Caminho Mínimo de Fonte Única em Grafos com Pesos Negativos Letícia Rodrigues Bueno
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- Benedicto Alencar da Rocha
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1 Caminho Mínimo de Fonte Única em Grafos com Pesos Negativos Letícia Rodrigues Bueno UFABC
2 Problemas de Caminho Mínimo Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijsktra;
3 Problemas de Caminho Mínimo Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijsktra; Caminho mínimo de destino único: inverta a direção das arestas e aplique algoritmo de Dijstra;
4 Problemas de Caminho Mínimo Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijsktra; Caminho mínimo de destino único: inverta a direção das arestas e aplique algoritmo de Dijstra; Caminho mínimo entre quaisquer vértices u e v: algoritmo de Dijsktra;
5 Problemas de Caminho Mínimo Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijsktra; Caminho mínimo de destino único: inverta a direção das arestas e aplique algoritmo de Dijstra; Caminho mínimo entre quaisquer vértices u e v: algoritmo de Dijsktra; Caminho mínimo em grafos com pesos negativos: algoritmo de Bellman-Ford;
6 Problemas de Caminho Mínimo Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijsktra; Caminho mínimo de destino único: inverta a direção das arestas e aplique algoritmo de Dijstra; Caminho mínimo entre quaisquer vértices u e v: algoritmo de Dijsktra; Caminho mínimo em grafos com pesos negativos: algoritmo de Bellman-Ford; Caminho mínimo de todos os vértices para todos os vértices: algoritmo de Floyd-Warshall em tempo O(n 3 ).
7 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos pode haver arestas com pesos negativos;
8 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos pode haver arestas com pesos negativos; se não há ciclo de peso negativo acessível a partir da origem:
9 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos pode haver arestas com pesos negativos; se não há ciclo de peso negativo acessível a partir da origem: algoritmo de Dijsktra;
10 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos pode haver arestas com pesos negativos; se não há ciclo de peso negativo acessível a partir da origem: algoritmo de Dijsktra; Exemplo de ciclo de peso negativo: s a c e b d f 4 8 g h -8 2 j 3 i
11 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos E se adicionarmos uma constante ao peso de cada aresta? 2 a b 4-9 c d
12 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos E se adicionarmos uma constante ao peso de cada aresta? 2 a 4 c mais 9 11 a 13 c 15 b -9 d b d
13 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos E se adicionarmos uma constante ao peso de cada aresta? 2 a b 4 c custo:1 custo:2-9 d mais 9 11 a b 13 c d 15
14 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos E se adicionarmos uma constante ao peso de cada aresta? a b 4 c custo:1 2 custo:2-9 d mais 9 a b 13 c custo:28 11 custo:1115 d
15 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x y 9 i=2 z
16 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x y 9 i=1 z
17 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x y 9 i=1 z
18 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x y 9 i=1 z
19 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x y 9 i=1 z
20 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x y 9 i=1 z
21 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x y 9 i=1 z
22 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x y 9 i=1 z
23 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x y 9 i=1 z
24 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x y 9 i=1 z
25 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x y 9 i=1 z
26 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x y 9 i=1 z
27 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 11 y 9 i=2 z
28 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 11 y 9 i=2 z
29 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 11 y 9 i=2 2 z
30 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 11 y 9 i=2 2 z
31 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 4 y 9 i=2 2 z
32 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 4 y 9 i=2 2 z
33 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 4 y 9 i=2 2 z
34 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 4 y 9 i=2 2 z
35 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 4 y 9 i=2 2 z
36 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 4 y 9 i=2 2 z
37 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 4 y 9 i=2 2 z
38 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 4 y 9 i=3 2 z
39 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos Algoritmo de Bellman-Ford: s t x 4 y 9 i=4-2 z
40 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Bellman-Ford u 5 2 v 9 1 relaxa(u, v): 2 se v.d > u.d + p(u, v) então 3 v.d = u.d + p(u, v) 4 v.p = u u 5 u 5 u 5 Relaxa(u,v) v 2 (a) v 2 Relaxa(u,v) v 2 (b)
41 Complexidade do algoritmo de Bellman-Ford 1 bellman-ford(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None 5 s.d = s.p = s para i=1 a n-1 faça 8 para (u,v) E(G) faça 9 relaxa(u, v) 1 para (u,v) E(G) faça 11 se v.d > u.d + p(u,v) então 12 retorne false; 13 retorne true;
42 Complexidade do algoritmo de Bellman-Ford 1 bellman-ford(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None 5 s.d = s.p = s para i=1 a n-1 faça 8 para (u,v) E(G) faça 9 relaxa(u, v) 1 para (u,v) E(G) faça 11 se v.d > u.d + p(u,v) então 12 retorne false; 13 retorne true; Análise da complexidade:
43 Complexidade do algoritmo de Bellman-Ford 1 bellman-ford(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None 5 s.d = s.p = s para i=1 a n-1 faça 8 para (u,v) E(G) faça 9 relaxa(u, v) 1 para (u,v) E(G) faça 11 se v.d > u.d + p(u,v) então 12 retorne false; 13 retorne true; Análise da complexidade: laço linha 2: O(n);
44 Complexidade do algoritmo de Bellman-Ford 1 bellman-ford(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None 5 s.d = s.p = s para i=1 a n-1 faça 8 para (u,v) E(G) faça 9 relaxa(u, v) 1 para (u,v) E(G) faça 11 se v.d > u.d + p(u,v) então 12 retorne false; 13 retorne true; Análise da complexidade: laço linha 2: O(n); laço linha : O(n);
45 Complexidade do algoritmo de Bellman-Ford 1 bellman-ford(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None 5 s.d = s.p = s para i=1 a n-1 faça 8 para (u,v) E(G) faça 9 relaxa(u, v) 1 para (u,v) E(G) faça 11 se v.d > u.d + p(u,v) então 12 retorne false; 13 retorne true; Análise da complexidade: laço linha 2: O(n); laço linha : O(n); laço linha 8: O(n m);
46 Complexidade do algoritmo de Bellman-Ford 1 bellman-ford(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None 5 s.d = s.p = s para i=1 a n-1 faça 8 para (u,v) E(G) faça 9 relaxa(u, v) 1 para (u,v) E(G) faça 11 se v.d > u.d + p(u,v) então 12 retorne false; 13 retorne true; Análise da complexidade: laço linha 2: O(n); laço linha : O(n); laço linha 8: O(n m); laço linha 1: O(m);
47 Complexidade do algoritmo de Bellman-Ford 1 bellman-ford(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None 5 s.d = s.p = s para i=1 a n-1 faça 8 para (u,v) E(G) faça 9 relaxa(u, v) 1 para (u,v) E(G) faça 11 se v.d > u.d + p(u,v) então 12 retorne false; 13 retorne true; Análise da complexidade: laço linha 2: O(n); laço linha : O(n); laço linha 8: O(n m); laço linha 1: O(m); Complexidade total: O(n m) que é maior que O((n+m) log n) (Dijkstra);
48 Corretude do algoritmo de Bellman-Ford O problema tem subestrutura ótima: um caminho mínimo entre dois vértices contém outros caminhos mínimos em seu interior.
49 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem USD CAD AUD BRL ILS GBP EUR USD 1 1,11 1,12 2,43 3,3,1,8 CAD,89 1 1, 2,18 3,35,55, AUD,89,99 1 2,1 3,32,55,9 BRL,41,45,4 1 1,53,25,32 ILS,2,29,3,5 1,1,2 GBP 1,1 1,9 1,81 3,93,3 1 1,2 EUR 1,2 1,42 1,43 3,1 4,,8 1 USD = dólar dos EUA CAD = dólar canadense AUD = dólar australiano BRL = real Brasil ILS = shekel (Israel) GBP = libra esterlina (Reino Unido) EUR = euro Cotação: 29/1/214
50 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem USD BRL CAD AUD ILS GBP EUR 1,11 1,12 2,43,2,1,8,89 1, 2,18 3,35,55,,89,99 2,1 3,32,55,9,41,45,4 1,53,25,32,2,3,29,5,1 1,1 1,9 1,81 3,93,3 1,2 1,2 1,42 1,43 3,1 4,,8 3,3
51 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Lucro:se produto dos pesos do ciclo > 1,8 1,2 1,2 EUR,8,1 USD 1,1 GBP 3,3,2,41 2,43 BRL 1,11,89,45 2,18 CAD 3,1,32 1,9,55,29 3,35,4 2,1, 1,42 1,,99 1,43,9,25 3,93 1,53,5 1,12,89 AUD 4,,2 3,32,3,55 1,81,1,3 ILS
52 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem USD BRL CAD AUD ILS GBP EUR 1,11 1,12 2,43,2,1,8,89 1, 2,18 3,35,55,,89,99 2,1 3,32,55,9,41,45,4 1,53,25,32,2,3,29,5,1 1,1 1,9 1,81 3,93,3 1,2 1,2 1,42 1,43 3,1 4,,8 3,3 Lucro:,99138
53 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem USD BRL CAD AUD ILS GBP EUR 1,11 1,12 2,43,2,1,8,89 1, 2,18 3,35,55,,89,99 2,1 3,32,55,9,41,45,4 1,53,25,32,2,3,29,5,1 1,1 1,9 1,81 3,93,3 1,2 1,2 1,42 1,43 3,1 4,,8 3,3 Lucro:,99
54 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Observe que
55 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Observe que n 1 n 2... n m > 1
56 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Observe que n 1 n 2... n m > 1 se e somente se
57 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Observe que n 1 n 2... n m > 1 se e somente se 1 n 1 1 n n m < 1.
58 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Observe que n 1 n 2... n m > 1 se e somente se 1 n 1 1 n n m < 1. Aplicando log nos dois lados da desigualdade:
59 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Observe que n 1 n 2... n m > 1 se e somente se 1 n 1 1 n n m < 1. Aplicando log nos dois lados da desigualdade: log 1 n 1 log 1 n 2... log 1 n m <
60 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Observe que n 1 n 2... n m > 1 se e somente se 1 n 1 1 n n m < 1. Aplicando log nos dois lados da desigualdade: log 1 n 1 log 1 n 2... log 1 n m < que é o mesmo que log n 1 log n 2... log n m <.
61 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Substituindo os pesos das arestas: USD CAD AUD BRL ILS GBP EUR USD -,5 -,5 -,39 -,5,21,11 CAD,5 -,34 -,53,2,15 AUD,5, -,33 -,52,2,1 BRL,39,35,34 -,18,,49 ILS,59,54,52,19,8, GBP -,21 -,25 -,2 -,59 -,8 -,1 EUR -,1 -,15 -,1 -,49 -,8,11 USD = dólar dos EUA CAD = dólar canadense AUD = dólar australiano BRL = real Brasil ILS = shekel (Israel) GBP = libra esterlina (Reino Unido) EUR = euro
62 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem USD BRL CAD AUD ILS GBP EUR -,5 -,5 -,39,,21,11,5 -,34 -,53,2,1,5,4 -,33 -,52,25,1,39,35,34 -,18,,49,59,52,54,19,8 -,21 -,25 -,2 -,59 -,8 -,1 -,1 -,15 -,1 -,49 -,8,11 -,5
63 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Lucro:se soma dos pesos do ciclo <,11 -,1 -,1 EUR,11,21 USD -,21 -,5,59,39 -,39 BRL -,5,5,35 -,34 CAD -,49,49 -,25,2,34 -,33,1 -,15,54 -,53 -,5,5,4 -,1,1, -,59 -,18,19 AUD -,8, GBP,8 -,8 ILS -,52,52,25 -,2
64 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem USD BRL CAD AUD ILS GBP EUR -,5 -,5 -,39,,21,11,5 -,34 -,53,2,1,5,4 -,33 -,52,25,1,39,35,34 -,18,,49,59,52,54,19,8 -,21 -,25 -,2 -,59 -,8 -,1 -,1 -,15 -,1 -,49 -,8,11 -,5 Lucro:,1
65 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem USD BRL CAD AUD ILS GBP EUR -,5 -,5 -,39,,21,11,5 -,34 -,53,2,1,5,4 -,33 -,52,25,1,39,35,34 -,18,,49,59,52,54,19,8 -,21 -,25 -,2 -,59 -,8 -,1 -,1 -,15 -,1 -,49 -,8,11 -,5 Lucro:,2
66 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Resolução pelo algoritmo de Bellman-Ford:
67 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Resolução pelo algoritmo de Bellman-Ford: adicione um vértice v com uma aresta de peso para cada vértice;
68 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Resolução pelo algoritmo de Bellman-Ford: adicione um vértice v com uma aresta de peso para cada vértice; a adição de v não pode criar novos ciclos;
69 Aplicação do algoritmo de Bellman-Ford: Arbitragem Resolução pelo algoritmo de Bellman-Ford: adicione um vértice v com uma aresta de peso para cada vértice; a adição de v não pode criar novos ciclos; todos os ciclos do grafo são acessíveis a partir de v ;
70 Bibliografia Utilizada CORMEN, T. H.; LEISERSON, C. E.; RIVEST, R. L. e STEIN, C. Introduction to Algorithms, 3 a edição, MIT Press, 29.
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