ª Fase. 16 pontos

Transcrição

1 007.ª Fase 16 pontos

2 007.ª Fase 4 pontos 15 pontos

3 007.ª Fase

4 007.ª Fase 0 pontos 5 pontos

5 007.ª Fase 5 pontos 10 pontos 0 pontos

6 007.ª Fase 0 pontos 0 pontos 5 pontos TOTAL 00 pontos Prova Escrita de Matemática Aplicada às Ciências Sociais, º/11.º ou 11.º/1.º Anos de Escolaridade,.ª Fase in

7 Propostas de resolução 007.ª Fase 1. Na resolução das alíneas seguintes temos de ter em consideração os dados do problema, a referir: três candidatos e o método de eleição preferencial Para completar a tabela temos de ter atenção à ordem de preferências: na primeira coluna de votos temos por ordem de preferência o Rui, o Luís e o João. Como esta lista obteve 40 votos, para cada candidato temos de multiplicar o número de votos pelos pontos correspondentes à sua ordem: Rui = 40 * 3; Luís = 40 * e João = 40 * 1 na segunda coluna de votos temos por ordem de preferência o João, o Luís e o Rui. Como essa lista obteve 45 votos, utilizando o raciocínio do item anterior, temos: João = 45 * 3; Luís = 45 * e Rui = 45 * 1 na terceira coluna de votos temos por ordem de preferência o Luís, o Rui e o João. Tendo essa lista 38 votos e utilizando o raciocínio dos itens anteriores: Luís = 38 * 3; Rui = 38 * e João = 38 * 1 Por fim, transcrevemos a tabela e completamo-la somando os pontos das três listas de cada candidato. Método Preferencial Contagem dos pontos Pontuação total João 40 * * * 1 13 Rui 40 * * * 41 Luís 40 * + 45 * + 38 * 3 84 Ao aplicar o Método Preferencial para a eleição do representante da associação cultural, o candidato eleito é o Luís com 84 votos, ficando em.º lugar o Rui com 41 votos e em 3.º lugar o João com 13 votos Vamos construir tabelas semelhantes à apresentada para as duas situações pedidas. Comparação da votação no Rui com a votação no Luís Comparação da votação no João com a votação no Luís Preferências Votos 1.ª Luís João Luís.ª João Luís João Total O Luís seria o candidato vencedor com 78 votos, tendo o João somente O Luís está em condições de se considerar vencedor global, uma vez que na comparação dos seus votos com os do João e os do Rui, o Luís ganha sempre. Vejamos: Luís vs João Luís 78 votos e João 45 votos logo, vence o Luís. Luís vs Rui Luís 83 votos e Rui 40 votos logo, vence o Luís. João vs Rui: João 45 votos e Rui 78 votos logo, vence o Rui. Portanto, temos a seguinte ordenação dos candidatos: 1.º Luís (ganha em duas comparações).º Rui (ganha uma comparação) 3.º João (não ganha nenhuma comparação). Na resolução das alíneas seguintes temos de ter em atenção que: o António pretende sair de Lisboa, ir a Faro, a Coimbra, a Sevilha e a Cáceres, passando uma única vez por cada cidade; o António pretende percorrer o mínimo de quilómetros possível..1. O grafo ponderado que serve de modelo, é um circuito hamiltoniano uma vez que percorre todos os vértices do grafo uma única vez, iniciando e terminando em casa (Lisboa). 5 * 4 (k 5 = = 10 arestas e 4! = 4 circuitos hamiltonianos.) Preferências Votos 1.ª Rui Luís Luís.ª Luís Rui Rui Total O Luís seria o candidato vencedor, uma vez que teria 83 votos, enquanto o Rui teria apenas 40 votos.

8 Propostas de resolução.. Sabemos que o António tem de ir, em primeiro lugar, ao cliente de Coimbra. Assim, temos os seguintes seis circuitos alternativos e as respectivas distâncias mínimas: Lisboa 06 Coimbra 447 Faro 197 Sevilha 60 Cáceres 313 Lisboa Distância total: 143 km Lisboa 06 Coimbra 447 Faro 44 Cáceres 60 Sevilha 459 Lisboa Distância total: 1814 km Lisboa 06 Coimbra 346 Cáceres 60 Sevilha 197 Faro 8 Lisboa Distância total: 191 km Lisboa 06 Coimbra 346 Cáceres 44 Faro 197 Sevilha 459 Lisboa Distância total: 1650 km Lisboa 06 Coimbra 65 Sevilha 197 Faro 44 Cáceres 313 Lisboa Distância total: 1783 km Lisboa 06 Coimbra 65 Sevilha 60 Cáceres 44 Faro 8 Lisboa Distância total: 1815 km Enquanto que para o percurso sugerido pelo António (seguir de Coimbra para Faro e só depois visitar as cidades espanholas) temos as seguintes duas alternativas: Lisboa 06 Coimbra 447 Faro 197 Sevilha 60 Cáceres 313 Lisboa Distância total: 143 km Lisboa 60 Coimbra 447 Faro 44 Cáceres 60 Sevilha 459 Lisboa Distância total: 1814 km Assim, o percurso de extensão mínima utilizando o algoritmo cidade mais próxima é: Lisboa 06 Coimbra 346 Cáceres 60 Sevilha 197 Faro 313 Lisboa Distância total: 191 km 3. Observando os dados, temos uma amostra aleatória de parafusos registando-se o respectivo comprimento A variável em estudo é o comprimento dos parafusos (medido em cm), tratando-se de uma variável quantitativa contínua. 3.. Pretendemos determinar a percentagem de parafusos com comprimento inferior a 5,5 cm. Logo, temos de considerar a quantidade de parafusos que se encontram nessas condições, isto é, temos de determinar a frequência relativa acumulada até à classe [5,4; 5,5[ inclusive. 1.º Processo Consideremos a seguinte tabela: Comprimento dos parafusos Frequência absoluta Frequência absoluta acumulada Frequência relativa [5,0; 5,1[ = 0,03 [5,1; 5,[ = 8 5 = 0,05 [5,; 5,3[ = 17 9 = 0,09 [5,3; 5,4[ = = 0,13 [5,4; 5,5[ = = 0,18 Frequência relativa acumulada 0,03 0,03 + 0,05 = 0,08 0,08 + 0,09 = 0,17 0,17 + 0,13 = 0,3 0,3 + 0,18 = 0,48 Portanto, temos no total 48 parafusos com comprimento inferior a 5,5 cm, o que corresponde, na amostra, a uma percentagem de 48%..º Processo Podemos, também, em vez de construir a tabela, considerar o número total de parafusos com comprimento inferior a 5,5 cm e aplicar a proporção utilizando a regra de três simples. Somando a frequência absoluta das classes iguais ou inferiores a [5,5; 5,6[ temos = 48 parafusos. Como a amostra é de parafusos, resulta: 48 * % = 48% Como se trata de uma variável quantitativa contínua em que os dados se encontram agrupados em classes, para determinar a média temos de calcular a marca da classe, isto é, o valor médio entre os extremos de cada classe, sendo esse o que iremos utilizar na determinação da média. Assim, resulta: Comprimento dos parafusos [5,0; 5,1[ [5,1; 5,[ [5,; 5,3[ [5,3; 5,4[ [5,4; 5,5[ [5,5; 5,6[ [5,6; 5,7[ [5,7; 5,8[ [5,8; 5,9[ [5,9; 6,0[ [6,0; 6,1[ Marca da classe Frequência absoluta 5,0 + 5,1 = 5,05 3 5,1 + 5, = 5,15 5 5, + 5,3 = 5,5 9 5,3 + 5,4 = 5, ,4 + 5,5 = 5, ,5 + 5,6 = 5, ,6 + 5,7 = 5, ,7 + 5,8 = 5, ,8 + 5,9 = 5,85 3 5,9 + 6,0 = 5,95 6,0 + 6,1 = 6,05 1

9 Propostas de resolução Determinando a média: ^11 x i * n i i=1 x = = 5,05 * 3 + 5,15 * 5 + 5,5 * 9 + 5,35 * 13 = + 5,45 * ,55 * ,65 * ,75 * ,85 * 3 + 5,95 * + 6,05 * 1 550,3 + = ) 5,5 cm (Atenção: o enunciado que exige o resultado final com aproximação às décimas.) 3.4. Temos por objectivo construir um histograma que apenas seja constituido por 7 classes. Temos, portanto, de fazer um novo conjunto de classes em que iremos considerar o valor mínimo 5,05 cm e valor máximo 6,070 cm. É necessário construir uma nova tabela de frequências tendo em atenção que a amplitude das 7 classes terá de ser a mesma. Sendo assim a amplitude, h, é determinada usando o seguinte quociente: maior valor da amostra - menor valor da amostra h = = n.º de classes 6,70-5,05 1,045 = = ) 0,15 cm 7 7 Temos, então, as seguintes 7 classes: [5,05; 5,175[; [5,175; 5,35[; [5,35; 5,475[; [5,475; 5,65[; [5,65; 5,775[; [5,775; 5,95[; [5,95; 6,075[ Não é possível, mediante os dados recolhidos do histograma e da tabela de frequências, determinar os valores da frequência absoluta para cada uma destas novas classes pois não temos acesso à distribuição inicial dos dados Com base nos dados pretendemos obter um intervalo com uma confiança de 95% para o comprimento médio dos parafusos. Para tal temos de identificar os parâmetros x, z, n, s, do intervalo 4 x - z * s. œn, x + z * s 3 œn x = 5,5 é valor correspondente à média calculada na alínea 3.3.; z = 1,96 é valor que corresponde a um nível de confiança de 95%; s = œ0,043 = 0,07; n = é o número total de parafusos. Logo, substituindo as variáveis x, z, n, s pelos respectivos valores, temos o seguinte intervalo de confiança: 0,07 0,07 45,5-1,96 * ; 5,5 + 1,96 * 3 = ]5,46; 5,54[ œ œ 3.6. Pretendemos calcular a probabilidade de ao retirar dois parafusos da amostra dada estes terem comprimento inferior a 5,6 cm. 1.º Processo Aplicando a Lei de Laplce, temos de determinar o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. A amostra é constituída por parafusos e destes têm comprimento inferior a 5,6 cm. Assim, a probabilidade de sair um parafuso com comprimento inferior a 5,6 cm na primeira extracção é de. Portanto, a probabilidade de sair um parafuso com comprimento 66 inferior a 5,6 cm na segunda extracção é de. Logo, pela regra do produto temos * = = é a probabilidade pretendida (Atenção: o enunciado exige que o resultado seja apresentado sobre a forma de fracção.).º Processo Podemos ainda aplicar um outro método na resolução do exercício, por exemplo, um diagrama de árvore. Considere o acontecimento: P: sair um parafuso com comprimento inferior a 5,6 cm Temos que: P ( ) ( ) 33 P 3 ( ) Assim, a probabilidade pedida é * = 150