Desafios de Programação TCC Turma A-1

Transcrição

1 Desafios de Programação TCC Turma A-1 Conteúdo Grafos Professor Leandro Augusto Frata Fernandes Material disponível em Grafos Parte 1 Estruturas de dados Travessia em largura e profundidade Ordenação topológica Parte 2 Árvore geradora mínima Caminho mais curto Fluxo de rede Etc. TCC Desafios de Programação 2 1

2 Leitura Sugerida Art of Programming Contest AREFIN, A. S. 2 nd ed. Gyankosh Prokashoni: 2006 Capítulo 12 Introduction to Algorithms CORMEN, T. H. et al. The MIT Press: 2009 Capítulos 6 Competitive Programming 2 / 3 HALIM, S.; HALIM, F. Lulu: 2012 / 2013 Capítulos 2 (algumas partes) e 4 Programming Challenges SKIENA, S.S.; REVILÇA, M.A. Springer: 2003 Capítulos 9 e 10 TCC Desafios de Programação 3 Bibliotecas Nativas Sério!? Você quer uma biblioteca nativa? Esqueça! TCC Desafios de Programação 4 2

3 Grafos Parte 1 Estruturas de Dados TCC Desafios de Programação 5 Tipos de Grafos =, = vértices (ou nós) e = arestas (ou arcos) Direcionado / Não direcionado Com pesos / Sem pesos Cíclico / Acíclico Simples / Não simples Implícito / Explícito arestas arestas e/ou vértices arestas arestas arestas e/ou vértices TCC Desafios de Programação 6 3

4 Exemplo Direcionado / Não direcionado Com pesos / Sem pesos Cíclico / Acíclico Simples / Não simples Implícito / Explícito (depende) 5 = 1,2,3,4,5,6 = 1,3, 2,1, 3,1, 3,2, 4,2, 4,4, 5,6 TCC Desafios de Programação 7 Matriz de Adjacências Representação Explícita Para De TCC Desafios de Programação 8 4

5 Listas de Adjacências Representação Explícita Para De TCC Desafios de Programação 9 Exemplo de Estrutura Representação Explícita struct edge_s { int v; float weight; }; struct graph_s { edge_s edges[max_nvertices][max_degree]; int degree[max_nvertices]; float weight[max_nvertices]; int nvertices; int nedges; }; TCC Desafios de Programação 10 5

6 Grafos Parte 1 Travessia TCC Desafios de Programação 11 Travessia Visitar cada vértice e cada aresta uma única vez e em uma ordem pré-definida Requer controle de vértices descobertos e vértices processados Tipos de travessia: Largura Profundidade TCC Desafios de Programação 12 6

7 Travessia em Largura Pseudocódigo BFS(G, s) initialize status, parent, and distance arrays; initialize queue Q; Enqueue(Q, s) status[s] = DISCOVERED; while (Q not empty) do u = Dequeue(Q); process vertex u; status[u] = PROCESSED; for each v adjacent to u do if ({u, v} is a valid edge) then process edge {u, v}; if (status[v] == UNDISCOVERED) then Enqueue(Q, v); status[v] = DISCOVERED; distance[v] = distance[u] + 1; end parent[v] = u; end if end if end while Aplicações Encontrar caminhos Calcular caminho mais curto (requer modificações) TCC Desafios de Programação 13 Travessia em Profundidade Pseudocódigo não Recursivo DFS(G, s) initialize status, parent and depth arrays; initialize stack S; Push(S, s) status[s] = DISCOVERED; while (S not empty) do u = Pop(S); process vertex u; status[u] = PROCESSED; for each v adjacent to u do if ({u, v} is a valid edge) then process edge {u, v}; if (status[v] == UNDISCOVERED) then Push(S, v); status[v] = DISCOVERED; depth[v] = depth[u] + 1; end parent[v] = u; end if end if end while Aplicações Determinar ciclos em grafos não direcionados Identificar componentes conexos TCC Desafios de Programação 14 7

8 Grafos Parte 1 Ordenação Topológica TCC Desafios de Programação 15 Ordenação Topológica Aplicada sobre grafos direcionados acíclicos Ordena vértices de modo que todas as arestas sigam o mesmo sentido Aplicado em Definição de precedência (agendamento) Determinar caminho mais curto Determinar caminho mais longo TCC Desafios de Programação 16 8

9 Ordenação Topológica Pseudocódigo não Recursivo TopSort(G) initialize indegree, and sorted arrays; initialize queue Q; for each v in G do if (indegree[v] == 0) then, Enqueue(Q, v) count = 0; while (Q not empty) do x = Dequeue(Q); sorted[count] = x; for each y adjacent to x do indegree[y]--; if (indegree[y] == 0) then, Enqueue(Q, y) count++; end while end assert count equals number of vertices; TCC Desafios de Programação 17 Grafos Parte 2 Ciclos TCC Desafios de Programação 18 9

10 Ciclos Grafos conexos que não são árvores contém ciclos Caminho Euleriano visita exatamente uma vez cada arestas Vértices podem ser visitados mais de uma vez Caminho: Não precisa começar e terminar no mesmo vértice Circuito: Começa e termina no mesmo vértice Algoritmo: Fleury (muito grande para um slide) Caminho Hamiltoniano visita exatamente uma vez cada vértice Por dualidade, caminho Euleriano reduz para caminho Hamiltoniano O problema do caixeiro viajante consiste em encontrar o caminho Hamiltonian mais curto (NP-difícil) Algoritmo: Em grafos pequenos, backtracking TCC Desafios de Programação 19 Grafos Parte 2 Árvore Geradora Mínima TCC Desafios de Programação 20 10

11 Árvore Geradora Mínima Uma árvore geradora de um grafo =, é um subconjunto de arestas de formando uma árvore que conecta todos os vértices de Uma árvore geradora mínima é a árvore geradora onde a soma do peso das arestas é a menor possível Algoritmos Prim e Kruskal Aplicações Conectar cidades com menor distância de rodovias Provar conectividade (não precisa ser árvore mínima) TCC Desafios de Programação 21 Algoritmo de Prim Pseudocódigo Prim(G, start) end initialize intree, distance, and parent arrays; v = start; distance[start] = 0; while (intree[v] == FALSE) do intree[v] = TRUE; for each w adjacent to v do weight = weight of edge {v, w}; if ((distance[w] > weight) and (intree[w] == FALSE)) then parent[w] = v; distance[w] = weight; end if v = vertex not in tree, and min. distance end while TCC Desafios de Programação 22 11

12 Variações de Árvore Geradora Mínima Árvore Geradora Máxima Utilize pesos negativos Aplicação: contratos públicos fraudulentos Árvore Geradora de Produto Mínimo log =log +log Aplicação: Não sei. Mas a Maratona é criativa. TCC Desafios de Programação 23 Grafos Parte 2 Caminho Mais Curto TCC Desafios de Programação 24 12

13 Caminho Mais Curto Grafo sem pesos Travessia em largura resolve Grafo com pesos positivos Dijkstra retorna o menor caminho entre um dado vértice de e qualquer outro vértice de Floyd-Warshall retorna o comprimento do menor caminho entre quaisquer dois vértices de, mas não os caminhos TCC Desafios de Programação 25 Algoritmo de Dijkstra Pseudocódigo Dijkstra(G, start) end initialize intree, distance, and parent arrays; v = start; distance[start] = 0; while (intree[v] == FALSE) do intree[v] = TRUE; for each w adjacent to v do weight = weight of edge {v, w}; if (distance[w] > distance[v] + weight) then distance[w] = distance[v] + weight; parent[w] = v; end if v = vertex not in tree, and min. distance end while TCC Desafios de Programação 26 13

14 Algoritmo de Floyd-Warshall Pseudocódigo FloydWarshall(G) end for each vertex k in G do for each vertex i in G do for each vertex j in G do if (G[i,k] + G[k,j] < G[i,j]) then G[i,j] = G[i,k] + G[k,j]; end if TCC Desafios de Programação 27 Grafos Parte 2 Fluxo de Rede TCC Desafios de Programação 28 14

15 Problema do Fluxo Máximo Em um grafo orientado =,, onde cada aresta, possui capacidade, >0, calcular o fluxo máximo suportado pela Aplicações O problema em si é interessante Grafo bipartido (bigrafo) Algoritmo Vários! Ford-Fulkerson (mais simples de implementar) Grafo Bipartido TCC Desafios de Programação 29 Algoritmo de Ford-Fulkerson Pseudocódigo FordFulkerson(G, source, sink) end max_flow = 0; while (BFS(G, source, sink, parent)) do path_flow = MAX_VALUE; for each v in the path from skin to source do u = parent[v] path_flow = min(path_flow, G[u,v]); for each v in the path from sink to source do u = parent[v]; G[u,v] -= path_flow; G[v,u] += path_flow; max_flow += path_flow; end while TCC Desafios de Programação 30 15