Note-se que pelo Teorema de Euler. a φ(n) 1 (mod n) logo existe k nas condições da definição acima e. Raízes Primitivas. Ordem de um elemento

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1 Ordem de um elemento Definição Sejam a e n inteiros tais que m.d.c.(a, n) = 1. O menor inteiro positivo k tal que tal que a k 1 (mod n) diz-se a ordem de a módulo n e representa-se por ord n (a). Note-se que pelo Teorema de Euler a φ(n) 1 (mod n) logo existe k nas condições da definição acima e ord n (a) φ(n).

2 Ordem de um elemento Exemplos 1 1 = 1, logo ord n (1) = 1 para todo o n. ( 1) 2 = 1 e 1 1 (mod n) se e só se n = 2, logo ord n ( 1) = 1 se n = 2 ord n ( 1) = 2 se n (mod 31) 2 k 1 (mod 31) para qualquer k tal que1 k < 5 logo ord 31 (2) = 5. ord 31 (3) =? 30 φ(31) = 30.

3 Ordem de um elemento Exemplos Seja α um inteiro tal que α 5 1 (mod n) e α 1 (mod n). ord n (α) =? Se α 2 1 (mod n), então α 5 = (α 2 ) 2 α α 1 (mod n). Se α 3 1 (mod n), então α 5 = α 3 α 2 α 2 1 (mod n). Se α 4 1 (mod n), então α 5 = α 4 α α 1 (mod n). Logo, ord n (α) = 5.

4 Ordem de um elemento Exercícios 1 Calcule ord 17 (3) e ord 31 (2). 2 Sendo α um inteiro e p é um primo, verifique que α p 1 (mod n) implica ord n(α) = 1 ou ord n(α) = p. 3 Determine os inteiros k tais que 2 k 1 (mod 31). 4 Sejam a e b inteiros e m, n N. Mostre que: 1 se a m 1 (mod n), então ord n(a) m; 2 se m.d.c.(a, n) = 1, então ord n(a) φ(n); 3 se m.d.c.(a, n) = 1 e a i a j (mod n), então i j (mod ord n(a)); 4 se a b (mod n), então ord n(a) = ord n(b); 5 se ord n(a) = k, então 1, a,..., a k 1 são incongruentes módulo n. 5 Verifique se são um sistemas completo de resíduos módulo 17 os conjuntos: 1 {0, 2,..., 2 16 }; 2 {0, 1, 3,..., 3 15 }. 6 Determine a de modo a que potências de a juntamente com o número 0 formem um sistema completo de resíduos módulo 23.

5 Ordem de um elemento Proposição Sejam a um inteiro e n, k N. Se m.d.c.(a, n) = 1, então ord n (a k ) = ord n (a) m.d.c.(k, ord n (a)). Exemplos Se ord n (a) = 12, então ord n (a 8 ) = 12 m.d.c.(8,12) = 3; 1, a, a 2,..., a 11 são incongruentes dois a dois; ord n (a 7 ) = 12 m.d.c.(7,12) = 12; ord n (a 5 ) = 12 m.d.c.(5,12) = 12; ord n (a k ) = 12, implica k =?1, 5, 7, 11.

6 Raízes primitivas Definição Sejam a um inteiro e n N. Se ord n (a) = φ(n) então a diz-se uma raiz primitiva módulo n. Exemplos ord 31 (3) = 30 = φ(31), logo 3 é raiz primitiva módulo 31. ord 17 (3) = 16 = φ(17), logo 3 é raiz primitiva módulo 17. Exercício Caso existam, determine as raízes primitivas módulo 15 e as raízes primitivas módulo 23.

7 Raízes primitivas Exemplos 1 é uma raiz primitiva módulo 2. Existem raízes primitivas módulo 4? Se m.d.c.(a, 4) = 1, e a < 4, então a = 1 ou a = 3. ord 4 (1) = 1 ord 4 (3) = 2 = φ(4) Logo 3 é raiz primitiva módulo 4. Se m.d.c.(a, 8) = 1, e a < 8, então a 2 1 (mod 8). Logo não há raízes primitivas módulo 8. Proposição Não há raízes primitivas módulo 2 k para k 3.

8 Raízes primitivas Proposição Não há raízes primitivas módulo 2 k para k 3. Demonstração: Suponhamos que existe uma raiz primitiva a. Então a, a 2,..., a 2k 1 são φ(2 k ) elementos invertíveis incongruentes dois a dois módulo 2 k. A congruência x 2 1 (mod 2 k ) tem 4 soluções módulo 2 k, que são elementos invertíveis, dos quais três têm ordem 2 módulo 2 k. Seja l {1,..., 2 k 1 } tal que ord 2 k (a l ) = 2. Como ord 2 k (a l ) = ord 2 k (a) m.d.c.(l, ord 2 k (a)) = 2 k 1 m.d.c.(l, 2 k 1 ), então m.d.c.(l, 2 k 1 ) = 2 k 2 = l, pelo que o valor de l é único. Esta contradição prova a validade da proposição.

9 Raízes primitivas Proposição Seja p um primo ímpar. Se n 2, 4, n p k e n 2p k, para k N, então não existe uma raiz primitiva módulo n. Demonstração: Seja n = r s com r, s > 2 e m.d.c.(r, s) = 1. Então φ(n) = φ(r)φ(s), e, para qualquer a invertível módulo n, Pelo Teorema Chinês dos Restos, a φ(r)φ(s) 2 (a φ(r) ) φ(s) 2 1 (mod r) (a φ(s) ) φ(r) 2 1 (mod s) a φ(r)φ(s) 2 1 (mod r s)

10 Raízes primitivas Exemplo n = 16 = 2 4 Não há raízes primitivas módulo 16. Logo, se a é invertível módulo 16, então ord 16 (a) {1, 2, 4}. A congruência x 2 1 (mod 16) tem quatro soluções módulo 16: x=1 que tem ordem 1 módulo 16; as restantes três soluções têm ordem 2. Os restantes quatro elementos invertíveis módulo 16 têm ordem 4.

11 O Logaritmo Discreto Se a é uma raiz primitiva módulo n então 1, a, a 2,..., a φ(n) 1 são elementos invertíveis e são incongruentes dois a dois módulo n. Logo, qualquer inteiro b tal que m.d.c.(b, n) = 1 é congruente com um dos elementos da sequência anterior. Definição Seja n um inteiro que admite raízes primitivas. Sejam a uma raiz primitiva módulo n e b um inteiro tal que m.d.c.(b, n) = 1. Então, o expoente i {0, 1,..., φ(n) 1} tal que b a i (mod n) diz-se o índice, ou o logaritmo discreto, de b módulo n relativamente à base a.

12 O Logaritmo Discreto Exemplo n = 17 Como calcular 5 7mod 17 usando o facto de que 3 é uma raiz primitiva? } (mod 17) (mod 17) (mod 17) E como calcular 5 3 mod 17? (mod 17) 5 3 (3 5 ) (mod 17)

13 O Logaritmo Discreto Exercícios 1 Resolva as congruências seguintes recorrendo ao facto de que 3 é uma raiz primitiva módulo 17: 1 7 x 4 (mod 17); 2 9 x 2 (mod 17). 2 Calcule o inverso de 13 módulo 17 recorrendo ao facto de que 3 é uma raiz primitiva módulo Resolva as congruências seguintes utilizando conhecimentos sobre raízes primitivas: 1 x 4 13 (mod 17); 2 x 3 1 (mod 63). 4 Resolva as congruências: 1 13 x 43 (mod 54); x 6 (mod 19).

14 O Logaritmo Discreto Exercícios Seja p um número primo. 1 Calcule quantos elementos de ordem 3 módulo p existem caso 3 p 1. 2 Calcule quantos elementos de ordem 4 módulo p existem caso 4 p 1. 3 Calcule o número de raízes primitivas módulo: 1 11; 2 13.

15 Função de Carmichael e o teorema das raízes primitivas Definição Dado n N, um inteiro λ > 0 designa-se expoente universal mínimo se λ é o menor inteiro tal que a λ 1 (mod n) para todo o a tal que m.d.c.(a, n) = 1. Para cada n, λ(n) representa o expoente universal mínimo de n. A função λ designa-se função de Carmichael.

16 Função de Carmichael e o teorema das raízes primitivas Exemplo Se existe uma raiz primitiva módulo n então λ(n) = φ(n). λ(2) = φ(2) e λ(8) = 2 φ(8) λ(3) = φ(3) λ(12) = 2 φ(12) λ(4) = φ(4) λ(15) = 4 φ(15) λ(5) = φ(5) λ(16) = 4 φ(16) λ(6) = φ(6) λ(20) = 4 φ(20) λ(7) = φ(7) λ(21) = 6 φ(21) Para qualquer inteiro n, λ(n) φ(n). Para quaisquer inteiros a e n, ord n (a) φ(n).

17 Função de Carmichael e o teorema das raízes primitivas Proposição Sejam a e b inteiros. Se ord n (a) = j e ord n (b) = l, então existe um inteiro g de ordem m.m.c.(j, l) módulo n. Demonstração: Sejam x e y tais que m.m.c.(j, { l) = x y e m.d.c.(x, y) = 1 e j = x j l = y l. Então, ord n (a j ) = x ord n (b l ) = y Logo, ord n (a } j {{ b l } ) = xy. g } (a j b l ) x y 1 (mod n).

18 Função de Carmichael e o teorema das raízes primitivas Proposição Para cada inteiro n, existe um elemento de ordem λ(n) módulo n. Demonstração: Seja M o valor máximo da ordem módulo n. Então, existe g tal que ord n (g) = M λ(n). Para qualquer x invertível módulo n, ord n (x) M, caso contrário, pela proposição anterior, existe g tal que ord n (g ) = m.m.c.(m, ord n (x)) > M. Logo, para qualquer x invertível módulo n, x M 1 (mod n) e, consequentemente, M = λ(n). Existe uma raiz primitiva módulo n se e só se λ(n) = φ(n).

19 Função de Carmichael e o teorema das raízes primitivas Teorema Se p é um número primo então existe uma raiz primitiva módulo p. Demonstração: Sabemos que λ(p) φ(p) = p 1.Os p 1 resíduos invertíveis módulo p são soluções da congruência x λ(p) 1 (mod p), que pelo Teorema de Lagrange tem no máximo λ(p) soluções módulo p. Logo, λ(p) p 1. Então λ(p) = φ(p) e existe uma raiz primitiva módulo p. Corolário Se p é um número primo e d p 1. Então o número de elementos de ordem d módulo p é φ(d).

20 Função de Carmichael e o teorema das raízes primitivas Teorema Seja p um número primo ímpar. 1 Se g é uma raiz primitiva módulo p, então g ou g + p é uma raiz primitiva módulo p 2. 2 Se g é uma raiz módulo p 2, então g é uma raiz módulo p k+1 para k 2. 3 Se g é um inteiro ímpar raiz primitiva módulo p k para k 1, então g é uma raiz primitiva módulo 2p k. Se g é um inteiro par raiz primitiva módulo p k para k 1, então g + p k é uma raiz primitiva módulo 2p k.

21 Função de Carmichael e o teorema das raízes primitivas Funções úteis no Mathematica: MultiplicativeOrder, PrimitiveRoot, CarmichaelLambda.