeira parte
MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Técnicas de integração frações parciais primeira parte Objetivo Aprender a técnica de integração conhecida como frações parciais. Introdução A técnica que você aprenderá agora lhe
Leia maisREDES DE COMPUTADORES
REDES DE COMPUTADORES Profº Alexsandro M. Carneiro alexsandro@ucdb.br Bacharelado em Sistemas de Informação AULA 09 Bacharelado em Sistemas de Informação UCBD SG - 2005 Aula Anterior A Camada De Enlace
Leia maisTeorema 1.1 (Teorema de divisão de Euclides). Dados n Z e d N, existe uma única dupla q Z, r. n = qd + r
Matemática Discreta September 18, 2018 1 1 Divisão de inteiros Teorema 1.1 (Teorema de divisão de Euclides). Dados n Z e d N, existe uma única dupla q Z, r {0,..., d 1} tal que n = qd + r Dizemos que a
Leia mais1. O que podemos dizer sobre a imagem da função. f : Z Z, f(x) = x 2 + x + 1?
1 Congruências e aritmética modular Vamos considerar alguns exemplos de problemas sobre números inteiros como motivação para o que se segue. 1. O que podemos dizer sobre a imagem da função f : Z Z, f(x)
Leia maisCorpos estendidos no espaço em grupos
Corpos estendidos no espaço em grupos Carlos Shine Vamos ver como conceitos de teoria dos números (especialmente números mod p) podem ser generalizados com conceitos de Álgebra. 1 Corpos Em termos simples,
Leia mais2. Expressões Algébricas, Equações e Inequações
Capítulo 2 2. Expressões Algébricas, Equações e Inequações Como exposto no tópico 1.3, uma expressão algébrica é uma a expressão matemática na qual se faz uso de letras, números e operações aritméticas.
Leia maisAlguns exercícios amais para vocês (as resoluções dos exercícios anteriores começam na próxima pagina):
Alguns exercícios amais para vocês (as resoluções dos exercícios anteriores começam na próxima pagina): Seja A um domínio. Mostre que se A[X] é Euclidiano então A é um corpo (considere o ideal (a, X) onde
Leia maisPrograma Combinatória Aritmética Racional MATEMÁTICA DISCRETA. Patrícia Ribeiro. Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/ / 52
1 / 52 MATEMÁTICA DISCRETA Patrícia Ribeiro Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/2019 2 / 52 Programa 1 Combinatória 2 Aritmética Racional 3 Grafos 3 / 52 Capítulo 1 Combinatória 4 / 52 Princípio
Leia maisOPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA
Professora: Elisandra Figueiredo OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA DEFINIÇÃO 1 Sendo E um conjunto não vazio, toda aplicação f : E E E recebe o nome de operação sobre E (ou em E) ou lei de composição
Leia maisFundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: sequências e matrizes 05 e 06/06/14 Sequências Def.: chama-se sequência finita ou n-upla toda aplicação f do
Leia mais, com k 1, p 1, p 2,..., p k números primos e α i, β i 0 inteiros, as factorizações de dois números inteiros a, b maiores do que 1.
Como seria de esperar, o Teorema Fundamental da Aritmética tem imensas consequências importantes. Por exemplo, dadas factorizações em potências primas de dois inteiros, é imediato reconhecer se um deles
Leia maisOperações Fundamentais com Números
Capítulo 1 Operações Fundamentais com Números 1.1 QUATRO OPERAÇÕES Assim como na aritmética, quatro operações são fundamentais em álgebra: adição, subtração, multiplicação e divisão. Quando dois números
Leia maisMATEMÁTICA I. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
MATEMÁTICA I Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br www.fcav.unesp.br/amanda MATEMÁTICA I AULA 1: PRÉ-CÁLCULO Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari CONJUNTOS NUMÉRICOS
Leia maism 1 Grupo A é 3, então ( P + Q R) Como o maior expoente da variável x do polinômio P + Q R Analogamente ao item a, (PQ) = 3.
Grupo A. Seja x o grau do divisor, então p x + q x p q. Sendo r o grau do resto, então r
Leia maisDefinição 1. Um ideal de um anel A é um subgrupo aditivo I de A tal que ax I para todo a A, x I. Se I é um ideal de A escrevemos I A.
1. Ideais, quocientes, teorema de isomorfismo Seja A um anel comutativo unitário. Em particular A é um grupo abeliano com +; seja I um subgrupo aditivo de A. Como visto no primeiro modulo, sabemos fazer
Leia maisDenominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma:
EQUAÇÕES POLINOMIAIS. EQUAÇÃO POLINOMIAL OU ALGÉBRICA Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma: p(x) = a n x n + a n x n +a n x n +... + a x + a 0 = 0 onde
Leia maisInteiros. Inteiros. Congruência. Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006.
Inteiros Inteiros. Congruência. Referência: Capítulo: 4 Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006 1 Números reais A relação binária em R é uma ordem parcial
Leia maisMATEMÁTICA 1 MÓDULO 2. Divisibilidade. Professor Matheus Secco
MATEMÁTICA 1 Professor Matheus Secco MÓDULO 2 Divisibilidade 1. DIVISIBILIDADE 1.1 DEFINIÇÃO: Dizemos que o inteiro a é divisível pelo inteiro b (ou ainda que a é múltiplo de b) se existe um inteiro c
Leia maisDivisibilidade e Números primos. George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE
Divisibilidade e Números primos George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE Divisibilidade de inteiros Sejam a e b dois inteiros. Dizemos que a divide b, a é um divisor de b ou b é um múltiplo de a
Leia maisIntrodução à Teoria dos Números - Notas 4 Tópicos Adicionais II
1 Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Tópicos Adicionais II. 1 O Anel dos Inteiros Módulo n Consideremos um número natural n 2 fixado. Para cada número inteiro a definimos a = {x Z; x a mod n}. Como
Leia maisPolinômios irredutíveis
Polinômios irredutíveis Sérgio Tadao Martins 23 de janeiro de 2009 1 Introdução: polinômios em uma variável Um polinômio de grau n em uma variável x é uma expressão da forma p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x
Leia maisMAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP)
MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I Sylvain Bonnot (IME-USP) 2016 1 Informações gerais Prof.: Sylvain Bonnot Email: sylvain@ime.usp.br Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A) Site: ver
Leia maisEste material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina.
Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 11 - Seção 1.3 do livro texto da disciplina: Aritmética, A. Hefez,
Leia maisANÉIS. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
Professora: Elisandra Bär de Figueiredo ANÉIS DEFINIÇÃO 1 Um sistema matemático (A,, ) constituído de um conjunto não vazio A e duas leis de composição interna sobre A, uma adição: (x, y) x y e uma multiplicação
Leia maisReticulados e Álgebras de Boole
Capítulo 3 Reticulados e Álgebras de Boole 3.1 Reticulados Recorde-se que uma relação de ordem parcial num conjunto X é uma relação reflexiva, anti-simétrica e transitiva em X. Um conjunto parcialmente
Leia maisDecomposição de um número composto. Todo número composto pode ser decomposto em fatores primos Ex: = 2 2 X 3 X 5 X 7
Decomposição de um número composto Todo número composto pode ser decomposto em fatores primos Ex: 420 2 210 2 105 3 35 5 7 7 1 420= 2 2 X 3 X 5 X 7 Determinação do número de divisores de um número natural
Leia maisPolinômios (B) 4 (C) 2 (D) 1 3 (E). 2
Polinômios. (ITA 2005) No desenvolvimento de (ax 2 2bx + c + ) 5 obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual a (A) 2 (B) 4 (C) 2 (D)
Leia maisSlides de apoio: Fundamentos
Pré-Cálculo ECT2101 Slides de apoio: Fundamentos Prof. Ronaldo Carlotto Batista 23 de fevereiro de 2017 Conjuntos Um conjunto é coleção de objetos, chamados de elememtos do conjunto. Nomeraremos conjuntos
Leia maisEDOs lineares de coeficientes constantes via Álgebra Linear
EDOs lineares de coeficientes constantes via Álgebra Linear Lucas Seco 26 de Dezembro de 2012 Sempre ouvi falar que a solução de EDOs lineares homogêneas de coeficientes constantes bem como o Método dos
Leia maiscomplemento para a disciplina de Matemática Discreta versão 1 - Jerônimo C. Pellegrini Relações de Equivalência e de Ordem
Relações de Equivalência e de Ordem complemento para a disciplina de Matemática Discreta versão 1 Jerônimo C. Pellegrini 5 de agosto de 2013 ii Sumário Sumário Nomenclatura 1 Conjuntos e Relações 1 1.1
Leia maisCONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. Apostila do 8º ano Números Reais Apostila I Bimestre 8º anos
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS NÚMEROS RACIONAIS Apostila do 8º ano Números Reais Apostila I Bimestre 8º anos Numero racional é todo o numero que pode ser escrito na forma a/b (com b diferente de zero) : a)
Leia maisINE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO MATERIAL EXTRAÍDO DOS LIVROS-TEXTOS (KOLMAN/ROSEN) UFSC - CTC - INE UFSC/CTC/INE p. 1 11 - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS 11.1) Operações Binárias 11.2)
Leia maisÁlgebra Moderna Profª Ana Paula OPERAÇÕES
Álgebra Moderna Profª Ana Paula OPERAÇÕES Definição 1: Sendo E. Toda aplicação f : E E E recebe o nome de operação sobre E (ou em E) ou lei de composição interna sobre E (ou em E). Notação: f : E E E fx,
Leia maisLAÉRCIO VASCONCELOS O ALGEBRISTA. Volume 1. Rio de Janeiro
LAÉRCIO VASCONCELOS O ALGEBRISTA Volume 1 Rio de Janeiro 2016 O ALGEBRISTA VOLUME 1 Copyright 2016, Laércio Vasconcelos Computação LTDA DIREITOS AUTORAIS Este livro possui registro na Biblioteca Nacional
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente
Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Prof. Ulisses Lima Parente 1 Os números irracionais Ao longo deste módulo, vimos que a representação
Leia maisIntrodução à Teoria dos Números - Notas 4 Tópicos Adicionais II
1 Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Tópicos Adicionais II 1 O Anel dos Inteiros Módulo n Consideremos um número natural n 2 fixado Para cada número inteiro a definimos a = {x Z; x a mod n} Como
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano
Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Os números irracionais Ao longo
Leia maisCurso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense
Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense Conceitos Algébricos Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de
Leia maisIntrodução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides
Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides 1 Máximo Divisor Comum Definição 1.1 Sendo a um número inteiro, D a indicará o conjunto de seus divisores positivos,
Leia maisÁlgebra I Israel. Bárbara Lopes Amaral. 19 de novembro de Universidade Federal de Minas Gerais. Fatoração de Polinômios. Lagrange.
Álgebra I Israel Lopes Amaral Universidade Federal de Minas Gerais 19 de novembro de 2007 Lagange Lema Fatora polinômios em Z[x], utilizando uma idéia bastante simples. Esse método não é muito eficiente.
Leia maisPropriedades dos inteiros Aritmética modular Aplicações (detecção de erros e sistema RSA)
Propriedades dos inteiros Aritmética modular Aplicações (detecção de erros e sistema RSA) Sabe-se que a mensagem 77; 43; 0 foi obtida por codificação usando o código RSA com a chave pública m = 4037 e
Leia maisE essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos
A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em
Leia maisEQUAÇÕES POLINOMIAIS
EQUAÇÕES POLINOMIAIS Prof. Patricia Caldana Denominamos equações polinomiais ou algébricas, as equações da forma: P(x)=0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as
Leia mais(g) (G, +, ) sendo G = {a + ib a, b Z}, o conjunto dos inteiros de Gauss, + e a adição e a multiplicação usuais de números complexos.
Álgebra II Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Ano lectivo 2004/05 1 ō semestre Anéis e corpos 1. Averigúe se os seguintes conjuntos têm estrutura de anel para as operações indicadas.
Leia maisParte 2 N Z Q R C. Não faremos a construção axiomática dos números naturais, usaremos apenas as noções intuitivas.
Parte 2 Anéis A Matemática faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos aos números para descrever diversas situações do dia a dia. Contamos com os números naturais, repartimos um bolo usando
Leia maisINE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/42 7 - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS 7.1) Operações Binárias
Leia maisAlgoritmos. OBMEP Teoria dos números - Parte I. Algoritmo da divisão:
OBMEP Teoria dos números - Parte I Elaine Pimentel 1 o Semestre - 2006 Algoritmos Algoritmo = processo de cálculo baseado em regras formais Especificação de um algoritmo: entrada + instruções + saída Perguntas:
Leia maisPolinômios. Acadêmica: Vanessa da Silva Pires
Polinômios Acadêmica: Vanessa da Silva Pires Situação 01: Se você somar 1 ao produto de quatro inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito. Situação 02: Na resolução de problemas,
Leia maisApresentar o conceito de anel, suas primeiras definições, diversos exemplos e resultados. Aplicar as propriedades dos anéis na relação de problemas.
Aula 10 O CONCEITO DE ANEL META Apresentar o conceito de anel, suas primeiras definições, diversos exemplos e resultados. OBJETIVOS Definir, exemplificar e classificar anéis. Aplicar as propriedades dos
Leia mais1 Congruências e aritmética modular
1 Congruências e aritmética modular Vamos considerar alguns exemplos de problemas sobre números inteiros como motivação para o que se segue. 1. O que podemos dizer sobre a imagem da função f : Z Z, f(x)
Leia maisFunções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Divisão de Funções Polinomiais. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Divisão de Funções Polinomiais 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Divisão de Funções Polinomiais
Leia mais= = 20 4 (3 + 4) 2 = = 56
Capítulo 0 Pré-requisitos O objetivo desse capítulo é apresentar uma coleção de propriedades e resultados sobre números reais e outros temas que serão utilizados ao longo do curso e devem ser relembrados
Leia maisMA14 - Aritmética Lista 1. Unidades 1 e 2
MA14 - Aritmética Lista 1 Unidades 1 e 2 Abramo Hefez PROFMAT - SBM 05 a 11 de agosto 2013 Unidade 1 1. Mostre, por indução matemática, que, para todo n N {0}, a) 8 3 2n + 7 b) 9 10 n + 3.4 n+2 + 5 2.
Leia maisMAT 2110 : Cálculo para Química
MAT 2110 : Cálculo para Química Aula 3/ Sexta 28/02/2014 Sylvain Bonnot (IME-USP) 2014 1 Resumo Aula 2 1 Informaçãoes gerais: Site: ver o link para MAT 2110 na pagina http://www.ime.usp.br/~sylvain/courses.html
Leia mais2. PRODUTOS NOTÁVEIS 2.1. EXPANSÃO DE PRODUTOS
2. PRODUTOS NOTÁVEIS 2.1. EXPANSÃO DE PRODUTOS Em álgebra, é frequente termos de expandir produtos cujos fatores são expressões algébricas (polinômios, por exemplo). Para isso, aplicamos a propriedade
Leia maisRenato Martins Assunção
Análise Numérica Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 1 / 84 Equação linear Sistemas de equações lineares A equação 2x + 3y = 6 é chamada linear
Leia maisIntrodução à Teoria dos Números Notas de Aulas 3 Prof Carlos Alberto S Soares
Introdução à Teoria dos Números 2018 - Notas de Aulas 3 Prof Carlos Alberto S Soares 1 Números Primos e o Teorema Fundamental da Aritmética Em notas anteriores já definimos os números primos, isto é, números
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA A Tema II Funções e Gráficos. Funções polinomiais. Função módulo.
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 0º ANO DE MATEMÁTICA A Ponto três do plano de trabalho nº 5 Tarefa nº 4. Considere a família de funções polinomiais: f(x) = a(x + )(x )(x + 5), a \ {0}.. Represente
Leia maisDefinimos a soma de seqüências fazendo as operações coordenada-a-coordenada:
Aula 8 polinômios (Anterior: chinês. ) 8.1 séries formais Fixemos um anel A. Denotaremos por A N o conjunto de todas as funções de N = {, 1, 2,... } a valores em A. Em termos mais concretos, cada elemento
Leia maisMA14 - Aritmética Unidade 22 Resumo. Aritmética das Classes Residuais
MA14 - Aritmética Unidade 22 Resumo Aritmética das Classes Residuais Abramo Hefez PROFMAT - SBM Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio
Leia maisMÉTODOS MATEMÁTICOS. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta
MÉTODOS MATEMÁTICOS Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta 1 Métodos Matemáticos Aulas: De 03/11 a 08/11-8:30 as 11:00h Ementa: 1. Funções 2. Eq. Diferenciais Ordinárias de 1 a ordem 3. Sistemas de Equações
Leia maisa = bq + r e 0 r < b.
1 Aritmética dos Inteiros 1.1 Lema da Divisão e o Algoritmo de Euclides Recorde-se que a, o módulo ou valor absoluto de a, designa a se a N a = a se a / N Dados a, b, c Z denotamos por a b : a divide b
Leia maisO que é Álgebra Abstrata?
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB 12 de Dezembro de 2017 O que é álgebra? Álgebra é o ramo da matemática que estuda equações. É no ensino fundamental que temos nosso primeiro contato com
Leia maisLista 2 - Álgebra I para Computação - IME -USP -2011
Lista 2 - Álgebra I para Computação - IME -USP -2011 (A) Relações de Equivalência e Quocientes 1. Seja N = {0, 1, 2,...} o conjunto dos números naturais e considere em X = N N a seguinte relação: (a, b)
Leia mais