Caminho mais curto. 1 - Caminho não pesado

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1 Caminho mais curto Dado um grafo pesado G = (V, E) e um vértice s, obter o caminho pesado mais curto de s para cada um dos outros vértices em G Exemplo: rede de computadores, com custo de comunicação e de atraso dependente do encaminhamento (o caminho mais curto de v7 para v tem custo ) arestas com custo negativo complicam o problema ciclos com custo negativo tornam o caminho mais curto indefinido (de v a v7 o custo pode ser ou - ou -7 ou ) Outro exemplo: se o grafo representar ligações aéreas, o problema típico poderá ser: Dado um aeroporto de partida obter o caminho mais curto para um destino não há algoritmo que seja mais eficiente a resolver este problema do que a resolver o mais geral 7 - Grafos - - Caminho não pesado pretende-se o comprimento dos caminhos: pode ser visto como um caso particular em que o peso de cada aresta é unitário começa-se por marcar o vértice inicial s com comprimento sucessivamente, passa-se aos que lhe estão adjacentes e marcam-se com mais do que o valor do caminho até ao antecedente progride-se por níveis, passando ao nível seguinte só depois de ter esgotado o anterior este tipo de pesquisa em grafos designa-se por pesquisa em largura semelhante à travessia por níveis de uma árvore código usa uma tabela em que regista, para cada vértice v - a distância de cada vértice ao inicial (dist) - se o vértice já foi processado (known) - qual o antecessor no caminho mais curto (path) Grafos -

2 v Evolução da marcação do grafo v v v v v v v v v v v7 v v7 v v v v v v v v v v v v7 v v7 Grafos - Algoritmo básico void unweighted( Vertex s) Vertex v, w; s.dist = ; for(int currdist = ; currdist < NUM_VERTEX; currdist++) for each vertex v if(!v.known && v.dist == currdist ) v.known = true; for each w adjacent to v if( w.dist == INFINITY ) w.dist = currdist + ; w.path = v; Grafos -

3 Eficiência do algoritmo básico tempo de execução O( V ^), devido aos ciclos for encaixados remoção da ineficiência semelhante à da ordenação topológica em cada momento, só existem dois tipos de vértices não processados com Dist - os do nível corrente (dist = currdist) ainda não processados e os adjacentes a estes já marcados no nível seguinte (dist=currdist+) podiam guardar-se em duas caixas diferentes mas, como só se marca o primeiro do nível seguinte depois de ter todos os do nível corrente, basta usar uma fila o atributo known não é usado nesta solução Grafos - void unweighted( Vertex s) Vertex v, w; Queue q; Algoritmo refinado q= new Queue(); q.enqueue (s); s.dist = ; tempo de execução é O( E + V ), com grafo representado por lista de adjacências while(!q.isempty() ) v = q.dequeue(); v.known = true; //agora desnecessário for each w adjacent to v if( w.dist == INFINITY ) w.dist = v.dist + ; w.path = v; q.enqueue( w ); Grafos -

4 Evolução da estrutura de dados v Início Visita v Visita v Visita v v v v v v v v v v v v v v v v v Q v v, v v, v, v v, v Grafos - Evolução da estrutura de dados v Visita v Visita v Visita v Visita Known d v Known d v Known d v Known d v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v Q v, v v, (vazia) Grafos - 7

5 a solução é uma modificação da anterior - Caminho pesado cada vértice mantém uma distância ao inicial, obtida somando pesos nos caminhos quando se declara um vértice known, exploram-se os seus adjacentes; se o caminho através deste nó é melhor que o já registado, modifica-se este distância corrente em cada vértice: a melhor usando apenas vértices já processados o ponto crucial: escolher para declarar known o vértice que tiver o menor custo até ao momento é o único cujo custo não pode diminuir todas as melhorias de caminhos que usam este vértice são exploradas este é um exemplo de um algoritmo ganancioso: em cada passo faz o que melhora o ganho imediato restrição: só é válido se não existirem custos negativos regista-se o vértice antecedente, responsável directo pelo custo estimado; seguindo a sequência recupera-se o caminho mínimo Grafos - v v v v v Estádios do algoritmo de Dijkstra v v v v v v v v v v v v v v v Grafos - 9

6 v v v v v Estádios do algoritmo de Dijkstra v v v v v v v v v v v v v v v Grafos - Evolução da estrutura de dados v Início Visita v Visita v Visita v v v v v v v v v v v v v v v v v 9 v 9 v v Grafos -

7 Evolução da estrutura de dados v Visita v Visita v Visita Visita v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v 9 v v v v v v Grafos - Algoritmo de Dijkstra void Dijkstra( Vertex s) Vertex v, w; s.dist = ; for( ; ; ) v = vertice_a_menor_distancia; if( v == null ) break; v.known = true; for each w adjacent to v if(!w.known ) if v.dist + c(v,w) < w.dist ) w.dist = v.dist + c(v,w); w.path = v; Grafos -

8 problema: pesquisa do mínimo Análise do algoritmo método de percorrer a tabela até encontrar o mínimo é O( V ) em cada fase; gastase O( V ) tempo ao longo do processo tempo de corrigir a distância é constante por actualização e há no máximo uma por aresta, num total de O( E ) tempo de execução fica O( E + V ) = O( V ) se o grafo for denso E = Θ( V ) e o resultado é satisfatório pois corre em tempo linear no número de arestas se o grafo fôr esparso E = Θ( V ), o algoritmo é demasiado lento melhoria: manter as distâncias numa fila de prioridade para obter o mínimo eficientemente O(log V ), com uma operação deletemin como as distâncias vão sendo alteradas no processo e a operação de Busca é ineficiente nas filas de prioridade, pode-se meter na fila mais do que um elemento para o mesmo vértice, com distâncias diferentes, e ter o cuidado, ao apagar o mínimo, de verificar se o vértice já está processado Tempo de execução total: O( E log V ) O( E log V ) actualização dos pesos com operação decreasekey na fila O( V log V ) percorrer os vértices com operação deletemin para cada Grafos - Algoritmo de Dijkstra não funciona - Arestas com custos negativos custo ao longo de um caminho não é monótono depois de se marcar um vértice como processado pode aparecer um caminho mais longo mas com custo inferior Combinar os algoritmos para os caminhos pesado e sem peso usar uma fila; colocar o vértice inicial em cada passo - retirar um vértice v da fila - para cada vértice w adjacente a v tal que dist(w) > dist(v) + cost(v, w) actualizar dist(w), path(w) e colocar w na fila, se lá não estiver - manter uma indicação de presença na fila Grafos -

9 Achar os caminhos de menor custo a começar em. Dijkstra Exemplo: custos negativos - 7 pretendido: vértice não altera nada seria necessário rever e propagar as alterações; piora o tempo Grafos - Algoritmo com custo void weightednegative( Vertex negativo s) pode ser necessário processar cada vértice mais Vertex v, w; do que uma vez (max: V ) Queue q; actualização pode ser executada O( E. V ), q = new Queue(); usando listas de adjacência q.enqueue (s); while(!q.isempty() ) v = q.dequeue(); ) (v,w); for each w adjacent to v if v.dist + c(v,w) < w.dist w.dist = v.dist + c w.path = v; if(w not in q) ) q.enqueue(w); ciclo de custo negativo algoritmo não termina teste de terminação: algum vértice sai da fila mais do que V + vezes Grafos - 7