CIC 111 Análise e Projeto de Algoritmos II

Transcrição

1 CIC 111 Análise e Projeto de Algoritmos II Prof. Roberto Affonso da Costa Junior Universidade Federal de Itajubá

2 AULA 16 Directed graphs Topological sorting Dynamic programming Successor paths Cycle detection

3 Directed Graphs Nesta aula, vamos estudar duas classes de grafos direcionados: Grafos Acíclicos: não há ciclos no gráfico, portanto, não há nenhum caminho de nenhum nó para ele próprio 1. Grafos Sucessores: o grau de saída de cada nó é 1, então cada nó possui um sucessor único. Acontece que em ambos os casos, podemos ter algoritmos eficientes baseados nas propriedades especiais dos grafos. 1 Os grafos acíclicos direcionados às vezes são chamados DAGs

4 Topological sorting Uma ordenação topológico é uma ordenação dos nós de um grafo direcionado, de modo que, se houver um caminho do nó a para o nó b, o nó a aparece antes do nó b no pedido. Por exemplo, para o grafo uma ordenação topológico é [4, 1, 5, 2, 3, 6]:

5 PROGRAMA Kahn Sites a visitar

6 Algoritmo A ideia é passar pelos nós do grafo e sempre começar por uma busca em profundidade do nó atual, que ainda não tiver sido processado. Durante as pesquisas, os nós possuem três estados possíveis: Estado 0: o nó não foi processado (branco) Estado 1: o nó está em processamento (cinza claro) Estado 2: o nó foi processado (cinza escuro) Inicialmente, o estado de cada nó é 0. Quando uma pesquisa atinge um nó pela primeira vez, seu estado se torna 1. Finalmente, depois de todos os sucessores do nó terem sido processados, seu estado se torna 2.

7 Algoritmo Se o grafo contiver um ciclo, descobriremos isso durante a pesquisa, porque, mais cedo ou mais tarde, chegaremos a um nó cujo estado é 1. Neste caso, não é possível construir um grafo topológico ordenado. Se o grafo não contém um ciclo, podemos construir um grafo topológico ordenado adicionando cada nó a uma lista quando o estado do nó se tornar 2. Essa lista na ordem inversa é um grafo topológico ordenado.

8 Exemplo 1 No grafo do exemplo, a pesquisa primeiro procede do nó 1 ao nó 6:

9 Exemplo 1 Agora o nó 6 foi processado, então ele é adicionado à lista. Depois disso, também nós 3, 2 e 1 são adicionados à lista

10 Exemplo 1 Neste ponto, a lista é [6, 3, 2, 1]. A próxima pesquisa começa no nó 4:

11 Exemplo 1 Assim, a lista final é [6, 3, 2, 1, 5, 4]. Nós processamos todos os nós, portanto, um tipo topológico foi encontrado. O tipo topológico é a lista inversa [4, 5, 1, 2, 3, 6]: Observe que um tipo topológico não é único, e pode haver vários tipos topológicos para um gráfico.

12 Exemplo 2 Consideremos agora um grafo para o qual não podemos construir um tipo topológico, porque o grafo contém um ciclo:

13 Exemplo 2 A pesquisa prossegue da seguinte forma: A pesquisa atinge o nó 2 cujo estado é 1, o que significa que o gráfico contém um ciclo. Neste exemplo, há um ciclo

14 PROGRAMA Kahn Sites a visitar

15 Sites a visitar

16 Programação Dinâmica Se um grafo direcionado é acíclico, a programação dinâmica pode ser aplicada a ele. Por exemplo, podemos resolver de forma eficiente os seguintes problemas relacionados aos caminhos de um nó inicial para um nó final: quantos caminhos diferentes existem? qual é o caminho mais curto / mais longo? qual é o número mínimo / máximo de arestas em um caminho? quais nós certamente aparecem em qualquer caminho?

17 Programação Dinâmica Contando o número de caminhos Como exemplo, vamos calcular o número de caminhos do nó 1 ao nó 6 no seguinte grafo:

18 Programação Dinâmica Há três desses caminhos: Deixe path(x) indicar o número de caminhos do nó 1 para o nó x. Como um caso base, path(1) = 1. Então, para calcular outros valores de path(x), podemos usar a recursão path(x) = path(a 1 ) + path(a 2 ) + + path(a k )

19 Programação Dinâmica onde a 1, a 2,, a k são os nós dos quais existe uma direção de x. Uma vez que o grafo é acíclico, os valores dos path(x) podem ser calculados na ordem de um grafo topológico ordenado. Um grafo topológico ordenado para o grafo acima é o seguinte:

20 Sites a visitar

21 Exercício Monte um programa para determinar quais os caminhos a ser percorrido no grafo a seguir, saindo do nó 5. Primeiramente, com o caminhos preto, em seguida colocando os cinzas.

22 Programação Dinâmica Portanto, o número de caminhos é o seguinte:

23 Programação Dinâmica Por exemplo, para calcular o valor dos path(3), podemos usar da fórmula: path(2) + path(5), porque existem arestas dos nós 2 e 5 ao nó 3. Como os path(2) = 2 e path(5) = 1, concluímos que path(3) = 3.

24 Programação Dinâmica Estendendo o algoritmo de Dijkstra Um subproduto do algoritmo de Dijkstra é um grafo acíclico dirigido que indica para cada nó do grafo original as formas possíveis de alcançar o nó usando um caminho mais curto a partir do nó inicial. Por exemplo, no grafo:

25 Programação Dinâmica Agora, podemos, por exemplo, calcular o número de caminhos mais curtos do nó 1 para o nó 5 usando a programação dinâmica:

26 Programação Dinâmica Os caminhos mais curtos que o nó 1 pode usar para chegar ao nó 5, passa nas seguintes arestas:

27 Representando problemas como grafos Na verdade, qualquer problema de programação dinâmica pode ser representado como um grafo acíclico direcionado. Em tal grafo, cada nó corresponde a um estado de programação dinâmico e as arestas indicam como os estados dependem um do outro. Por exemplo, considere o problema de formar uma soma de dinheiro usando n moedas {c 1, c 2,, c k }. Neste problema, podemos construir um grafo onde cada nó corresponde a uma soma de dinheiro e as arestas mostram como as moedas podem ser escolhidas.

28 Representando problemas como grafos Por exemplo, para moedas {1, 3, 4} e n = 6, o grafo é o seguinte: Usando essa representação, o caminho mais curto do nó 0 para o nó n corresponde a uma solução com o número mínimo de moedas e o número total de caminhos do nó 0 para o nó n é igual ao número total de soluções.

29 Caminhos sucessores Os grafos sucessores, o grau sucessor de cada nó é 1, isto é, exatamente uma borda começa em cada nó. Um grafo sucessor consiste em um ou mais componentes, cada um dos quais contém um ciclo e alguns caminhos que o levam. Os grafos sucessores às vezes são chamados de grafos funcionais. A razão para isso é que qualquer grafo sucessor corresponde a uma função que define as arestas do grafo. O parâmetro para a função é um nó do grafo, a função dá o sucessor desse nó.

30 Caminhos sucessores Por exemplo, a função: x succ(x) define o seguinte grafo:

31 Exercício Monte um programa que dado o grafo a seguir, mostre a tabela do sucessor de cada um dos nós.

32 Caminhos sucessores Uma vez que cada nó de um grafo sucessor possui um sucessor único, também podemos definir uma função succ(x,k) que dê o nó que alcançaremos se começarmos no nó x e caminhar avançar k vezes. Por exemplo, no grafo acima succ(4,6) = 2, porque alcançaremos o nó 2 caminhando 6 passos a partir do nó 4:

33 Caminhos sucessores Uma maneira direta de calcular um valor de succ(x,k) é começar no nó x e caminhar k passos para a frente, o que leva O(k) tempo. No entanto, usando o pré-processamento, qualquer valor de succ(x,k) pode ser calculado apenas no tempo O(log k). A ideia é precalcular todos os valores de succ(x,k) onde k é uma potência de dois e, no máximo u, onde u é o número máximo de etapas que sempre vamos caminhar. Isso pode ser feito eficientemente, porque podemos usar a seguinte recursão:

34 Caminhos sucessores fsucc(x) k=1 fsucc (x, k)={ fsucc(fsucc(x, k /2), k/2) k>1 Precalcular os valores leva o tempo O(n log u), porque os valores de O(log u) são calculados para cada nó. No grafo acima, os primeiros valores são os seguintes:

35 Caminhos sucessores x succ(x,1) succ(x,2) succ(x,4) succ(x,8) Depois disso, qualquer valor de succ(x,k) pode ser calculado apresentando o número de etapas k como uma soma de potência de dois. Por exemplo, se queremos calcular o valor de succ(x,11), primeiro formamos a representação 11 = Usando isso,

36 Caminhos sucessores succ(x, 11) = succ(succ(succ(x, 8), 2), 1) Por exemplo, no grafo anterior succ(4, 11) = succ(succ(succ(4, 8), 2), 1) = = succ(succ(2, 2), 1) = = succ(2, 1) = 5 Essa representação sempre consiste em partes de O(log k), portanto, calcular um valor de succ(x,k) leva tempo de O(log k).

37 Exercício No exercício anterior, você montou um programa que construía a tabela dos valores sucessores de um grafo. Com a ideia do caminho sucessor, preencha a tabela a seguir. Nó (x) Passo (p) succ(x, p) S 4 T 7 Z 8 W 2 V 5

38 Detecção de ciclo Considere um grafo sucessor que contém apenas um caminho que termina em um ciclo. Podemos fazer as seguintes perguntas: se iniciarmos nossa caminhada no nó de partida, qual é o primeiro nó no ciclo e quantos nós o ciclo contém? Por exemplo, no grafo

39 Detecção de ciclo começamos nossa caminhada no nó 1, o primeiro nó que pertence ao ciclo é o nó 4 e o ciclo consiste em três nós (4, 5 e 6). Uma maneira simples de detectar o ciclo é andar no grafo e acompanhar todos os nós que foram visitados. Uma vez que um nó é visitado pela segunda vez, podemos concluir que o nó é o primeiro nó no ciclo. Este método funciona no tempo O(n) e também usa a memória O(n).

40 Detecção de ciclo No entanto, existem melhores algoritmos para detecção de ciclo. A complexidade do tempo de tais algoritmos ainda é O(n), mas eles apenas usam memória O(1). Esta é uma melhoria importante se n for grande. Em seguida, vamos discutir o algoritmo da Floyd que atinge essas propriedades.

41 Exercício Faça um programa para determinar o ciclo do grafo a seguir. Se não houver, basta dizer que não tem.

42 Algoritmo de Floyd O algoritmo de Floyd avança no grafo usando dois ponteiros a e b. Ambos os ponteiros começam em um nó x que é o nó inicial do grafo. Então, em cada rodada, o ponteiro a percorre um passo em frente e o ponteiro b anda dois passos para a frente. O processo continua até que os ponteiros se encontrem: a = succ(x); b = succ(succ(x)); while (a!= b) { a = succ(a); b = succ(succ(b)); }

43 Algoritmo de Floyd Neste ponto, o ponteiro a andou k passos e o ponteiro b caminhou 2k etapas, então o comprimento do ciclo divide k. Assim, o primeiro nó que pertence ao ciclo pode ser encontrado movendo o ponteiro a para o nó x e avançando os ponteiros passo a passo até se encontrar novamente. a = x; while (a!= b) { a = succ(a); b = succ(b); } first = a;

44 Algoritmo de Floyd Depois disso, o comprimento do ciclo pode ser calculado da seguinte forma: b = succ(a); length = 1; while (a!= b) { b = succ(b); length++; }

45 Exercício Utilizando o Algoritmo de Floyd, faça um programa para determinar o ciclo do grafo a seguir. Se não houver, basta dizer que não tem.

46 Sugestão para a prova Guarde e estude esses programas. Procure resolver os problemas do URI: 1100, 1655 e 1738 Procure resolver os problemas do UVa 186, 341, 423, e 534