4. Tensores cartesianos em 3D simétricos

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1 4. Tensores cartesianos em D simétricos 4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais Em D não é possível deduzir as fórmulas que determinam os valores e as direcções principais na forma puramente analítica, como em D. Por essa razão é necessário determinar os valores principais, usando a definição que faz parte da disciplina Álgebra linear. Os valores principais são os valores que asseguram que eiste uma solução não-trivial v da equação abaio. T I v 0 Em D, a equação matricial acima corresponde a três equações algébricas lineares homogéneas para as três incógnitas que são as componentes do vector v, T v, v, v, e onde ainda eiste o parâmetro. As referidas equações são algébricas, porque não envolvem funções trigonométricas, nem outras semelhantes; são lineares porque as incógnitas aparecem apenas com epoente um, e são homogéneas porque todos os termos contêm uma das incógnitas e assim o lado direito de cada equação é nulo. Sabe-se que este sistema de equações tem sempre uma solução trivial,, um vector em que cada componente é nula, independente do valor. A solução não-trivial, a solução em que pelo menos uma das componentes do vector v é diferente de zero, eiste apenas quando o determinante da matriz formada pelos coeficientes do sistema é nulo. Neste caso, a solução não-trivial não está unicamente definida, mas eistem infinitas soluções linearmente dependentes. Os números que asseguram a nulidade do determinante da matriz de coeficientes chamamse valores próprios (principais). A cada um desses valores eistem infinitas soluções de vector v que se chamam direcções (vectores) próprios (principais). 4. Determinação e propriedades Analisando o determinante da matriz de coeficientes, obtém-se: det T Ty T z T I det Ty Ty Tyz Tz Tyz Tz T Ty Tz TTy TyTz TTz Tyz Tz Ty T T T T T T T T T T T T y yz z yz y z z y T T T T T T T T T T T T y yz z yz y z z y

2 Como a epressão iguala-se ao zero, costuma-se apresentar com o sinal trocado: T Ty Tz TTy TyTz TTz Tyz Tz Ty T T T T T T T T T T T T y yz z yz y z z y 0 Esta equação chama-se, equação característica. A equação característica é uma equação cúbica, por isso tem três raízes. As raízes podem ser simples, ou uma dupla e uma simples. O caso de uma raiz tripla será abordado posteriormente. Em todos os casos pode-se comprovar que as raízes são números reais, devido ao facto de T ser simétrico. Os coeficientes da equação característica são invariantes fundamentais. I1 I I 0 Assim, analogamente como em D: I1 T Ty Tz corresponde ao traço de T I T T T T T T T T T T T T ao determinante de y yz z yz y z z y T. I T T T T T T T T T é na realidade a soma de sub-determinantes diagonais y y z z yz z y T Ty T T Ty T z yz de segunda ordem,, I T T T T T T em que o primeiro termo y y z z yz z obtém-se cortando a terceira linha e a terceira coluna, o segundo termo cortando a segunda linha e coluna, e o último termo cortando a primeira linha e coluna. Assim, os invariantes I, I, I correspondem à soma de sub-determinantes diagonais de primeira, segunda e 1 terceira ordem. Em alternativa, os invariantes fundamentais são também chamados invariante linear, quadrático e cúbico. Note-se que por eemplo os valores principais são também invariantes, mas neste caso não fundamentais. Eiste uma forma analítica que define as raízes. Para isso introduz-se um ângulo auiliar na forma 1 I 9I I 7I arccos / I1 I depois as raízes calculam-se de: I I I cos j, j 0,1, 1 j Para a utilização correcta da fórmula acima tem que se ter cuidado com o ângulo. Quando usado em radianos, soma-se com /, quando usado em graus, soma-se com 10º.

3 Pode-se ainda comprovar que aplicando a metodologia de D ao D, os resultados finais verificam as fórmulas já deduzidas. det T T T I T T T Ty Ty y det y y y y y traço det 0 T T T T T T T I1 I Aplicando a fórmula que calcula raízes de uma equação quadrática: T T T T 4 I1 I1 y y 1, I Tm TTy Ty T Ty TT y Tm Ty Tm R 4 Depois de resolver os valores principais, estes por convenção ordenam-se de acordo com a grandeza T1 T T. Assim T 1 corresponde ao valor principal máimo,, ao valor máimo de todas as possíveis componentes normais para todas as possíveis rotações do referencial. T corresponde ao valor principal mínimo, ao valor mínimo de todas as possíveis componentes normais para todas as possíveis rotações do referencial, e T é o valor principal intermédio. As componentes do tensor no referencial principal são assim T princ T T T, tal como em D os valores fora da diagonal (valores tangenciais) são nulos. A matriz de componentes chama-se neste caso, a matriz canónica. Sabendo os valores principais pode proceder-se ao cálculo das direcções principais. Este cálculo tem que ser, em princípio, feito para cada valor principal separadamente. Para isso um valor calculado, por eemplo T i onde i=1, ou, substitui-se no sistema de equações T Ti I v 0 i T Ti Ty T v z 0 i Ty Ty Ti Tyz vy 0 T i z Tyz Tz T i v 0 z

4 Já se sabe que o determinante do sistema é nulo e por isso eistem infinitas soluções nãotriviales. Quando o valor T i é uma raiz simples, pode comprovar-se que o sistema acima está composto por duas equações linearmente independentes e que a terceira é já dependente das outras duas,, que o posto da matriz de coeficientes é igual a dois. Neste caso eiste uma liberdade na definição de componentes do vector principal correspondente, e consequentemente todas as soluções do sistema formam apenas uma única direcção. Por outras palavras, se o vector não-trivial sistema definem-se por procedimento de cálculo. i i v resolve o sistema, depois todas as soluções do v onde é qualquer número real. Isso permite definir o No primeiro passo pode arbitrar-se qualquer componente do vector i v por qualquer número diferente de zero. Habitualmente escolhe-se um número simples, por eemplo i v 1. No segundo passo pode escolher-se quaisquer duas equações e substituir nelas o valor i arbitrado v 1. Isso forma duas equações não homogéneas que têm uma única solução para as duas restantes componentes do vector i v : i i v e v. No terceiro passo, a equação não utilizada serve para a verificação do cálculo. Este processo pode repetir-se para cada valor principal simples. Pode comprovar-se que tal como em D, as direcções principais são mutuamente ortogonais. Isso pode facilitar o cálculo. Por eemplo, no caso de três raízes simples da equação característica, podem calcular-se duas direcções principais pelo método descrito acima e a terceira direcção via produto eterno. Antes de fazer o produto eterno, convém verificar a ortogonalidade das direcções calculadas pelo produto interno. Por eemplo, sabendo os vectores 1 v e v 1 1 1, é válido v v v v v v 0 y y z z Esta verificação pode fazer-se para qualquer forma dos vectores calculados,, se for conveniente pode-se alterar o vector calculado para y i z v usando qualquer número diferente de zero, ou normalizar. O terceiro vector calcula-se pelo produto eterno. Neste caso a ordem de multiplicação deve seguir a regra de mão direita v v v 1 porque os vectores calculados usam-se para definir o referencial principal e este tem que ser directo. Usando vectores normalizados, o terceiro vector também sairá unitário. Depois de calcular v, o sistema

5 T T Ty T v z 0 T T T T v 0 y y yz y T z Tyz Tz T v 0 z serve para verificação. Para definir o referencial principal, tal como em D, é mais habitual usar a base do referencial,, vectores normalizados. Neste caso usa-se a designação vectores base formam a matriz de rotação 1 e e e R e e e e e e 1 e, e e No caso eplicado acima, onde se teve cuidado na ordem de multiplicação para cumprir a regra de mão direita, já se sabe que o determinante da matriz de rotação vale +1. No caso de dúvida, pode calcular-se o determinante para a verificação. Se o determinante valer -1, é necessário virar um dos vectores base ao contrário. Da disciplina de Álgebra linear, sabe-se que mudando os sinais numa linha, muda o sinal do determinante. Com esta regra conseguemse atingir os sentidos dos vectores base pretendidos e manter o valor do determinante +1. e. Os Em casos ecepcionais é necessário introduzir alterações no procedimento descrito acima. Por eemplo, no caso do tensor definido pelas componentes no referencial 0yz T Pode calcular-se que o valor principal máimo é 150 e este valor é simples. Para calcular o primeiro vector principal constrói-se o sistema v vy v 0 z Neste caso o posto matricial equivale a dois, tal como dito, mas verifica-se que a primeira linha na matriz é uma multiplicação da segunda , , 87 60

6 Isso significa que não há liberdade na escolha das equações porque a primeira é igual à segunda,, não podem ser escolhidas as primeiras duas equações, mas por eemplo a primeira e a terceira, ou a segunda e a terceira. Isso podia detectar-se durante a resolução, 1 arbitrando v v 480v 688 v v y z y z 87vy 60vz z z v 60v Como o resultado corresponde à identidade, isso significa que há infinitas soluções. Como se sabe que a solução tem que ser única, pode concluir-se que não podem ser escolhidas as primeiras duas equações, mas por eemplo a primeira e a terceira, ou a segunda e a terceira. Assim v 480v 688 v v y z y z 60vy 145vz vz 145vz ,1vz 480 vz 0 e por isso v, 1 4 y v 1,,0 1 4 T Este eemplo eplicou o que fazer quando a escolha de equações não dá o resultado esperado. A resolução do problema era por alteração da selecção das equações. Note-se que neste caso não se chegou à contradição, mas sim, à identidade, à identificação insuficiente. Os vectores principais foram definidos como vectores não-triviales, o que não impede que uma das componentes seja nula. Este caso foi demostrado no problema anterior. Facilmente chegase à conclusão que no primeiro passo do método de resolução, onde se arbitra uma das componentes por um número diferente de zero, pode-se introduzir uma contradição. 1 1 Arbitrando no problema anterior v 1 em vez de v 1, têm-se z

7 v 516v 480 v v y y 480v 60vy , v v 145 que é contradição. Como se sabe que a solução tem que ser única, sem contradições, pode concluir-se que a escolha da componente não estava correcta. Na realidade eistem apenas duas opções, o valor nulo ou diferente de zero, porque esta propriedade mantém-se, qualquer que seja a multiplicação. Se o valor não nulo conduziu à contradição, significa que este valor tem que ser nulo. Em alternativa, e no caso de dúvida, bastava arbitrar outra componente do vector e repetir a resolução das equações. 4. Casos particulares 4.4 Valores etremos fora da diagonal 4.5 O tensor de inércia 5. Análise tensorial