W 8. Nas colunas "k =1 a n" executar: Nas linhas "i =1 a m" executar: Em cada linha "i" de "j=1 a n" executar: z = c ik + c kj

Transcrição

1 VI. Encaminhamentos de encargo total mínimo Considere-se um grafo (orientado ou não) em que se associa a cada um dos seus arcos (arestas) um dado encargo real (distância, custo, tempo, etc.); admita-se a escolha de um qualquer par de vértices e a necessidade de conhecer o caminho (cadeia), entre eles, com Encargo Total Mínimo (por exemplo, se aos arcos são associadas distâncias, escolhidos dois vértices pretende-se conhecer a distância mínima entre eles) Para resolver problemas deste tipo há algoritmia diversa (Ford, Faure, Bellman, Dijkstra, Floyd, Hasse, entre outros) que envolvem maior ou menor complexidade de cálculo (número de operações elementares ou seja, adições, multiplicações e testes). 1. Algoritmo de Floyd 1 O algoritmo de Floyd apesar de ser o mais complexo dos apresentados tem a vantagem de ser de programação fácil ( uma única matriz ) e ser de difusão total, ou seja, quando aplicado permite obter o Encargo Total Mínimo entre qualquer par de vértices do grafo e o Encaminhamento associado (o que não sucede com outros métodos que são de difusão parcial). A aplicação do método supõe que no grafo, orientado ou não, não há circuito(s) ou ciclo(s) com encargo total negativo (absorventes), o que não impede ligações com encargo negativo. Considere-se o Grafo da figura e respectiva matriz de distâncias (km) para calcular a Matriz de Distâncias Mínimas. X Y Z X Y Z W X 5 14 Y 7 3 Z 3 4 W W 8 Para os pares de vértices não ligados por arco considera-se a distância "+ " por se tratar de minimização de uma função (distância total). O cálculo será efectuado com a seguinte sequência considerando c ij a distância entre os vértices "i" e "j": Nas colunas "k =1 a n" executar: Nas linhas "i =1 a m" executar: Em cada linha "i" de "j=1 a n" executar: z = c ik + c kj se z < c ij substituir c ij = z Nova coluna da linha Nova linha Nova coluna O processo descrito "traduz-se do seguinte modo: 1. Percorrer a matriz, por colunas, elemento a elemento. 1 Robert W. Floyd ( ).Cientista da Computação. VI-1

2 2. Somar cada elemento c ij (operador) aos elementos da linha com índice j (índice igual ao da coluna do operador); a linha de valores obtida compara-se com a linha do operador sendo os valores desta linha substituídos se são superiores aos calculados (melhoria). 3. Quando se efectuam substituições, ao novo valor de distância agrega-se o índice da coluna do operador (vértice intermédio) para posteriormente reconstituir o encaminhamento. 4. Quando o operador c ij não é finito ou i = j é desnecessário proceder como referido em 2. Retomando o grafo proposto e respectiva matriz de distâncias, veja-se passo a passo como executar: Coluna de X Operador Tarefa c xx = 0 Diagonal Principal (i = j); desnecessário c yx = Desnecessário; através de X não é possível melhorar distância de Y aos restantes vértices. c zx = 3 Somar à linha de X obtendo: Comparar com linha corrente do operador (linha Z) Melhoria para ZW = 17km passando por X Registar em ZW, 17 X Z 3 X 5 14 Z W 17 X Melhoria: Z a W: 17km por X c wx = Desnecessário; através de X não é possível melhorar distância de W aos restantes vértices. Após percorrida a 1ª coluna (vértice X como ponto intermédio), a matriz de distâncias tem registados os seguintes valores: X Y Z W X 5 14 Y 7 3 Z X W 8 No momento, o encaminhamento mais favorável de Z para W é: Z X W no total de 17 km Terminada a procura de melhores encaminhamentos entre cada par de vértices usando X como ponto intermédio, passa-se à coluna seguinte em que o ponto intermédio será o vértice Y. VI-2

3 Coluna de Y Operador Tarefa c xy = Desnecessário; através de Y não é possível melhorar distância de X aos restantes vértices. c yy = Diagonal Principal (i = j); desnecessário c zy = 4 Somar à linha de Y obtendo: Comparar com linha corrente do operador (linha Z) X Melhoria para ZW = 7 km passando por Y Registar em ZW, 7 Y Z 4 Y 7 3 Z W 7 Y Melhoria: Z a W: 7km por Y c wy = 8 Somar à linha de Y obtendo: Comparar com linha corrente do operador (linha W) 8 0 Melhoria para WZ = 15 km passando por Y Registar em WZ, 15 Y W 8 Y 7 3 Z 15 Y W Melhoria: W a Z: 15km por Y Após percorrida a 2ª coluna (vértice Y como ponto intermédio), a matriz de distâncias tem registados os seguintes valores: X Y Z W X 5 14 Y 7 3 Z Y W 8 15 Y No momento, o encaminhamento mais favorável de Z para W é: Z Y W no total de 7 km e o encaminhamento mais favorável de W para Z é: W Y Z no total de 15 km Terminada a procura de melhores encaminhamentos entre cada par de vértices usando Y como ponto intermédio, passa-se à coluna seguinte em que o ponto intermédio será o vértice Z. VI-3

4 Coluna de Z Operador Tarefa c xz = 5 Somar à linha de Z obtendo: Comparar com linha corrente do operador (linha X) Melhoria para XY = 9 km passando por Z Melhoria para XW = 12 km passando por Z Registar em XY, 9 Z ; em XW, 12 Z x 5 Z Y X Y 9 Z W 12 Z Melhoria: X a Y: 9km por Z Melhoria: X a W: 12km por Z C yz = 7 Somar à linha de Z obtendo: Comparar com linha corrente do operador (linha Y) Melhoria para YX = 10 km passando por Z Registar em YX, 10 Z Y 7 Z Y X 10 Z Y W Melhoria: Y a X: 10km por Z c zz = 0 Diagonal Principal (i = j); desnecessário c wz = 15 Somar à linha de Z obtendo: Comparar com linha corrente do operador (linha W) Melhoria para WX = 18 km passando por Z Registar em WX, 18 Z W 15 Y Z 4 Y 3 7 Y X 18 Z W Melhoria: W a X: 18km por Z Após percorrida a 3ª coluna (vértice Z como ponto intermédio), a matriz de distâncias tem registados os seguintes valores: X Y Z W X 9 Z 5 12 Z Y 10 Z 7 3 Z Y W 18 Z 8 15 Y No momento, o encaminhamento mais favorável de X para Y é: X Z Y no total de 9 km o encaminhamento mais favorável de X para W é: X Z Y W no total de 12 km o encaminhamento mais favorável de Y para X é: Y Z X no total de 10 km e o encaminhamento mais favorável de W para X é: W Y Z X no total de 18 km Terminada a procura de melhores encaminhamentos entre cada par de vértices usando Z como ponto intermédio, passa-se à coluna seguinte em que o ponto intermédio será o vértice W. VI-4

5 Operador c xw = 12 c yw = 3 c zw = 7 c ww = 15 Coluna de W Tarefa Somar à linha de W obtendo: Comparar com linha corrente do operador (linha X) Não há melhoria(s) Somar à linha de W obtendo: Comparar com linha corrente do operador (linha Y) Não há melhoria(s) Somar à linha de W obtendo: Comparar com linha corrente do operador (linha Z) Não há melhoria(s) Diagonal Principal (i = j); desnecessário X 18 Z X 12 Z W 8 15 Y Y Z X 18 Z Y 3 W 8 Y 15 Y Z X 18 Z Z 7 Y W 8 Y 15 Y Z Após percorrida a 4ª coluna (vértice W como ponto intermédio), obteve-se a Matriz de Distâncias Mínimas entre qualquer par de vértices do grafo: X Y Z W X 9 Z 5 12 Z Y 10 Z 7 3 Z Y W 18 Z 8 15 Y Nesta matriz obtém-se por leitura directa a distância mínima entre qualquer par de vértices. Para reconstituir o caminho associado àquelas distâncias, no caso de não se tratar de caminho com um único arco, vejam-se os exemplos seguintes: Caminho de Z para W ; distância mínima 7 km Na matriz temos ZW= 7 Y o que significa que entre Z e W está o vértice Y. Notar que apenas se sabe que Y antecede W (não sabendo se é ou não imediatamente). Por isso tem-se: Z Y W Consultando na matriz o par ZY lê-se 4 km (sem vértice intermédio). Actualiza-se a figura anterior: Z Y W 4 km Consultando na matriz o par YZ lê-se 3 km (sem vértice intermédio) com o que se atinge o destino: Z Y W 4 km 3 km VI-5

6 Caminho de X para W ; distância mínima 12 km Na matriz temos XW= 12 Z o que significa que entre X e W está o vértice Z. Notar que apenas se sabe que Z antecede W (não sabendo se é ou não imediatamente). Por isso tem-se: X Z W Consultando na matriz o par XZ lê-se 5 km (sem vértice intermédio). Actualiza-se a figura anterior: X Z W 5 km Consultando na matriz o par ZW= 7 Y significa que entre Z e W está o vértice Y. Notar que apenas se sabe que Y antecede W (não sabendo se é ou não imediatamente). Por isso tem-se: X Z Y W 5 km Consultando na matriz o par ZY lê-se 4 km (sem vértice intermédio). Actualiza-se a figura anterior: X Z Y W 5 km 4 km Consultando na matriz o par YW lê-se 3 km (sem vértice intermédio) com o que se atinge o destino: X Z Y W 5 km 4 km 3 km VI-6

7 2. Algoritmo de Dijkstra 2 O algoritmo de Dijkstra tem a vantagem de ser de programação fácil embora seja um algoritmo de difusão parcial (significa que após aplicado permite apenas conhecer o Encargo Total Mínimo entre um vértice escolhido e os restantes vértices do grafo). A aplicação do método supõe que no grafo, orientado ou não, não há ligações com encargo negativo associado. Considere-se o Grafo da figura e respectiva matriz de distâncias (km) para calcular a Distância Mínima de A aos restantes vértices. A B C D A B C D 8 0 Para os pares de vértices não ligados por arco considera-se a distância "+ " por se tratar de minimização de distâncias. O cálculo será efectuado de acordo com seguinte sequência: 1. Escolher para o conjunto dos vértices à distância mínima de A (vértice-raiz), o vértice adjacente à distância mínima. Este vértice será pivot da iteração seguinte. Quando não há selecção de pivot, o processo termina. Registados B, C, D com a distância acumulada correspondente ao percurso com início em A Distância mínima associada corresponde à ligação AC pelo que o vértice C é pivot na próxima iteração. Somar a distância de 5km (acumulada em C, vindo de A ) à distância dos vértices adjacentes de C ( A e B ). Registar a distância acumulada se inferior à existente (9 km para AB, passando em C e voltar a repetir o procedimento da iteração anterior agora com o vértice B. O processo iterativo é o seguinte: sendo a solução óptima a seguinte: 2 Edsger Wybe Dijkstra ( ).Cientista neerlandês VI-7

8 Para descrever a rota de distância mínima de A a B procede-se do seguinte modo: Leitura directa na linha da última iteração: 9 km. Na leitura da distância anterior é referido o vértice C como antecedente de B pelo que o troço C-B pertence ao encaminhamento óptimo. Esta ligação óptima foi obtida na 2ª linha do quadro de registo (realçada a cor amarela). Passando à iteração anterior e na coluna de C lê-se que este vértice está à distância óptima de 5 km de A sendo este o vértice antecedente. Assim, o itinerário óptimo de A a B é A, C. B. 3. Auto Teste Considere o grafo seguinte (tempo em horas) e calcule o itinerário de tempo mínimo de A a F. VI-8

9 4. Solução do Auto Teste Itinerário óptimo: A, B, C, D, F com 14 horas. VI-9

10 5. Algoritmo de Bellman -Ford 3 É também um algoritmo de difusão parcial mas pode aplicar-se nos grafos orientados em que haja ligações com encargo negativo associado. Considere-se o Grafo da figura e respectiva matriz de distâncias (km) para calcular a Distância Mínima do vértice A aos restantes vértices. A B C D A B C D 8 0 Registar as distâncias finitas de A aos vértices adjacentes (distância infinita para vértices não adjacentes): Comprimento B C D 1 arco 5 14 Explorar os vértices C e D, que estão a distância finita de A, para obter as distâncias de A a vértices a que está ligado por 2 arcos (passando pois por C ou D ). Vértice C à distância de 5 km de A Os vértices adjacentes de C são A (não interessa porque é vértice-raiz), e B. Estando B a 4 km de C então está a 5+4=9 km de A se for efectuado o percurso A-C-B. Vértice D à distância de 14 km de A O vértice B é o único adjacente de D. Estando B a 8 km de C então está a 14+8=22 km de A se for efectuado o percurso A-D-B. Está terminada a exploração de caminhos com 2 arcos que ligam A aos restantes vértices do grafo. Desta exploração, obtivemos 9 e 22 km para B de que o melhor valor é 9 km (ligação via C ). Como a distância corrente de A a B é + regista-se como melhoria a distância de 9 km mantendo-se as distâncias anteriores nos restantes vértices: Comprimento B C D 1 arco arcos 9 C 5 14 Neste quadro verificamos que houve melhoria na distância associada ao vértice B pelo que este, e só este, deve ser explorado de forma similar à anterior para minimizar (se possível) a distância de A aos restantes vértices por caminho com 3 arcos. Vértice B à distância de 9 km de A Os vértices adjacentes de B são C e D Estando C a 7 km de B então está a 9+7=16 km de A. Como esta distância é pior do que a já existente (5 km), não tem interesse para registo. 3 Richard Ernest Bellman e Lester Randolph Ford Jr. VI-10

11 Estando D a 3 km de B então está a 9+3=12 km de A. Como esta distância é melhor do que a já existente (14 km), é registada para futura exploração. O registo é actualizado ficando: Comprimento B C D 1 arco arcos 9 C arcos B Neste quadro verificamos que houve melhoria na distância associada ao vértice D pelo que este deve ser explorado. Vértice D à distância de 12 km de A Só o vértice B é adjacente de D. Estando B a 8 km de D então está a 12+8=20 km de A. Como esta distância é pior do que a já existente (12 km), não tem interesse o seu registo. Não houve melhoria de qualquer distância pelo que na última linha do quadro estão as distâncias mínimas de A aos restantes vértices do grafo. Para descrever a rota de 12 km de A a D progride-se da última para a 1ª linha do quadro elaborado. D está a 12 km de A. O vértice precedente de D é o vértice B (como mostra o registo 12 B ). Passar à linha anterior e examinar a coluna do vértice B B está a 9 km de A. O vértice precedente é o vértice C (como mostra o registo 9 C ). Passar à linha anterior e examinar a coluna do vértice C C está a 5 km de A sendo este o vértice precedente porque estamos na 1ª linha. Conclusão: Rota de A a D : A C B D ; distância mínima de = 12 km. O algoritmo de Bellman-Ford detecta circuitos negativos, caso existam, como mostra o exemplo seguinte (custos em u.m.) em que se calcula o custo mínimo de A a E : A B C D E A B C D E A B C D E 1 arco Exploração do custo mínimo nos vértices B e C : VI-11

12 A B C D E 1 arco arcos C 18 c Exploração da melhoria nos vértices D e E : A B C D E 1 arco arcos C 18 c 3 arcos 0-2 D Exploração da melhoria no vértice B : Foi detectado o circuito negativo A-C-D-B-A com encargo total de 2+9+(-13)+0 = -2 < 0! Nesta situação o algoritmo não pode ser utilizado Auto teste Calcular as distâncias mínimas do vértice H aos restantes vértices do grafo seguinte: A B C D E F G H A B 2 5 C D 1 E F G 3 H Em situações deste tipo efectua-se o Reweight do grafo para que todas as ligações fiquem com peso positivo e possam ser obtidos os encaminhamentos óptimos necessários. VI-12

13 7. Solução do Auto teste VI-13

14 VI-14

15 Não há melhorias. Cálculo terminado. Para facilitar a descrição dos itinerários óptimos convém acrescentar no quadro de registo o vértice precedente que, em cada iteração, melhorou a distância a partir do vértice H : Para obter, por exemplo, o itinerário óptimo de H a G temos: Coluna G, linha 6: D G Coluna D, linha 5: B Coluna B, linha 4 A Coluna A, linha 3: E Coluna E, linha 2: F Coluna F, linha 1: H Itinerário óptimo: H Ø F Ø E Ø A Ø B Ø D Ø G com distância total de 13 km VI-15

16 8. Localizações no grafo Considere-se o grafo da figura G=(V,U), a matriz de distâncias e a matriz de distâncias mínimas (km): A 22 C B D 15 E 10 F H 11 G 21 I Matriz de distâncias Matriz de distâncias mínimas A B C D E F G H I A B C D E F G H I A A B B C C D D E E F F G G H H I I a. Afastamento (excentricidade) do vértice v i no grafo G(V,U) É o maior encargo de v i a um dos v k (i k). No caso de grafo orientado, no vértice v i podem medir-se as excentricidades exterior e interior. No grafo não orientado da figura a excentricidade de A é de 46 km (Max da 1ª linha da matriz de distâncias mínimas) A matriz de distâncias mínimas pode ser orlada com a excentricidade de cada vértice como mostra a figura seguinte: A B C D E F G H I Excentricidade (km) Obs. A (max) Max{Max} = (diâmetro =46 km) B C D E (min) Min{Max} centro; raio = 29 km F G H I (max) + e vi e vi VI-16

17 b. Diâmetro do Grafo G(V,U) Maior valor das excentricidades dos vértices do grafo. No grafo da figura o diâmetro é de 46 km c. Raio do grafo G(V,U) Menor valor das excentricidades dos vértices do grafo. No grafo da figura o raio é de 29 km. d. Centro do Grafo Não Orientado Vértice v i com excentricidade igual ao raio do grafo. O centro do grafo da figura é o vértice E (excentricidade = raio = 29 km). É o vértice que, sob o ponto de vista de distância, oferece melhores condições para uma instalação de equipamento colectivo. Se o quartel dos bombeiros se situar em E todas as suas intervenções se situam, no máximo, a 29 km. e. Centros do Grafo Orientado Se o grafo é orientado há que considerar os Centros Exterior e Interior do grafo. Como a denominação sugere, o centro exterior é o vértice v i com menor excentricidade exterior; o centro interior é o vértice com menor excentricidade interior. f. Vértice Periférico do Grafo G(V,U) É o vértice v i com excentricidade igual ao diâmetro. No grafo da figura, A é o vértice periférico. g. Mediana do Grafo É o vértice v i para o qual a soma dos encargos aos restantes vértices do grafo tem valor mínimo. A matriz de distâncias mínimas pode ser orlada com a soma das distâncias de cada vértice como mostra a figura seguinte: A B C D E F G H I Soma (km) Obs. A B C D E (min) Mediana F G H I No grafo da figura, o vértice E é a mediana do grafo. É o vértice que, sob o ponto de vista de distância, oferece melhores condições para uma instalação de tipo logístico (apoio de uma rede) pois a totalidade das distâncias a percorrer é mínima. VI-17

18 h. Anti-Centro do Grafo É o vértice v i cujo menor encargo para os restantes vértices do grafo tem valor máximo. No grafo não orientado da figura, D é o anti-centro do grafo. A matriz de distâncias mínimas pode ser orlada com a menor distância de cada vértice como mostra a figura seguinte: A B C D E F G H I Min (km) Obs. A B C D (max) Max{Min} anti centro E F G H I O anti-centro é o vértice que, sob o ponto de vista de distância, oferece melhores condições para uma instalação não desejável em qualquer ponto da rede (lixeira por exemplo). Veja-se que uma lixeira em D garante que os restantes vértices estão pelo menos a 14 km. VI-18

19 9. Auto Teste a. A figura apresenta um conjunto de 8 localidades e a rede viária existente (distância em km). Admita a necessidade de montar um centro de saúde. Qual das localidades escolheria? b. Os custo de transporte (por Kg) entre cada par de localidades e os custos de transbordo (carga/descarga) são os indicados na matriz seguinte: Matriz de custos (u.m.) Porto Braga Guarda C.Branco Covilhã Viseu Porto Braga Guarda C.Branco Covilhã Viseu ) Calcule o custo mínimo (por kg) do Porto para C.Branco. 2) No custo mínimo apresentado quais os custos de transporte e transbordo? Qual é o itinerário associado ao custo mínimo calculado? VI-19

20 c. Considere a necessidade de estabelecer um plano de investimento em equipamento informático para os próximos 4 anos. O custo/ano da manutenção do actual equipamento é de 1000 unidades monetárias (u.m.). Após consulta ao mercado dispõe-se da seguinte informação: Tipo de Computador Início da Comercialização Custos da Conversão(u.m.) Custos Anuais de Manutenção (u.m.) A 1Jan/Ano B 1Jan/Ano C 1Jan/Ano D 1Jan/Ano Calcular o plano óptimo de investimento. d. Um(a) aluno(a) desloca-se diariamente A para G. A experiência dos últimos 2 meses permitiu-lhe estabelecer a probabilidade de não encontrar filas de trânsito lento no itinerário de ligação entre cada par de vértices (registada em cada arco da figura). Admitindo que a probabilidade de não encontrar filas de trânsito lento ao longo de um itinerário é igual ao produto das probabilidades associadas aos arcos do caminho, determine o itinerário de A para G com maior probabilidade de circular rapidamente. B 0.8 C 0.35 D A G E 0.3 F VI-20

21 10. Solução do Auto Teste a. A matriz de distâncias mínimas e informação adicional é a seguinte: Max Min Soma A localidade 7 é o centro do grafo. A localidade 5 é a mediana do grafo. Se o centro de saúde for instalado no centro do grafo, todas as localidades se encontrarão a não mais do que 22 km enquanto se instalado em 7 este valor é de 23 km (do ponto de vista prático a diferença não é significativa). Se pensarmos em deslocação global (de todas as localidades ir ao centro de saúde) então a localidade 5 é mais favorável (soma=94 km). Mas o indicador soma pode ser enganador. De facto, para as duas localidades em apreciação, a distância média de cada localidade e respectiva variância são as seguintes : Distâncias a percorrer pelas outras localidades Média Variância Localidade Localidade A diferença em distância média não é significativa mas a variância associada mostra que a localidade 7 é mais central do que a localidade 5. Instale-se o centro de saúde na localidade 7. b. 1) Custo Mínimo de transporte = 9.3 u.m./kg 2) Transporte : Porto, Viseu, Guarda, C.Branco ; custo = 8.7 u.m./kg Carga/Descarga (transbordo) : = 0.6 u.m./kg c. Organizar uma matriz de custos e utilizar o algoritmo de Floyd Para ano 1: não adquirir material ; custo de manutenção 1000 u.m. Para ano 2 : Comprar computador B ; custos conversão e manutenção = = 850 u.m. Para ano 3 : Comprar computador C ; custos conversão e manutenção = = 750 u.m. Para ano 4 : Manter C; custo de manutenção = 500 u.m. Custo total mínimo = 3100 u.m. VI-21

22 d. O melhor encaminhamento será o de maior probabilidade P AG. A maximização de P AG é equivalente a maximizar a soma dos logaritmos das probabilidades associadas a cada arco do encaminhamento AG. Sendo log (p ij ) 0, maximizar a soma referida é equivalente a minimizar a soma dos valores simétricos dos logaritmos. Para o arco (A,B), por exemplo, tem-se: Arco p ij log (p ij ) - log (p ij ) (A,B) Organizada a matriz do grafo com c ij = - log (p ij ) aplica-se o algoritmo de Floyd e obtém-se: Encaminhamento óptimo : A, E, F, G P AG = (0.9) (0.3) (0.25) = = 6.75% (probabilidade de não encontrar filas de trânsito lento). VI-22