ARQUITECTURA DE COMPUTADORES

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1 ARQUITECTURA DE COMPUTADORES CAPÍTULO III AULA I, II e III Abril 2014

2 Índice Aritmética para computadores Intro Adição e subtração Multiplicação Divisão Virgula Flutuante Virgula Flutuante - aritmética

3 Intro Como é feita uma adição? Como são efectuadas multiplicações? E fracções? Como são representadas? E os números reais? Como se converte de decimal para binário? E quando um resultado não cabe em 32bits? Como funciona a ALU?

4 Adição e subtração Como vimos anteriormente, a adição é uma instrução base de aritmética, suportada por qualquer processador. Em MIPS utilizamos a instrução add. Mas o que acontece realmente quando o processador executa um add? Ocorre um soma binária, onde: = = = = = 11

5 Adição e subtração Considere-se os seguintes registos: $s0 = $s1 = Qual o resultados de $t0, em add $t0, $s0,$s1?

6 Adição e subtração Outra operação de base é a subtracção. Em MIPS utilizamos a instrução sub. Mas o que acontece realmente quando o processador executa um sub? Ocorre um soma binária, onde: 1-0 = = = = 1 e vai 1 para subtrair no próximo

7 Adição e subtração Considere-se os seguintes registos: $s0 = $s1 = Qual o resultados de $t0, em sub $t0, $s0,$s1? (1)

8 Adição e subtração O que acontece quando: A + B < 0, sendo A e B ambos 0; A + B 0, sendo A e B ambos < 0; A B < 0, sendo A 0 e B < 0; A B 0, sendo A < 0 e B 0; São casos de Overflow. add, addi e sub reconhecem overflow através do sinal invertido (signed). addu, addiu, e subu ignoram overflow.

9 Adição e subtração Exemplo: Existem compiladores, como por exemplo o compilador de C, que ignoram Overflows, uma vez que compilam somente para instruções unsigned.

10 Adição e subtração Adições, subtrações e lógica são suportadas pela ALU: Arithmetic Logic Unit. Central Processing Unit Input Device Unidade de Controlo Unidade Aritmética/Lógica Output Device Unidade de memória Programa Código Dados

11 Multiplicação Nas aulas anteriores aprendemos que ao efectuar um shift left logic (sll), estamos a multiplicar um determinado valor por m = 2 n. sll $t0, $s0, 2, ou seja, $t0 = 2 2 x $s0. Porém, nem sempre o valor de multiplicação é uma constante, nem uma potência de 2.

12 Multiplicação Regras de multiplicação de base 2: 0 x 0 = 0; 0 x 1 = 0; 1 x 0 = 0; 1 x 1 = 1; Exemplo: 1110 x

13 Multiplicação 0010 x

14 Multiplicação Multiplicação em MIPS: mult $s,$t multu $s,$t O resultado, de 64bits, é colocado em dois registos específicos: LO e HI. mfhi $s, HI -> move o valor de HI para o registo $s mflo $s, LO -> move o valor de LO para o registo $s Multiplicação em MIPS não reconhece overflows

15 Divisão Regras e divisão para base 2 0/1 = 0 1/1 = 1 1/0 = N/A 0/0 = N/A Exemplo: Exemplo:

16 Divisão Exemplo:

17 Divisão Divisão em MIPS: div $s,$t => LO = $s / $t HI = $s % $t divu $s,$t O resultado, de 32bits, é colocado em LO, enquanto que o resto é colocado em HI. mfhi $s, HI -> move o valor de HI para o registo $s mflo $s, LO -> move o valor de LO para o registo $s

18 Índice Aritmética para computadores Intro Adição e subtração Multiplicação Divisão Virgula Flutuante Virgula Flutuante - aritmética Paralelismo e aritmética

19 Floating Point Para além dos números naturais, é comum em computação utilizarem-se números reais. PI = ou 1.0 x ,234,345,000 ou x 10 9 Etc À representação apresentada nos dois últimos exemplos denomina-se de notação científica. A notação científica normalizada não permite zeros à esquerda da vírgula. 1.0 x Normalizado 10.0 x Não Normalizado

20 Floating Point Em computação, a notação científica é também aplicada à numeração binária. Porém, de modo a garantir a normalização da mesma, a base deixa de ser decimal (10), passando a ser binária (2). Exemplo: 10 9 => 2 9 Aritmética computacional com suporte para notação científica de base 2, denomina-se de vírgula flutuante.

21 Floating Point Ao seguir a notação normalizada, existem três benefícios: 1. Simplifica a troca de dados com vírgula flutuante. 2. Simplifica os cálculos aritméticos entre estes números. 3. Aumenta a precisão dos números guardados numa word (32 bits). Uma vez que não gasta bits à esquerda, permite guardar um maior número de casas decimais e assim aumentar a precisão.

22 Floating Point Representação: Na representação de uma vírgula flutuante existem dois parâmetros configuráveis: A fração ou mantissa; O expoente; Considere: 1.xxxxxx x 10 yyyyyy, onde 1.x representa a fração e y o expoente. Maior o x, maior a precisão. Maior o y, maior o alcance. Logo, deve existir um balanço entre precisão e alcance, considerando o limite de uma word.

23 Floating Point Representação em MIPS: s Expoente Fracção 8 bits 23 bits Formula genérica: ( 1) s x F x 2 E Exemplo: x

24 Floating Point Limites: 2.0 x x Tal como nos números inteiros, existe o perigo de overflow em vírgulas flutuantes: Overflow em vírgula flutuante ocorre quando o valor de um expoente positivo é tão grande que não cabe nos bits para ele destinados. Underflow em vírgula flutuante ocorre quando o valor de um expoente negativo é tão grande que não cabe nos bits para eles destinados.

25 Floating Point Uma forma de reduzir o perigo de overflow ou underflow é aumentar o campo destinado ao expoente. Em linguagem C isso é implementado através do tipo double: double precision floating point. Um double utiliza duas words de 32 bits cada. A versão normal denomina-se de single precision floating point, que ocupa somente uma word de 32 bits. Em linguagem C é o tipo float.

26 Floating Point Representação de um double em MIPS: s Expoente Fracção 11 bits 20 bits Fracção (continuação) 32 bits

27 Floating Point Limites de um double: 2.0 x x O formato e codificação dos diferentes modos de representação de virgulas flutuantes são definidos pela norma IEEE 754 floating-point standard, desde 1980.

28 Floating Point Como vimos nos exemplos de números reais a representação de expoentes negativos é também bastante usada. Para representar a negação do expoente, poderíamos seguir a mesma regra do sinal aplicada ao bit mais significativo. Porém, o IEEE 754 define que os expoentes mais negativos devem ser representados por e os mais positivos por A isto chama-se de convenção tendenciosa.

29 Floating Point A convenção tendenciosa, utiliza um valor tendencioso para obter os expoentes no formato pretendido, nomeadamente o número 127 (1023 para double). Assim, o expoente representado é obtido através da soma do expoente mais o valor tendencioso Exemplo: 1.0 x = 126 =

30 Floating Point Sendo assim a formula genérica obtida anteriormente é alterada para: ( 1) s x 1 + F x 2 E Bias Deste modo os limites reais de vírgulas flutuantes simples, são: Exemplo: Menor ± x Maior ± x 2 127

31 Floating Point Exercício: Converta o número real para notação cientifica base 2 e respetiva virgula flutuante simples / 8 #Fração decimal -7 / 2 3 #decimal sobre base binária / 2 3 #Fração binária x 2 3 # Fração invertida x 2 0 # Notação científica x 2 1 # Notação científica normalizada Pode utilizar a calculadora online para verificar o resultado em:

32 Floating Point Exercício: Converta o número real para notação cientifica base 2 e respetiva virgula flutuante simples. Aplicando x 2 1 a ( 1) s x 1 + F x 2 E Bias obtém-se ( 1) 1 x x

33 Floating Point Definições do IEEE 754

34 Floating Point

35 Índice Aritmética para computadores Intro Adição e subtração Multiplicação Divisão Virgula Flutuante Virgula Flutuante - aritmética

36 Floating Point - Adição De modo a somar vírgulas flutuantes ambos os operandos devem ter o mesmo expoente, sendo o expoente igual ao maior entre os dois. Calcule a seguinte operação de base 10, considerando um máximo de 4 bits x x Colocar o segundo operando no formato 10 1 visto ser o maior expoente entre os dois x x 10 1

37 Floating Point - Adição 2. Arrendondar a fração para a quantidade de bits suportada (ex. 4 bits) x x Alinhar ambos os operando pela vírgula e somar x x x 10 1

38 Floating Point - Adição 4. Normalizar o resultado x x Arredondar o resultado para os 4 bits totais x x x 10 2

39 Floating Point - Adição

40 Floating Point - Adição Exercício: Some 0.5 com em base => 1/2 => 1/2 1 => 1.0 x =? Inteiro = 0 + Decimal = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = Logo: = = x 2 1 0x x x x2 3 = = = = Ou: => 7/8 => 7/2 3 => 0111 x 2 3 => 1.11 x 2 1

41 Floating Point - Adição Exercício: Some 0.5 com em base x x x 2 1 Normalizando: x 2 1 => x 2 0 Verificar overflow e underflow: => OK Arredondar caso necessário: x 2 0 => x 2 0

42 Floating Point - Adição Exercício: Some 0.5 com em base 2. Converter para decimal e observar o resultado: x 2 0 = = 1 x x x x 2 3 = = = = 1.375

43 Floating Point - Subtração Exercício: Calcule em base = 1.0 x 2 1 = 0.1 x = 0 + decimal x 2 = x 2 = x 2 = = x x 2 0 = 1.0 x Normalizar: 0.01 x 2 1 = 1.0 x x , logo não existe overflow = 2 3 = = 0.125

44 Floating Point - Multiplicação Tal como na adição, vamos exemplificar com numeração base 10. Considere o seguinte exemplo, com o limite de duas casas decimais: 5.23 x 10 2 x 2.40 x 10 5 Ao contrário da adição, na multiplicação não é necessário alinhar os expoentes. Em contrapartida o expoente resulta da soma dos dois expoentes presentes na operação.

45 Floating Point - Multiplicação Assim: 5.23 x 10 2 x 2.40 x x 10 7 Normalizando: x 10 6 Testar overflow ou underflow: Arredondar: 1.26 x 10 6

46 Floating Point - Multiplicação

47 Floating Point - Multiplicação Exercício: x 2 = x 2 = x 2 = = = 1.1 x 2 2 Calcule x 0.5 em base x 2 = x = 0.1 x 2 2 = 1.0 x 2 1 x 1.0 x x x 0.5 = x 2 3 = = = = Normalizando: OK Testar overflow ou underflow: OK Arredondar: OK

48 Floating Point - Multiplicação Exercício: Divida 1.5 por 0.5 em base x 2 = 1.1 x x 2 = = 0.1 x 2 2 = 1.0 x x x 2 1 = 1.10 x 2 0 x 1.00 x 2 1 = 1.10 x 2 1 Normalizando: OK Testar overflow ou underflow: OK Arredondar: OK 1.5 / 0.5 = x 2 1 = 11.0 = 1 x x 2 1 = 3

49 Floating Point EM MIPS O MIPS suporta a norma IEEE 754, tanto em precisão simples como em double, através das seguintes instruções: Função Instrução Operação Adiciona (precisão simples) add.s $f2, $f4, $f6 $f2 = $f4 + $f6 Subtrai (precisão simples) sub.s $f2, $f4, $f6 $f2 = $f4 - $f6 Multiplica (precisão simples) mul.s $f2, $f4,$f6 $f2 = $f4 x $f6 Divisão (precisão simples) div.s $f2,$f4,$f6 $f2 = $f4 / $f6 Adiciona (precisão dupla) add.d $f2, $f4, $f6 $f2 = $f4 + $f6 Subtrai (precisão dupla) sub.d $f2, $f4, $f6 $f2 = $f4 - $f6 Multiplica (precisão dupla) mul.d $f2, $f4,$f6 $f2 = $f4 x $f6 Divisão (precisão dupla) div.d $f2,$f4,$f6 $f2 = $f4 / $f6

50 Floating Point EM MIPS O MIPS tem um coprocessador próprio para tratar vírgulas flutuantes, denominado de co-processor 1 (C1) O MIPS utiliza uma floating point conditional flag para guardar resultados FP. Função Instrução Operação Load lwc1 $f2, 0( $f6) $f2 = $f6[0] Store swc1 $f2, 0($f6) $f6[0] = $f2 Comparação (precisão simples) c.x.s $f2, $f4 (eq, neq,lt,le,gt,ge) Comparação (precisão dupla) c.x.d $f2, $f4 (eq, neq,lt,le,gt,ge) Se $f2 x $f4 Se $f2 x $f4 coloca a flag a true Atua conforme a flag movet $t0,$t1 Move $t1 para $t0 se flag = true

51 Floating Point EM MIPS O C1 contem 32 registos FP, de $f0 a $f31 de 32 bits cada. Uma vez que os registos $fx são registos de 32 bits, a representação de doubles ocupa dois registos. Para além das instruções apresentadas, existem várias outras instruções para, entre outros: Mover valores entre registos, Mover valores entre registos com base nas flags condicionais Mover valores co co-processador 1 para o 0 e vice-versa, Etc

52 Floating Point EM MIPS

53 Dúvidas e Questões Abril 2014

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